圓壓軸八大模型題(4)-圓內接等邊三角形

1、圓壓軸題八大模型題（四） 圓壓軸題八大模型題（四）瀘州市七中佳德學校 瀘州市七中佳德學校 易建洪 易建洪引言： 引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都是在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性幫助考生解決問題。類型 類型 4 圓內接等邊三角形

2、如圖，點 P 為等邊△ABC 外接圓劣弧 BC 上一點.(1) 求證：PA＝PB＋PC；(2) 設 PA、BC 交于點 M，① 若 BP＝4，PC＝2，求 CM 的長度.② 若 AB＝4，PC＝2，求 CM 的長度.【分析】(1) 證明：連結 CD．在 PA 上截取 PD=PC，證得△ACD≌△BCP，∴AD=PB，又 DP=PC，因此 PA=PB+PC.(2)①⊙O 中△ABM∽△CPM,∴ 12PC MCAB MA ? ? 12PC

3、 MCAB MA ? ?設 MC=x，則 AM=2x,MN=2-x，又 AN=2 , 3在 Rt△AMN 中，由勾股定理得 CM=x= .2 2 133? ?(2)②過點 C 作 CE⊥AP 于 E，過點 A 作 AN⊥BC 于點 N.由（1）可得 AP=BP+CP=4+2=6,Rt△PCE 中 PE=1,CE= ，則 AE=5,AC=2 ,因此 AB=AC=2 ,由（2）②可得 CM= . 3 7 7 2 73【典例】（2018

4、83;湖南常德）如圖，已知⊙O 是等邊三角形 ABC 的外接圓，點 D 在圓上，在 CD 的OPM C BA圖 12 32-x2xx24NPMOC BAODPM C BA2 72 7351 E 4 2OAB CMPN圖（1） 圖（2） 圖（3）（1）求∠BPC 的度數； （2）求證：PA＝PB＋PC； （3）設 PA，BC 交于點 M，若 AB＝4，PC＝2，求 CM 的長度．（1）解：∵△ABC 為等邊三角形，∴∠BAC＝60

5、6;，∵點 P 為等邊△ABC 外接圓劣弧 BC 上一點，∴四邊形 ABPC 是圓的內接四邊形∴∠BPC＋∠BAC＝180°，∴∠BPC＝120°，（2）證明：連結 CD．在 PA 上截取 PD＝PC，∵AB＝AC＝BC，∴∠APB＝∠APC＝60°，∴△PCD 為等邊三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，CP＝CD，∴∠PCD﹣∠DCM＝∠ACB﹣∠DCM，即∠ACD＝∠BCP，在△ACD 和△

6、BCP 中，，∴△ACD≌△BCP，AC BCACD BCPCP CD? ? ?? ? ? ? ? ? ?∴AD＝PB，∵PA＝AD＋DP，DP＝PC，∴PA＝PB＋PC；（3）解：∵△PCD 和△ABC 都為等邊三角形，∴∠MDC＝∠ACM＝60°，CD＝PC，又∵∠DMC＝∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB＝4，PC＝2，∴CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝PC：AC＝2：4＝1：2，設 DM＝x，則 CM＝2x，BM

7、＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x∵∠BMP＝∠CMA，∠PBM＝∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC＝PM：CM，即 3x：4＝（2﹣x）：2x，解得 x＝ （舍去負號）， 1 133? ?則 x＝ ，∴CM＝ ． 1 133? ? 2 2 133? ?2.如圖，已知 AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分線，交 BC 的延長線于點 D，延長 DA 交△ABC 的外接圓于點 F，連結 FB、