高等數(shù)學《第六版》電子教案及習題-同濟大學

1、§1.1 函數(shù) 第一章 函數(shù)與極限 第一章 函數(shù)與極限 §1.1 函數(shù) 函數(shù) 【目的要求】 【目的要求】 1、了解鄰域的概念；了解復合函數(shù)的概念；了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)； 、了解鄰域的概念；了解復合函數(shù)的概念；了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)； 2、會將復合函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)；會將初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)的加、減、乘、除和復合函數(shù)．、會將復合函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)；會將初等函數(shù)

2、分解成幾個基本初等函數(shù)的加、減、乘、除和復合函數(shù)． 3、熟練掌握函數(shù)的四個特性． 、熟練掌握函數(shù)的四個特性． 【重點難點】 【重點難點】 1、將幾個函數(shù)復合成復合函數(shù)； 、將幾個函數(shù)復合成復合函數(shù)； 2、將復合函數(shù)和初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)． 、將復合函數(shù)和初等函數(shù)分解成幾個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)． 【教學內(nèi)容】 【教學內(nèi)容】 一、 高等數(shù)學基礎知識 一、 高等數(shù)學基礎知識 1．高等數(shù)學與初等數(shù)學的差別 1．高等數(shù)學

3、與初等數(shù)學的差別 從數(shù)學史來看，微積分的產(chǎn)生標志著從初等數(shù)學到高等數(shù)學的飛躍．高等數(shù)學與初等數(shù)學雖然有許多相同的地方，但也存在著許多本質(zhì)上的差別． （1）兩者研究的對象不同 （1）兩者研究的對象不同．在自然界和工程技術中，我們遇到各式各樣的量．從是否變化的角度來分，量可分為常量 常量與變量 變量．在某個研究過程中取同一數(shù)值的量稱為常量 常量，取不同數(shù)值的量稱為變量變量．如自由落體過程中物體的質(zhì)量是常量，而物體下降的時間和距離都是變量；又

4、如密閉容器中氣體的體積和分子數(shù)目是常量，但氣體的溫度和壓力都是變量．初等數(shù)學主要討論常量的問題 常量的問題，而高等數(shù)學主要討論變量的問題 變量的問題． （2）兩者的研究范圍不同 （2）兩者的研究范圍不同．初等數(shù)學主要研究的是有限過程 有限過程，高等數(shù)學主要研究的是無限過程 無限過程．（3）兩者的度量體系不同 （3）兩者的度量體系不同．初等數(shù)學研究的量主要是離散量 離散量，它有最小度量單位．而高等數(shù)學研究的量主要是連續(xù)量 連續(xù)量，它無最小

5、度量單位． （4）兩者的運算體系不同 （4）兩者的運算體系不同．初等數(shù)學通過加、減、乘、除、乘方、開方等方法建立了常量間的有限運算體系 有限運算體系，并用這些運算方法解決實際問題．高等數(shù)學通過極限的方法建立了變量間的無限運算體系無限運算體系，并運用“常量”和“變量”、 “有限”和“無限”間的相互轉(zhuǎn)換，達到解決實際問題的目的．近代所有數(shù)學，真正“能算的”，幾乎都歸結(jié)為這兩種運算體系． 高等數(shù)學主要研究一個連續(xù)量隨另外一個連續(xù)量連續(xù)變化規(guī)

6、律（函數(shù)）． 2．高等數(shù)學的主要內(nèi)容 2．高等數(shù)學的主要內(nèi)容 高等數(shù)學的主要內(nèi)容是微分學 微分學與積分學 積分學．在研究變量時，微分學主要研究函數(shù)的局部性態(tài)，要在某處附近對變量的極其微小的變化情況作出精細的分析．積分學主要研究函數(shù)的整體特征，要洞察整個無限變化過程中變量變化的全貌． 高等數(shù)學（大學教學中慣稱）組成為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?空間解析幾何 微分學高等數(shù)學 數(shù)

