數(shù)學物理問題中幾類無限維分次李代數(shù)的形變理論.pdf

1、本文探索數(shù)學物理問題中幾類無限維分次李代數(shù)的形變理論，其中包括Schr¨odinger-Virasoro李代數(shù)、擴張的Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)、W(2;2)李代數(shù).另外，我們還介紹了一類新的代數(shù)結構：Hom-李color 代數(shù)，它同樣可以看作是李代數(shù)的某種形變.
　　 量子群起源于理論物理.它最早出現(xiàn)在用于構造和求解量子可積系統(tǒng)的反散射方法中，后來由Drinfel'd和Jimbo等人逐步發(fā)展起來.但是，

2、目前為止，量子群沒有一個統(tǒng)一明確的定義.通常，量子群是指某種Hopf代數(shù)，并且在許多情形下，它們是某個李代數(shù)的泛包絡代數(shù)的形變，即量子泛包絡代數(shù).或者粗略地說，量子群就是既非交換又非余交換的Hopf 代數(shù).Drinfel'd 給出了一個構造這類Hopf 代數(shù)的方法.它基于經(jīng)典極限和量子化的概念.而在量子化過程中起關鍵作用的Drinfel'd 扭由李雙代數(shù)結構決定.這就使得李雙代數(shù)的研究成為一個非常必要的課題.目前并沒有一致的方法去實現(xiàn)所

3、有李雙代數(shù)的量子化.事實上，探索某個具體的李代數(shù)的雙代數(shù)結構并進行量子化是一件比較復雜的工作.
　　 我們研究了Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)和擴張的Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)的雙代數(shù)結構及其量子化.這兩個代數(shù)都是12Z-分次的無限維李代數(shù).其中，Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)是在研究自由Schr¨odinger 方程的過程中提出來的.它和Schr¨odinger

4、代數(shù)及Virasoro 代數(shù)有密切關系，而這兩種代數(shù)在數(shù)學和物理的許多方面都有重要應用。J.Unterberger 在研究Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)的頂點表示時，介紹了擴張的Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù).它可以看作是原來的Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)的擴張.但是這兩個李代數(shù)在結構和表示方面有很大不同.這在它們的李雙代數(shù)結構上也有所體現(xiàn).Han-Li-Su 證明了Schr

5、¨odinger-Virasoro 代數(shù)的李雙代數(shù)結構不完全是三角上邊緣的.但是，我們對擴張的Schr¨odinger-Virasoro 代數(shù)的研究表明：其上所有的李雙代數(shù)結構都是三角上邊緣的.
　　 在第3章中，我們分別對Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)和擴張的Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)進行了量子化.通過在Schr¨odinger-Virasoro 李代數(shù)上選取兩對合適的元素h；e 使

6、其滿足[h；e]=e，我們構造了兩個不同的Drinfel'd 扭.它們是由Schr¨odinger-Virasoro 代數(shù)上的雙代數(shù)結構完全決定的.然后，我們利用這兩個Drinfel'd 扭對Schr¨odinger-Virasoro 代數(shù)進行量子化，得到了兩種既非交換又非余交換的Hopf 代數(shù)結構.應用類似的方法，我們實現(xiàn)了擴張的Schr¨odinger-Virasoro 代數(shù)的量子化，得到了另外一個既非交換又非余交換的Hopf 代數(shù)

7、.
　　 李代數(shù)的量子形變既是產(chǎn)生新代數(shù)的一種重要手段，同時也是量子群理論的研究重點之一.為此，我們考慮無中心的W(2；2)李代數(shù)(記作W)，研究了它的量子形變.這是一個Z-分次的無限維李代數(shù).首先，我們利用理論物理中的波色子和費米子兩種旋量準確地實現(xiàn)了無中心的W(2；2)李代數(shù).在此基礎上，我們定義了它的量子形變Wq以及更一般形式的量子形變Wcq1.在q ! 1 時，它們都和無中心的W(2；2)李代數(shù)保持一致.進一步，我們構造

8、了Wq的量子群結構，得到了一個既非交換又非余交換的Hopf 代數(shù).最后，我們研究了Wq的一維中心擴張fWq=WqLCc.結果表明，在q ! 1 時，fWq 就是Zhang-Dong 定義的原始的W(2；2)李代數(shù).換言之，fWq 就是原始的W(2；2)李代數(shù)的量子形變.
　　 對Hom-李代數(shù)的研究，最初源于物理和李代數(shù)特別是向量場上李代數(shù)的量子形變的雙重需要.其中典型的例子就是Witt 代數(shù)和Virasoro 代數(shù)的量子形變.

9、
　　 但是，值得注意的是，Hom-李代數(shù)本身就是李代數(shù)的某種形變.我們介紹了一類新的代數(shù)結構：Hom-李color 代數(shù).它既可以看作是李color 代數(shù)和Hom 李代數(shù)的推廣，同時也可以看作是李代數(shù)的一種新的形變.我們研究了這個新的代數(shù)結構的同態(tài)關系.為了說明Hom-李color 代數(shù)的存在性，更重要地，說明這是一個更廣泛的代數(shù)類，我們給出三種構造新的Hom-李color 代數(shù)的途徑,分別是利用Hom-color 代數(shù)，帶有