局部對偶平坦的Finsler度量.pdf

1、對偶平坦的流形是微分幾何中一類重要的研究對象，應(yīng)用非常廣泛，在信息幾何，相對論，超弦理論中有重要的應(yīng)用．沈忠民教授曾從Finsler幾何的角度對信息幾何做了很多研究.但要從Finsler幾何出發(fā)研究信息幾何，就必須先研究對偶平坦或局部對偶平坦的Finsler度量．而在目前已知的Finsler度量中，只有Fuck度量和局部閔可夫斯基度量是局部對偶平坦的．在局部對偶平坦的Finsler度量研究中，我們首先應(yīng)該研究Randers度量和(α，β

2、)-度量，在此基礎(chǔ)上再推廣到一般的Finsler度量．本文主要研究了局部對偶平坦的Randers度量和平方Randers度量的性質(zhì)，獲得以下結(jié)論: 定理3.3(M，F(xiàn))是n(≥3)維的Finsler空間，F(xiàn)是局部射影平坦的，則以下條件等價(jià): (1)F是局部對偶平坦； (2)P=c(x)F； (3)Fxl=2PFyl； (4)Fxlz=2c(x)FFyL. 其中P=Fxkyk/2F是F的射影

3、因子． 將定理3.3的結(jié)果應(yīng)用到非Randers度量的(α，β)-度量，我們有下面的結(jié)論： 定理3.4(M，F(xiàn))是(n≥3)維的Finsler空間，F(xiàn)=αφ(s)是(α，β)度量．其中α：=(√aijyiyj)是黎曼度量，β：=biyi是1形式，s=β/α．且φ≠k1(√1+k2s2)+k3s．則F是局部對偶平坦且局部射影平坦的當(dāng)且僅當(dāng)F是局部閔可夫斯基度量． 定理4.1(M，F(xiàn))是n(≥3)維Finsler空間

4、．F=α+β是Randers度量，其中α=(√aijyiyi)是局部射影平坦的黎曼度量，β：biyi是1形式，則F是局部對偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)F是下列情形之一： (1)F是局部閔可夫斯基度量； (2)F局部等距為(F)=(√|y|2+μ(|x|2|y|2-2))+2c/1+μ|x|2. 其中μ=-4c2，C是一常數(shù)． 當(dāng)c=1/2時(shí)，(F)是Fuck度量． 定理4.2(M，F(xiàn))是n

5、(≥3)維Finsler空間．F=α+β是Randers度量，其中α=(√aijyiyi)是黎曼度量，β：=biyi是閉的1形式，則F是局部對偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)其滿足： (1)bi|j=T/2(aij-bibj)+2ε(bibj-b2aij)； (2)Gmα=θym+εα2bm-εβym． 其中ε=ε(x)，τ=τ(x)是標(biāo)量函數(shù)，θ=6ε+τ/2β． 當(dāng)ε=0時(shí)，F(xiàn)可以局部等距為(F)=(√|y|2+μ(

6、|x|2|y|2-2))+2c/1+μ|x|2其中μ=-4c2，c是一常數(shù)．如果c=1/2，則此時(shí)(F)是一Fuck度量． 定理5.1(M，F(xiàn))是(n≥3)維的Finsler空間，F(xiàn)=(α+β)2/α是平方Randers度量，其中α：=(√aijyiyi)是局部射影平坦的黎曼度量，β：=biyi是1形式，s=β/α．則F是局部對偶平坦的當(dāng)且僅當(dāng)F是局部閔可夫斯基的． 定理5.2(M，F(xiàn))是(n≥3)維