PDE離散方程組和鞍點(diǎn)問題的預(yù)處理方法.pdf

1、本文主要使用對(duì)稱正定矩陣、M-矩陣、H-矩陣、嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣以及帶狀矩陣等知識(shí)和約束預(yù)處理技術(shù)、Krylov子空間方法、對(duì)角補(bǔ)償約化方法、不完全LU分解方法、HSS迭代方法、PHSS迭代方法、AHSS迭代方法、增廣拉格朗日方法、多乘許瓦茲方法以及稀疏近似逆預(yù)處理技術(shù)等方法得到了有關(guān)求解PDE離散方程組及大型稀疏鞍點(diǎn)系統(tǒng)的預(yù)處理技術(shù)。本文主要獲得了如下成果：
　　 基于不完全LU分解方法以及對(duì)角補(bǔ)償約化方法，本文設(shè)計(jì)了一類新的約

2、束預(yù)處理因子，應(yīng)用這類預(yù)處理子求解大型稀疏對(duì)稱正定系統(tǒng)并且從理論上驗(yàn)證了相關(guān)迭代方法的收斂性。在數(shù)值求解中，使用這類約束預(yù)處理子加速Krylov子空間迭代方法，例如：PCG迭代方法、GMRES迭代方法及BiCGSTAB迭代方法等，求解亥姆霍茲方程及泊松方程，通過與已有結(jié)論進(jìn)行數(shù)值比較，從迭代數(shù)及求解時(shí)間方面驗(yàn)證了本文提出的約束預(yù)處理因子的有效性及精確性。
　　 為了求解廣義鞍點(diǎn)問題，基于HSS、PHSS及AHSS方法，本文提出了

3、PAHSS迭代方法。在理論方面驗(yàn)證了PAHSS迭代方法對(duì)任意迭代參數(shù)都是無條件收斂的，并且詳細(xì)地研究和討論了相關(guān)預(yù)處理矩陣的譜的分布情形。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，使用PAHSS迭代方法作為預(yù)處理子加速Krylov子空間方法求解廣義鞍點(diǎn)問題，通過與AHSS迭代方法進(jìn)行數(shù)值比較，從迭代數(shù)及求解時(shí)間方面進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的PAHSS預(yù)處理因子的有效性及實(shí)用性。
　　 為了求解離散混合型時(shí)諧Maxwell方程，本文提出了兩類預(yù)處理因子：增廣拉格朗日

4、基塊三角預(yù)處理因子及多乘塊預(yù)處理因子。增廣拉格朗日基塊三角預(yù)處理因子是根據(jù)增廣拉格朗日基方法提出的，在文中，應(yīng)用增廣拉格朗日基塊三角預(yù)處理因子預(yù)處理求解鞍點(diǎn)問題，對(duì)相關(guān)預(yù)處理矩陣的譜分布情形做了詳細(xì)的研究。在數(shù)值實(shí)用中通過使用增廣拉格朗日基塊三角預(yù)處理因子預(yù)處理Krylov子空間方法，成功地驗(yàn)證了這類預(yù)處理子的有效性。根據(jù)多乘塊方法或多乘許瓦茲方法，本文提出了多乘塊預(yù)處理因子，應(yīng)用多乘塊預(yù)處理因子求解鞍點(diǎn)問題并且對(duì)相關(guān)預(yù)處理矩陣的譜做了

5、詳細(xì)的分析和研究。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，針對(duì)任意波數(shù)的離散型混合時(shí)諧Maxwell方程，應(yīng)用多乘塊預(yù)處理技術(shù)預(yù)處理Krylov子空間方法，從迭代數(shù)和求解時(shí)間方面與已有的塊對(duì)角及兩類塊三角預(yù)處理因子做了比較，數(shù)值結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了多乘塊預(yù)處理技術(shù)的優(yōu)越性。
　　 本文使用嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)五對(duì)角矩陣逆的上界估計(jì)作為近似逆預(yù)處理因子對(duì)Toeplitz系統(tǒng)進(jìn)行了有效地求解；然后對(duì)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)七對(duì)角矩陣的逆元素的上下界做了估計(jì)，并且，當(dāng)研究的矩陣為嚴(yán)格