7、學分析(極限論) 積分學微分方程 無窮級數(shù)空間解析幾何 微分學高等數(shù)學 數(shù)學分析(極限論) 積分學微分方程 無窮級數(shù)． §1.1 函數(shù) 全體非負整數(shù)即自然數(shù) 自然數(shù)（natural number）的集合記作 N，即 N={0,1,2,?,n,?}； 全體正整數(shù) 正整數(shù)的集合為 N ＋={1,2,?,n,?}； 全體整數(shù) 整數(shù)（integer）的集合記作 Z，即 Z={?,?n,?,?2,?1,0,1,2,?,n,?}； 全

8、體有理數(shù) 有理數(shù)（rational number）的集合記作 Q，即 Q= , p p Z q N p q q 且 與 互質(zhì) + ? ? ? ? ? ? ∈ ∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ； 全體實數(shù) 實數(shù)（real number）的集合記作 R，R* 表示排除 0 的實數(shù)集．R ＋ 表示全體正實數(shù)的集． 二、 初等函數(shù) 二、 初等函數(shù) 函數(shù)是變量與變量之間相互依賴關系的數(shù)學抽象．函數(shù)是變量，是微積分學的主要研究對象．正因如此，對

9、各類函數(shù)的定義及性質(zhì)有深刻的理解，就為進一步深入學習打下了良好的基礎． 函數(shù)的有關內(nèi)容，我們在中學就已經(jīng)研究得很透徹了，我們在此僅強調(diào)一些重要概念． 1. 1. 區(qū)間的概念 區(qū)間的概念 區(qū)間分有限區(qū)間 有限區(qū)間和無限區(qū)間 無限區(qū)間．開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間都是有限區(qū)間 有限區(qū)間．含有 ∞符號的區(qū)間都是無限區(qū)間 無限區(qū)間．這里，我們不討論無限區(qū)間的開閉性． 2. 2. 鄰域的概念 鄰域的概念 鄰域是某些有限區(qū)間的另一種表達形式，它

10、強調(diào)的是與一點有關的區(qū)間的表達，常見的下面有幾種形式． （1） （1） 有心鄰域 有心鄰域 設常數(shù) δ>0，則開區(qū)間 ( x0?δ, x0+δ) 就是點 x0 的一個 δ 有心鄰域 有心鄰域，簡稱鄰域 鄰域，記為 U(x0, δ)，即 U(x0, δ)={x|x0?δ<x<x0+δ}={x||x?x0|<δ } 其中點 x0 稱為這個鄰域的中心 中心，δ 稱為這個鄰域的半徑 半徑． （2） （2） 去心

11、鄰域 去心鄰域 去掉中心的鄰域，稱為點 x0 的 δ 去心鄰域 去心鄰域，簡稱去心鄰域 去心鄰域，記為 U0(x0, δ)，即 U0(x0, δ)={x|x0?δ<x<x0+δ, x≠x0}={x|0<|x?x0|<δ}={x|(x0?δ, x0) ∪( x0, x0+δ) } ● 若無須指明鄰域半徑而泛指某一個鄰域或去心鄰域時，鄰域可簡記為 U(x0) 或 U0(x0)． （3） （3） 半鄰域 半鄰域

12、 有時只用到半個鄰域．稱 U?(x0, δ)=(x0?δ, x0) 為點 x0 的左 δ 鄰域 鄰域；U+(x0, δ)=(x0, x0+δ) 為點 x0的右 δ 鄰域 鄰域． （4） （4） 有限區(qū)間與鄰域的關系 有限區(qū)間與鄰域的關系 有限區(qū)間和鄰域都可以表示某些有界實數(shù)集 有界實數(shù)集，只是表示的方式不同．有限開區(qū)間是用構(gòu)成某實數(shù)集中的兩個界點來表示該數(shù)集的， 而鄰域是用鄰域中心和鄰域半徑來表示該實數(shù)集的， 兩者是等價的；但去