奇異高階非線性微分方程邊值問題及奇異二階方程組的正解.pdf

1、近來，由于工程物理和化學(xué)領(lǐng)域新問題的提出，奇異非線性常微分方程及方程組邊值問題的正解這一課題引起了廣泛關(guān)注，在研究過程中，人們對(duì)方程右端的非線性函數(shù)提出了種種約束條件，本文第二章和第三章從線性全連續(xù)算子的特征值和譜半徑的角度出發(fā)，對(duì)邊值問題中非線性函數(shù)提出了一類新型的約束條件，并且利用錐理論和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得了正解的存在性結(jié)果，推廣了一些相應(yīng)文獻(xiàn)的結(jié)論.第四章用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得到了一般形式的Sturm-Liouville型微分

2、方程組的正解，改進(jìn)了以往一些文獻(xiàn)中相應(yīng)的結(jié)果. 第二章考慮四階奇異邊值問題u(4)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(O，1)，(1)a1u(0)-b1u'(0)=0，c1u(1)+d1u'(1)=0，(2)a2u"(O)-b2um(O)=0，c2u"(1)+d2um(1)=O，(3)和u(4)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(0，1)，(4)a2u(O)-b2u'(0)=O，c2u(1)+d2u'(1)=O，(5)a1u

3、"(O)-b1um(0)=0，c1u"(1)+d1um(1)=O，(6)并且ai，bi，ci，di滿足ai≥0，bi≥0，ci≥0，di≥0，ai2+bi2＞O，ci2+di2＞0，△i=aici+aidi+bici＞O，(i=1，2).假設(shè)(H1)h：(0，1)→[0，+∞)連續(xù)，h(t)在(0，1)上不恒為零，且允許在t=0及t=1處奇異;(H2)f：[O，+∞)→[O，+∞)連續(xù)；(H3)∫01Gi(s，s)h(s)ds＜+∞，i

4、=1，2.Gi(t，s)=1/△i{(bi+ais)[di+ci(1-t)],0≤s≤t≤1,i=1，2.(bi+ait)[di+ci(1-s)],0≤t≤s≤1.在條件liminfu→0+f(u)/u＞λ1*，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1*；(7)或limsupu→0+f(u)/u＜λ1，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1.(8)下，邊值問題(1)-(3)至少存在一個(gè)正解.在條件liminfu→0+f(u)/u＞λ1，l

5、imsupu→+∞f(u/)u＜λ1，(9)或limsupu→0+f(u)/u＜λ1*，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*，(10)下，邊值問題(4)-(6)至少存在一個(gè)正解.這里λ1，λ1*是相應(yīng)線性算子的第一特征值.第三章研究了邊值問題(-1)nu(2n)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(O，1)，(11)u(2i)(O)=u(2i)(1)=0.(12)和(-1)nu(2n)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(0，1)，

6、(13)u(2i)(O)=u(2i+1)(1)=O.(14)其中i=O，1，2，…，n-1.假設(shè)以下條件滿足(F1)h：(0，1)→[O，+∞)連續(xù)，h(t)在(0，1)上不恒為零，且允許在t=O及t=1處奇異；(F2)f：[0，+∞)→[0，+∞)連續(xù)；(F3)∫10Gi(s,s)h(s)ds＜+∞，i=1，2，其中G1(t，s)={t(1-s)，0≤t≤s≤1，s(1-t)，0≤s≤t≤1.G2(t，s)={t，0≤t≤s≤1，s，

7、0≤s≤t≤1.是相應(yīng)齊次邊值問題的Green函數(shù).limsupu→0+f(u)/u＜λ1，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*；(15)或liminfu→0+f(u)/u＞λ1，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1.(16)則邊值問題(11)，(12)至少存在一個(gè)正解.(F1)，(F2)，(F3)滿足，且liminfu→0+f(u)/u＞λ1*，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1*；(17)或limsupu→0+f(u)/u

8、＜λ1*，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*.(18)則邊值問題(13)，(14)至少存在一個(gè)正解.這里λ1，λ1*是相應(yīng)線性算子的第一特征值.第四章考慮了邊值問題-Lu(t)=a(t)f(u(t)，v(t))，-Lv(t)=b(t)g(u(t),v(t))，0＜t＜1.(19)R1(u)=α1u(0)-β1u’(O)=0，R1(y)=α1v(0)-β1v’(O)=O，R2(u)=α2u(1)+β2u’(1)=O，R2(v)=α2

9、(1)+β2v’(1)=O.其中Lu=(p(t)u’)’+q(t)u，αi≥0，βi≥0，αi2+βi2≠O，i=1，2，p(t)∈C1[0，1]，q(t)∈C[O，1]，p(t)＞O，q(t)≤0，()t∈[0，1]，a(t)，b(t)允許在t=0和t=1處奇異.假設(shè)(S1)f，g：[0，+∞)×[0，+∞)→[O，+∞)連續(xù)；(S2)a(t)，b(t)：(O，1)→[O，+∞)連續(xù)，不恒為O，且允許在t=O和t=1處奇異；(S3)m

10、1=∫10G(s，s)a(s)ds＜+∞，m2=∫10G(s，s)b(s)ds＜+∞，這里G(t，s)=1/w{u(t)v(s)，0≤t≤s≤l，u(s)v(t)，O≤s≤t≤1.w＞O.limsupu→0+v≥0f(u,v)/u＜m1-1，limsupv→0+u≥0g(u,v)/v＜m2-1；(20)liminfu→+∞v≥0f(u,v)/u＞M1-1，liminfv→+∞u≥0g(u,v)/v＞M2-1.(21)或limsupu→0