矩陣可逆的若干判別方法

1、矩陣可逆的若干判別方法可逆矩陣是高等代數(shù)中不可缺少的一部分，也是矩陣運(yùn)算中的重要組成部分，對解決數(shù)數(shù)學(xué)問題有重大意義，學(xué)習(xí)可逆矩陣，對我們解決一些代數(shù)問題有極大的幫助。如何判斷矩陣可逆，主要有以下十一種方法。一、 矩陣可逆的基本概念（1）對于 n 階矩陣 A，若存在 n 階矩陣 B，使得AB=BA=I則稱矩陣 A 為可逆矩陣（或非退化或非奇異或滿秩矩陣） ，或 A 可逆，稱 B 為 A 的逆矩陣，記作 B= A-1 。注：若矩陣可逆，則

2、 A 的逆矩陣由 A 唯一確定。（2）矩陣 A 的行秩等于列秩。（3）矩陣 A 經(jīng)過一系列初等變換得到矩陣 B，則 A 與 B 等價(jià)。（4）記矩陣 A 中元素 aij 的代數(shù)余子式為 Aij，則 A*=（Aij）Tn×n，我們就稱 A*為A 的伴隨矩陣。二、矩陣可逆的性質(zhì)（1）若矩陣 A 可逆，則 A 的逆矩陣 A-1 也可逆，且（A-1）-1=A。（2）若矩陣 A,B 均可逆，則矩陣 AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A

3、-1。（3）若矩陣 A 可逆，則 AT 也可逆，且（AT）-1=（A-1）T。（4）若矩陣 A 可逆， 0，則 A 也可逆，且( )= A-1。 ? ? ? A ? ?1（5）若矩陣 A 可逆，則|A-1|= 。 | |1A（6）矩陣 A 的逆矩陣 A-1= 。 | |*AA（7）若 A 為 m×n 階矩陣，P 為 m 階矩陣，Q 為 n 階矩陣，A,P,Q 均為可逆矩陣，則有 r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。

4、三、矩陣可逆的若干判別方法（一）定義判別法對于 n 階方陣 A，若存在 n 階方陣 B，使得 AB=BA=I,則 A 可逆，且 B 為 A 的逆，記為 B=A-1。例 1. 判斷矩陣 A=是否可逆？? ? ???? ? ???0 1 01 0 00 0 1證 存在矩陣 B= ，使得 AB=BA=? ? ???? ? ???0 1 01 0 00 0 1? ? ???? ? ???1 0 00 1 00 0 1所以矩陣 A 可逆。注：此

5、方法大多適用于簡單的矩陣。(五)初等變換判別法對矩陣 A 施行行（列）初等變換，得到矩陣 B，若 B 可逆，則 A 也可逆。證 因?yàn)?A 與 B 等價(jià)，則有 r(A)=r(B)，所以當(dāng)矩陣 B 可逆時(shí)，矩陣 A 也可逆。注：也可用初等行（列）變換求 A 的逆。用初等行變換：B 為 A 的逆，B=A-1。 ? ? ? ? B E E A ?列初等變換：B 為 A 的逆。 ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ??BEEA例

6、5.求矩陣 A= 的逆。? ? ???? ? ???4 1 01 1 32 0 1解? ? ???? ? ????? ? ???? ? ????? ? ???? ? ????? ? ???? ? ???1 1 - 35 4 - 122 - 2 5 -1 0 00 1 00 0 11 1 - 30 1 3 -0 0 11 0 05 - 1 02 0 11 0 00 1 3 -0 0 14 1 05 - 1 02 0 11 0 00 1 0

7、0 0 14 1 01 1 32 0 1所以 A-1=? ? ???? ? ?????? ?1 1 35 4 122 2 5（六）初等矩陣判別法若矩陣 A 可逆，則 A 可以表示為一系列初等矩陣的乘積，即 A=P1P2 ……PS證 因?yàn)閨A|=| P1P2 ……PS| ，所以矩陣 A 可逆，反之也成立。 0 ?同時(shí)，若矩陣 A 可逆，則 A 可經(jīng)過一系列初等變換化為單位矩陣。例 6.判斷矩陣 A= 是否可逆？? ? ???? ? ???

8、0 1 - 24 1 12 1 0證 A=? ? ???? ? ???0 1 - 24 1 12 1 0? ? ???? ? ????? ? ???? ? ????? ? ???? ? ????? ? ???? ? ????1 0 00 1 00 0 12 - 0 02 1 02 0 18 - 3 - 02 1 04 1 10 1 - 22 1 04 1 1所以矩陣 A 可逆。（七）矩陣的向量組的秩判別法若矩陣 A 可逆，則 A