g-函數(shù)，弱基g-函數(shù)及基數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.pdf

1、一般拓撲學(xué)從開創(chuàng)至今已經(jīng)歷了一百多年的歷史，雖然它的發(fā)展相對于其它一些數(shù)學(xué)學(xué)科如分析學(xué)，代數(shù)學(xué)，歐式幾何學(xué)和數(shù)論要晚了許多，但是經(jīng)過一百多年，特別是二十世紀五十年代到七十年代的蓬勃發(fā)展，拓撲學(xué)的理論已日趨成熟與完善．在一般拓撲學(xué)的研究和發(fā)展過程中拓撲空間的可度量化問題始終是一個中心課題，這是因為度量空間本身具有許多良好的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用．拓撲學(xué)中第一個度量化定理是由Alexandroff和Uysohn于1923年發(fā)

2、表的： T<,O>空間可度量化當且僅當它有一個正則的展開．1925年，Urysohn證明了一個經(jīng)典結(jié)論：每一正則具有可數(shù)基的空間是可度量化的．自從Urysohn的結(jié)果發(fā)表以后，給出“一般的度量化定理”的問題就被提出來了。這一問題要求尋找一個度量化定理使得Urysohn的經(jīng)典結(jié)果是其簡單和自然的推論．直到二十世紀五十年代，這一問題才由三位數(shù)學(xué)家分別獨立得到，其中Nagata[1950]和Smirnov[1951]用σ-局部有限的基來刻畫度

3、量空間，Bing[1951]用σ-離散基來刻畫度量空間．之后，越來越多的拓撲學(xué)家通過各種不同的工具和方法來研究度量化定理．比如，C<,σ>對角線，點可數(shù)基(它是σ-局部有限的基和σ-離散基的推廣)，β-基，g-函數(shù)，以及近年來定義的弱基g-函數(shù)等等．并且得到了許多重要的結(jié)論，豐富了度量化定理的研究。 同時，我們也應(yīng)該注意到在眾多的重要的拓撲空間中能夠度量化的空間僅占極少部分，因此研究與度量空間有密切聯(lián)系的廣義度量空間的性質(zhì)就具有

4、非常重要的意義．本文中，我們沒有定義新的廣義度量空間，因為隨著一般拓撲學(xué)的迅猛發(fā)展，各種形式的度量空間的推廣已經(jīng)非常豐富．我們試圖用已有的拓撲學(xué)中研究廣義度量空間的重要工具---g--函數(shù)去研究兩類比較重要的拓撲空間的性質(zhì)． 在第一章中，我們以弱基g-函數(shù)為工具研究了度量化定理，主要的結(jié)果分為三個方面．首先在第1.3節(jié)中，我們討論了由高智民教授和彭良雪教授給出的兩個度量化定理條件之間的關(guān)系，指出它們是相互不包含的．從而提出一個問

5、題：是否存在兩個度量化定理，分別是上述兩個度量化定理的推廣?然后，在第1.4節(jié)中，我們通過對上述問題的研究，定義了幾個關(guān)于弱基g-函數(shù)的新條件，減弱了已知的弱基g-函數(shù)的條件，從而解答了上述問題．最后，在第1.5節(jié)中，我們進一步研究了度量化定理，減弱了一個由A.M.Mohamad給出的度量化定理的條件，得到了該定理的一個推廣． 在第二章中，我們主要研究了兩類重要的廣義度量空間：σ-空間和WN-空間的性質(zhì)．首先在第2.3節(jié)中，我們

6、利用CF-集族和g-函數(shù)的概念對于正則Frechet條件下的σ-空間進行了刻畫，給出了判定正則Frechet空間是σ-空間的一個充要條件，通過該刻畫與已有結(jié)論的比較可以看出在相同條件下σ-空間與Lasnev空間的差別．在第2.4節(jié)中，我們對WN-空間的可膨脹性進行了研究。得到了正規(guī)條件下WN-空間可膨脹的一個條件．并且我們知道在q-空間中WN-空間與MCP空間是等價的，故此結(jié)論對于Chris.Good在2000年提出的“MCP空間是否是

7、可膨脹的”這一問題的最終解決也起著重要的作用． 定義于拓撲空間到基數(shù)集內(nèi)的對應(yīng)f稱為基數(shù)函數(shù)，若對于每一個拓撲空間X，對應(yīng)一個基數(shù)f(X)使得如果空間X同胚于空間y，則F(X)=f(y)．基數(shù)函數(shù)將一些重要的拓撲性質(zhì)擴展到了高基數(shù)的情形。R.Hodel[1984]指出：基數(shù)函數(shù)是集論拓撲中最有效和最重要的統(tǒng)一概念之一． 在第三章中，我們主要借助一般拓撲學(xué)中基數(shù)函數(shù)的概念來研究L-fuzzy保序算子空間的基本性質(zhì)．因為在一