關于廣義維諾格拉多夫二次型在圓球內整點個數(shù)問題.pdf

1、維諾格拉多夫二次型定義為如下的一組方程{x21+x22+x23=y21+y22+y23,(0.1)x1+x2+x3=y1+y2+y3.更一般的情形為如下的方程組{x1,1+x2,1+x3,1=x1,i+x2,i+x3,i(2≤i≤k),(0.2)x21,1+x22,1+x23,1=x21,i+x22,i+x23,i(2≤i≤k).其中(0.1)為(0.2)當k=2時的特殊情形，(0.1)作為最初的形式引入被許多的研究者深入的研究過，也有

2、這方面工作的推廣，得到許多有價值的結果(見文[1]，[2],[3]).
　　許多的作者考慮了這一問題的不同的變換形式和相關的問題.最古典的問題如考慮如下的方程:xk1+xk2=xk3+xk4(0.3)其中k≥2且k為一自然數(shù)，求(x1,x2,x3,x4)在滿足|xi|≤N(i=1,2,3,4)整數(shù)解的個數(shù).
　　當k取不同的值時，方程(0.3)整數(shù)解的分布情況會有截然相反的變化。當k≥3時，Hooley(見文[4]，[5]，

3、[6])證明了大概有4N2的整數(shù)解在對角線上，即滿足x1=x3,x2=x4或者x1=x4,x2=x3的整數(shù)解的個數(shù)，而不在對角線上整數(shù)解的個數(shù)的階要低一些.而當k=2情形下，方程(0.3)在矩形中大概有N2 logN整數(shù)解，而此時方程在對角線上解的個數(shù)為N2,這表明在這種情況下對角線上整數(shù)解的個數(shù)不占主導地位.
　　類似的，我們考慮(0.2)在滿足|xl，i|≤N時整數(shù)解的個數(shù).令(V)k(N)表示為滿足這個條件的整數(shù)解的個數(shù).那

4、么，根據(0.4)，可以得到Vk(N/√3)≤(V)k(N)≤Vk(N)那么根據定理(1.1)我們有如下的估計(V)k(N)(≈)N3(log N)2k-1-1.運用初等的方法我們在想法上也能得到(V)k(N)的漸進公式，但可能得到的結果跟分析上的方法相比較要弱一些.實際上，當k=2時，我們運用Dirichlet的雙曲方法我們能得到如下的結果:(V)2(N)=(12/π)N3 logN+(c)N3+ O(N5/2 log N)其中(c)

5、為一常數(shù).將以上的結果與(0.6)相比較，可以驗證剛才的結論.
　　本文中我們考慮方程組(0.2)在滿足一定條件下整數(shù)解的個數(shù)的分布情況.記Vk(N)為滿足在一個圓球內的整數(shù)解的個數(shù)x21,i+x22,i+x23,i≤3N2,1≤i≤k(0.4)
　　我們主要通過對Riemann-zeta函數(shù)在水平線上1/2≥σ≥1更精確的估計以及利用Riemann-zeta函數(shù)的均值估計改進了Valentin Blomer和J(o)rgB

6、rüdern最新的研究結果(參見[7])，并假定若滿足Lindel(o)f猜想我們能得到更好的結果.文章分為四個部分.第一部分系統(tǒng)的介紹了本課題的研究背景，給出了本文的主要結果:
　　定理1.1令k≥2是一個任意固定的自然數(shù).當k=2,3時，對任意δ滿足0＜δ＜21/13·2k-1實數(shù)，我們有Vk(N)=N3Pk(log N)+O(N3-δ)(0.5)其中Pk是次數(shù)為2k-1-1多項式.
　　定理1.2令k≥2是一個任意固定

7、的自然數(shù).當k≥4時，對任意δ滿足0＜δ＜63/13·2k-1實數(shù)，我們有Vk(N)=N3Pk(log N)+O(N3-δ)(0.6)其中Pk是次數(shù)為2k-1-1多項式.特別地，當k=2時，我們有P2(x)=48(x+c)，其中c=γ+1/2log2+log3-4/3+L'(1,x)/L(1,x)-ζ'(2)/ζ(2)其中x表示模3的非主特征，我們還得到如下更好的結果:V2(N)=N3P2(logN)+O(N2 log N).(0.7)

8、
　　定理1.3令k≥3是一固定的任意自然數(shù).如果假定Lindel(o)f猜想對于ζ(s)和L(s，x)是正確的，那么，對于任意滿足0＜δ＜1實數(shù)，我們有如下的公式:Vk(N)=N3Pk(logN)+O(N3-δ).
　　第二部分介紹了需要證明定理的所需的預備知識，主要介紹Riemann-Zeta函數(shù)的高次均值估計，運用截斷的Mellin積分變換，然后運用柯西留數(shù)定理進行積分估計.根據k不同的取值范圍，分別通過Riemann

9、-zeta函數(shù)在水平線上的估計或者運用ζ(σ+it)均值估計得到積分的估計，選取恰當?shù)膮?shù)，進而得到更好的結果.
　　第三部分根據Valentin Blomer和J(o)rg Brüidern的想法(見文[7])，我們把計算滿足方程組(0.2)的圓內整點個數(shù)與二元二次型聯(lián)系起來，通過一些簡單的代數(shù)數(shù)論方面的知識，將主要定理轉化為引理的表達形式.
　　第四部分是定理的證明.主要是根據約化后的形式的定理，主要運用了J.Bourg