涉及擬公共值和小函數(shù)的亞純函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的唯一性定理.pdf

1、二十世紀(jì)二十年代,芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并建立了兩個(gè)理論,被稱(chēng)為Nevanlinna定理(值分布論);他所創(chuàng)建的這一理論也是二十世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就之一,是現(xiàn)代亞純函數(shù)的基礎(chǔ).半個(gè)多世紀(jì)以來(lái),R.Nevanlinna理論研究在不斷發(fā)展,而且在復(fù)微分方程震蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應(yīng)用.亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年來(lái)國(guó)際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究?jī)?nèi)容,涉及公共值

2、的亞純函數(shù)唯一性問(wèn)題理論研究起源于R.Nevanlinna的一些研究工作,他不僅為唯一性問(wèn)題研究奠定了理論基礎(chǔ),還為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力.他所建立的5IM公共值定理,4CM公共值定理等都是這一研究領(lǐng)域的經(jīng)典結(jié)果.從二十世紀(jì)三十年代末到五十年代中期,唯一性理論的研究處于停滯狀態(tài),直到二十世紀(jì)五十年代末,我國(guó)著名數(shù)學(xué)家熊慶來(lái)和楊樂(lè)等在這一方面取得了一些深刻的結(jié)果.隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問(wèn)題得

3、到了解決,新的研究問(wèn)題又不斷出現(xiàn),如F.Gross問(wèn)題,R.Brück猜想,Yi-Yang問(wèn)題及A.Hinkkanen問(wèn)題,都是許多數(shù)學(xué)家所關(guān)注的研究對(duì)象,F.Gross,G.G.Gundersen,G.Frank,E.Mues等數(shù)學(xué)家都獲得了不少研究成果.
　　 近二十年來(lái),儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論的研究中,獨(dú)樹(shù)一幟.他在這一領(lǐng)域所做的原創(chuàng)性工作(參見(jiàn)[1][2]),吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者,著名數(shù)學(xué)家的研究興趣,從而有力地推動(dòng)

4、了亞純函數(shù)唯一性理論的發(fā)展,也為中國(guó)在這一領(lǐng)域的國(guó)際地位做出了重要貢獻(xiàn).李效敏教授在亞純函數(shù)唯一性理論研究中比較活躍,作了許多研究工作,得到了國(guó)內(nèi)外同行的關(guān)注.不僅如此,他還在復(fù)微分方程和亞純函數(shù)正規(guī)族的研究中得到不少突出的結(jié)果,例如他在Brück猜想和Gundersen問(wèn)題等方面作了許多研究工作(參見(jiàn)[3][4][5]).
　　 本文介紹了作者在導(dǎo)師的精心指導(dǎo)下所完成的一些研究工作.全文共分三章.
　　 第一章,主要介

5、紹Nevanlinna理論中的主要概念,常用記號(hào)及經(jīng)典結(jié)果.
　　 第二章,主要研究了亞純函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分擔(dān)四個(gè)小函數(shù)或四個(gè)值的唯一性問(wèn)題,兩個(gè)主要結(jié)果,改進(jìn)了R.Nevanlinna,G.G.Gundersen,L.Yang,G.D.Qiu 等人的結(jié)果.下面是主要定理.
　　 定理1 f和g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),b1,b2,b3,b4是四個(gè)判別的函數(shù)且{b1,b2,b3,b4}(∈)∈{S(f)∩S(g)}.如-ED(O

6、,f(k)-6j)=ED(O,g(k)-6j)(j=1,2,3,4),這里,l(≥1)和k(≥1)是正整數(shù),使得1/l+1/k+1·(1+1/l)＜1,則f(k)=g(k)·定理2 f和g是兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù),b1,b2,b3是三個(gè)判別的有窮值,如果f(k)和g(k)是兩個(gè)判別的非常數(shù)亞純函數(shù)且IM分擔(dān)b1,b2,b3,∞,這里k(≥)是一個(gè)正整數(shù),則f和g是正規(guī)增長(zhǎng)的,且有相同的增長(zhǎng)級(jí),級(jí)是正整數(shù)或無(wú)窮.
　　 第三章,我們主

7、要研究非線(xiàn)性微分多項(xiàng)式分擔(dān)一個(gè)非零擬公共值的亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題,得到一個(gè)主要結(jié)果,改進(jìn)了C.Y.Fang and M.L.Fang.,I.Lahiri and Mandal,A.Banerjee等人的有關(guān)結(jié)果.下面是主要定理.定理3 設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),且滿(mǎn)足E2)(1,fn(af2+bf+c)f')=E2)(1,gn(ag2+bg+c)g'),這里a≠0,b和c是復(fù)數(shù),且滿(mǎn)足|b|+|c|≠0,n是一個(gè)正整數(shù)且滿(mǎn)足n＞1