正弦定理和余弦定理-知識點及典型例題

1、學(xué)習必備 精品知識點正弦定理和余弦定理要點梳理 正弦定理和余弦定理要點梳理1．正弦定理 ．正弦定理其中 其中 R 是 三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為： 三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(3)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ 等形式，以解決不同的三角形問題． 等形式，

2、以解決不同的三角形問題．a(chǎn)2Rb2Rc2R2．三角形面積公式 ．三角形面積公式S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)·r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑 是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算 ，并可由此計算 R、r.121212abc4R123．余弦定理： ．余弦定理：.2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abc

3、os C ＝＋－，＝＋－，＝＋－余弦定理可以變形為： 余弦定理可以變形為：cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ .2 2 2 b c a2bc? ?2 2 2 a c b2ac? ?2 2 2 a b c2ab? ?4．在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題： ．在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角； 已知兩角及任一邊，求其它邊或角； (2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角． 已知兩

4、邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況 情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分． 中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題： 余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題； 已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題； (2)已知三邊問題． 已知三邊問題．基礎(chǔ)自測 基礎(chǔ)自測1．在 ．在△ABC 中，若 中，若 b＝1，c＝ ，C＝ ，則 ，則 a＝ . 3 2π32．已

5、知 ．已知△ABC 的內(nèi)角 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 的對邊分別為 a，b，c，若 ，若 c＝ ，b＝ ，B＝120°，則 ，則 a＝________. 2 63．在 ．在△ABC 中，若 中，若 AB＝ ，AC＝5，且 ，且 cos C＝ ，則 ，則 BC＝________ . 5 9104．已知圓的半徑為 ．已知圓的半徑為 4，a、b、c 為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若 為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若 abc＝16

6、，則三角形的面積為 ，則三角形的面積為( ) 2A．2B．8C.D. 2 2 222題型分類 題型分類 深度剖析 深度剖析題型一 題型一 利用正弦定理求解三角形 利用正弦定理求解三角形例 1 在△ABC ABC 中， 中，a＝ ，b＝ ，B＝45°. 45°.求角 求角 A、C 和邊 和邊 c. 3 2變式訓(xùn)練 變式訓(xùn)練 1 已知 已知 a，b，c 分別是 分別是△ABC 的三個內(nèi)角 的三個內(nèi)角 A，B，C 所對

7、的邊，若 所對的邊，若 a＝1，b＝ ，A＋C＝2B，則 ，則 A 32 sin sin sina b c R A B C ? ? ?學(xué)習必備 精品知識點＝題型二 題型二 利用余弦定理求解三角形 利用余弦定理求解三角形例 2 在△ABC 中， 中，a、b、c 分別是角 分別是角 A、B、C 的對邊，且 的對邊，且 ＝ .cos Bcos Cb2a c ? ?（1）求角 ）求角 B 的大?。?的大??； (2)若 b＝ ，

8、a＋c＝4，求 ，求△ABC 的面積． 的面積． 13變式訓(xùn)練 變式訓(xùn)練 2 已知 已知 A、B、C 為△ABC 的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為 的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為 a、b、c，且 ，且 .2 A 2cos +cos A=0 2(1)求角 求角 A 的值； 的值； (2)若 a＝2 ，b＋c＝4，求 ，求△ABC 的面積． 的面積． 3題型三 題型三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 正、余弦定理的綜合應(yīng)用例 3. 在△ABC

9、 中， 中，a、b、c 分別是角 分別是角 A、B、C 的對邊 的對邊 2 2 2 2(sin sin ) ( )sin , A C a b B ? ? ? 已知△ABC 外接圓半徑為 外接圓半徑為 2 .（1）求角 ）求角 C 的大??； 的大小； （2）求 ）求△ABC 面積的最大值 面積的最大值.變式訓(xùn)練 變式訓(xùn)練 3 在△ABC 中，內(nèi)角 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊長分別是 所對的邊長分別是 a，b，c.(1)若

10、 c＝2，C＝ ，且 ，且△ABC 的面積為 的面積為 ，求 ，求 a，b 的值； 的值；π3 3(2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，試判斷 ，試判斷△ABC 的形狀． 的形狀．例 4 設(shè)△ 設(shè)△ABC 的內(nèi)角 的內(nèi)角 A、B、C 所對的邊分別為 所對的邊分別為 a、b、c，且 ，且 acosC＋ c＝b.12(1)求角 求角 A 的大小； 的大?。?(2)若 a＝1，求△ ，求△ABC 的周長 的周長 l 的