多元統(tǒng)計分析課后練習(xí)答案

1、第 1 章 多元正態(tài)分布 多元正態(tài)分布1、在數(shù)據(jù)處理時，為什么通常要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理？ 、在數(shù)據(jù)處理時，為什么通常要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理？數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化是將數(shù)據(jù)按比例縮放， 使之落入一個小的特定區(qū)間。 在某些比較和評價的指標(biāo)處理中經(jīng)常會用到， 去除數(shù)據(jù)的單位限制， 將其轉(zhuǎn)化為無量綱的純數(shù)值，便于不同單位或量級的指標(biāo)能夠進(jìn)行比較和加權(quán)。其中最典型的就是0-1 標(biāo)準(zhǔn)化和 Z 標(biāo)準(zhǔn)化。2、歐氏距離與馬氏距離的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？ 、歐氏距離與馬氏距離的優(yōu)缺點(diǎn)

2、是什么？歐氏距離也稱歐幾里得度量、歐幾里得度量，是一個通常采用的距離定義，它是在 m 維空間中兩個點(diǎn)之間的真實(shí)距離。 在二維和三維空間中的歐氏距離的就是兩點(diǎn)之間的距離。缺點(diǎn)：就大部分統(tǒng)計問題而言，歐氏距離是不能令人滿意的。每個坐標(biāo)對歐氏距離的貢獻(xiàn)是同等的。 當(dāng)坐標(biāo)表示測量值時， 它們往往帶有大小不等的隨機(jī)波動，在這種情況下，合理的方法是對坐標(biāo)加權(quán)，使變化較大的坐標(biāo)比變化較小的 坐標(biāo)有較小的權(quán)系數(shù)， 這就產(chǎn)生了各種距離。 當(dāng)各個分量為不同

3、性質(zhì)的量時， “距離”的大小與指標(biāo)的單位有關(guān)。它將樣品的不同屬性之間的差別等同看待，這一點(diǎn)有時不能滿足實(shí)際要求。沒有考慮到總體變異對距離遠(yuǎn)近的影響。馬氏距離表示數(shù)據(jù)的協(xié)方差距離。 為兩個服從同一分布并且其協(xié)方差矩陣為Σ的隨機(jī)變量與的差異程度 :如果協(xié)方差矩陣為單位矩陣 ,那么馬氏距離就簡化 為歐氏距離,如果協(xié)方差矩陣為對角陣,則其也可稱為正規(guī)化的歐氏距離。優(yōu)點(diǎn)： 它不受量綱的影響， 兩點(diǎn)之間的馬氏距離與原始數(shù)據(jù)的測量單位無關(guān)。由標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)

4、據(jù)和中心化數(shù)據(jù)計算出的二點(diǎn)之間的馬氏距離相同。 馬氏距離還可以排除變量之間的相關(guān)性的干擾。缺點(diǎn)：夸大了變化微小的變量的作用。受協(xié)方差矩陣不穩(wěn)定的影響，馬氏距離并不總是能順利計算出。3、當(dāng)變量 、當(dāng)變量 X1 X1 和 X2 X2 方向上的變差相等，且與互相獨(dú)立時，采用歐氏距離與統(tǒng)計 方向上的變差相等，且與互相獨(dú)立時，采用歐氏距離與統(tǒng)計距離是否一致？ 距離是否一致？統(tǒng)計距離區(qū)別于歐式距離， 此距離要依賴樣本的方差和協(xié)方差， 能夠體現(xiàn)各變量

5、在變差大小上的不同， 以及優(yōu)勢存在的相關(guān)性， 還要求距離與各變量所用的單位無關(guān)。如果各變量之間相互獨(dú)立,即觀測變量的協(xié)方差矩陣是對角矩陣, 則 馬氏距離就退化為用各個觀測指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)作為權(quán)數(shù)的加權(quán)歐氏距離。4、如果正態(tài)隨機(jī)向量 、如果正態(tài)隨機(jī)向量 X ? (X1, X2,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。解： 因?yàn)?X ? (X1, X2,pXp)?的協(xié)方差陣 的協(xié)方差陣?為對角陣，證明 為對角陣，證明 X 的分量 的

6、分量Xp)?的密度函數(shù)為? 1 ? ?1/2 ? 1 ??1 ? f (x1,..., xp) ? ? Σ exp ? (x ?μ) Σ (x ?μ) ? ? ? ? 2 ? ? 2? ??y ? ?1 ? （c）如果 ）如果 y ? ? 1? 且 y ～ N（?， ，寫出 ，寫出 y y 關(guān)于 關(guān)于 y1 與y2 的表達(dá)式，并 的表達(dá)式，并 ） ? ??y2?寫出 寫出y?? y 的分布。 的分布。2 1 ） 1） 解： （a）由于y

7、1 ～ N（0, ，所以y1 ～ ?（ 。?11） 4） （b）由于y1 ～ N（0, ，y2～ N （3, ；所以y2 ? 32 1） ～ N （0, ；故y? y ? y1 2 ? (y2 ? 322 2） ) 2 ，且y ?y ～ ?（第2章 均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn) 均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)1、略 、略2、試談 、試談 Wilks Wilks 統(tǒng)計量在多元方差分析中的重要意義。 統(tǒng)計量在多元方差分析中的重要意義。3、題目此略 、

8、題目此略多元均值檢驗(yàn),從題意知道，容量為 9 的樣本 ，總體協(xié)方差未知假設(shè) H0： ? ? ?0 ， H1： ? ? ?0 (n=9 p=5)檢驗(yàn)統(tǒng)計量T 2 ? n(X ? ?0)?S ?1(X ? ?0)服從 P，n-1 的T 2 分布/(n-1)統(tǒng)計量T 2 實(shí)際上是樣本均值與已知總體均值之間的馬氏距離再乘以 n*（n-1）,這個值越大，相等的可能性越小，備擇假設(shè)成立時， T 2 有變大的趨勢，所以拒絕域選擇T 2 值較大的右側(cè)部