28.2.2 第3課時 利用方位角、坡度解直角三角形

1、28.2.2 應用舉例 應用舉例第 3 課時 課時 利用方位角、坡度解直角三角形 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道測量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關系；(重點)2．能夠應用解直角三角形的知識解決與方位角、坡度有關的問題．(難點)一、情境導入在修路、挖河、開渠和筑壩時，設計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作 i，即 i＝ .hl坡度通常寫成 1

2、∶m 的形式，如 i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作 α，有 i＝ ＝tanα.顯然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問hl題．二、合作探究探究點一：利用方位角解直角三角形【類型一】 利用方位角求垂直距離如圖所示，A、B 兩城市相距 200km.現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段 AB)，經(jīng)測量，森林保護中心 P 在 A 城市的北偏東 30°和 B 城市的北偏西 45

3、6;的方向上．已知森林保護區(qū)的范圍在以 P 點為圓心，100km 為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)(參考數(shù)據(jù)： ≈1.732， ≈1.414)． 3 2解析：過點 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．AC 與 BC 都可以根據(jù)三角函數(shù)用 PC 表示出來．根據(jù) AB 的長得到一個關于 PC 的方程，求出 PC 的長．從而可判斷出這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．解：過點 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．則∠APC＝

4、30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形 ABCD，壩頂寬 BC＝3 米，壩高為 2 米，背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，迎水坡 CD 的坡角∠ADC 為 30°.求壩底 AD 的長度．解析：首先過 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形 BEFC 是矩形，又由背水坡AB 的坡度 i＝1∶1，迎水坡 CD 的坡角∠ADC 為 30°，根據(jù)坡

5、度的定義，即可求解．解：分別過 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為 E、F，可得 BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得 EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝ ＝2，DF＝ ＝2 ，∴AD＝AE＋EFBEtan45°CFtan30° 3＋DF＝2＋3＋2 ＝5＋2 (m)． 3 3答：壩底 AD 的長度為(5＋2

6、)m. 3方法總結：解決此類問題一般要構造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識求解．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 6 題【類型二】 利用坡角、坡度解決三角形問題如圖，某地下車庫的入口處有斜坡 AB，它的坡度為 i＝1∶2，斜坡 AB 的長為 6m，斜坡的高度為 AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為 14°(圖中 5的∠ACB＝14°)．(1)求車庫的高度 AH；(2)求點

7、 B 與點 C 之間的距離(結果精確到 1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度為 i＝1∶2，得出 AH∶BH＝1∶2，進而利用勾股定理求出 AH 的長；(2)利用 tan14°＝ ，求出 BC 的長即可．6BC＋12解：(1)由題意可得 AH∶BH＝1∶2，設 AH＝x，則 BH＝2x，故 x2＋(2x)2＝(6 )2，解

8、5得 x＝6，故車庫的高度 AH 為 6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在 Rt△AHC 中，∠AHC＝90°，故 tan∠ACB＝ ，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝ ，即 0.25＝AHCH6BC＋126BC＋12，解得 BC＝12m.答：點 B 與點 C 之間的距離是 12m.方法總結：本題考查了解直角三角形的應用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