大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題講解

1、大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題講解大一高數(shù)函數(shù)與極限 函數(shù)與極限第一節(jié) 第一節(jié) 函數(shù) 函數(shù)○函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)） （★★★）○鄰域（去心鄰域） （★）U ?a,???? x | x ? a ? ??U ?a,? ??? x | 0 ? x ? a ? ??數(shù)列的極限 數(shù)列的極限○數(shù)列極限的證明（★）【題型示例】已知數(shù)列? xn?，證明lim?xn?? ax??第二節(jié) 第二節(jié)【證明示例】? ? N 語言1．由 xn ? a ? ? 化簡(jiǎn)

2、得n ? g? ? ?，∴ N ? ? ?g?? ?? ?2．即對(duì)?? ? 0，?N ? ? ?g?? ?? ? ，當(dāng)n ? N 時(shí)，始終有不等式 xn ? a ? ? 成立，∴ lim? xn?? ax?? 函數(shù)的極限 函數(shù)的極限○ x ? x0時(shí)函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù) f ?x?，證明 lim f ?x?? A第三節(jié) 第三節(jié)x?x0 【證明示例】? ?? 語言1．由 f ?x?? A ? ? 化簡(jiǎn)得0 ? x ?

3、x0 ? g?? ?，∴? ? g? ??2．即對(duì)?? ? 0，?? ? g? ??，當(dāng)0 ? x ? x0 ? ? 時(shí)，始終有不等式 f ?x?? A ? ? 成立，∴ lim f ?x?? Ax?x0 ○ x ? ? 時(shí)函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù) f ?x?，證明 lim f ?x?? Ax?? 【證明示例】? ? X 語言1．由 f ?x?? A ? ? 化簡(jiǎn)得 x ? g?? ?，∴ X ? g? ? ?2．即對(duì)?

4、? ? 0，?X ? g? ? ?，當(dāng) x ? X 時(shí)，始終有不等式 f ?x?? A ? ? 成立，∴ lim f ?x?? Ax?? 無窮小與無窮大 無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質(zhì)（★）第四節(jié) 第四節(jié)1 / 18大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題講解【 求 解 示 例 】 解 ： 因 為 x ? 3 ， 從 而 可 得 x ? 3 ， 所 以 原 式? limx?3x ?3 x ?3 1 1 ? lim ? lim ? x2 ?9 x?3

5、?x ? 3??x ?3? x?3 x ? 3 6其中 x ? 3為函數(shù) f ?x??00x ?3 的可去間斷點(diǎn) 2 x ?9倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見第三章第二節(jié)） ：x ?3?? ? x ?3 1 1 ? lim ? 解：lim2 ?? limx?3 x ?9 L x?3 x?3 2x 6 ?x2 ?9? ?○連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解） （★★）（定理五）若函數(shù) f ?x?是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么， lim f ?

6、???x?? ? ?x?x0f ?lim??x??? ? ?x?x0 ?【題型示例】求值：limx?3【求解示例】limx?3第六節(jié) 第六節(jié)x ?32 x ?9x ?3 x ?3 1 6 ? lim ? ?2 2 x?3 x ?9 x ?9 6 6極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限○夾迫準(zhǔn)則（P53） （★★★）第一個(gè)重要極限：lim? 2 ?sin x ?1x?0 xx? ? sin x ∵?x ?? ?1 ?0,

7、 ?，sin x ? x ? tan x ∴l(xiāng)imx?0lim1 x 1x?0 lim ? lim ? ?1x?0 sin x x?0 sin x ? sin x ? lim? ?x?0 x ? x ?（特別地，x lim?xsin(x ? x0) ?1）0 x ? x0○單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57） （★★★）1 ? 第二個(gè)重要極限：lim?1? ? ? ? ex??? x ?g?x? limg?x? （一般地，lim ? ，其中l(wèi)im