幾類代數(shù)結(jié)構(gòu)的模糊理論.pdf

1、模糊代數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最為活躍的研究方向之一.自從Rosenfeld把模糊子集的概念應(yīng)用到群論之后，眾多的數(shù)學(xué)家致力于擴(kuò)充抽象代數(shù)中的概念和結(jié)果以得到更廣闊的模糊背景.模糊代數(shù)的研究涉及到代數(shù)分支的方方面面，例如模糊群論，模糊環(huán)論，模糊表示論，模糊同調(diào)等.一個(gè)基本原則是：一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)R的模糊子集μ是R的模糊子系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)水平截集μt={x∈R:μ(x)≥t，對(duì)0≤t≤1}是R的子系統(tǒng).由此，我們可以通過(guò)模糊子系統(tǒng)來(lái)研究R的子系統(tǒng)，也可以根

2、據(jù)子系統(tǒng)的性質(zhì)刻畫模糊子集.本文在遵循此原則的基礎(chǔ)上，在模糊代數(shù)中引入李超代數(shù)，建立模糊李超代數(shù)的理論框架；考慮到Hopf代數(shù)和量子群是李理論的推廣，在模糊代數(shù)中引入余代數(shù)，嘗試構(gòu)建模糊量子群的理論結(jié)構(gòu)；而且在模糊理論里介紹余模這個(gè)新的代數(shù)對(duì)象，進(jìn)而研究模糊余模的性質(zhì). 本文的主要結(jié)論是：提出了模糊李超代數(shù)的概念，研究了李超代數(shù)的模糊子代數(shù)和模糊理想的性質(zhì)；提出模糊余代數(shù)的定義，研究了模糊子余代數(shù)、模糊(左/右)余理想的性質(zhì)，討

3、論了模糊子余代數(shù)、模糊(左/右)余理想與模糊子代數(shù)、模糊(左/右)理想間的關(guān)系；最后引入了模糊余模的概念，刻畫了模糊子余模的性質(zhì). 第一章為引言和預(yù)備知識(shí).首先概述了模糊代數(shù)的提出、發(fā)展和研究近況，給出了研究本文的可行性和必然性；其次介紹了模糊子集的基本性質(zhì)和擴(kuò)張?jiān)? 第二章首先根據(jù)Z2-分次向量空間，定義了Z2-分次模糊向量子空間，在此基礎(chǔ)上，提出了模糊李子超代數(shù)和模糊理想的概念，得到定理2.2.6的刻畫：李超代數(shù)(

4、)的模糊子集μ是模糊李子超代數(shù)(或模糊理想)當(dāng)且僅當(dāng)水平截集μt={x∈():μ(x)≥t對(duì)0≤t≤μ(0))是()的李子超代數(shù)(或理想).研究模糊李子超代數(shù)和模糊理想的基本性質(zhì)，證明了模糊李子超代數(shù)和模糊理想是李代數(shù)的模糊子代數(shù)和模糊理想的推廣. 其次利用模糊理想定義了模糊商李超代數(shù)，證明模糊商李超代數(shù)是李超代數(shù).因此，可以研究模糊商李超代數(shù)的模糊子集，得出定理2.3.7的結(jié)論.在考慮商李超代數(shù)的模糊理論得到定理2`4.1之后

5、，定義了模糊李子超代數(shù)的模糊理想，研究了這類模糊理想的基本性質(zhì)，得到定理2.4.3，定理2.4.4，定理2.4.5和定理2.4.6. 李超代數(shù)同態(tài)是研究李超代數(shù)之間關(guān)系的一個(gè)基本定義，利用李超代數(shù)同態(tài)討論模糊李子超代數(shù)和模糊理想間的性質(zhì)是本章第5節(jié)的主要工作.主要結(jié)果包括命題2.5.2，命題2.5.3和命題2.5.4.結(jié)合前面第4節(jié)的工作，進(jìn)一步給出定理2.5.7，定理2.5.8，定理2.5.9和定理2.5.10. 最后

6、主要研究李超代數(shù)上兩類特殊的模糊理想：可解模糊理想和冪零模糊理想.首先定義李超代數(shù)上的sup-min積[，].Yehia[58]指出在李代數(shù)時(shí)，sup-min積具有如下的性質(zhì)：[μ，v1+v2]∈[μ，v1]+[μ，v2].定理2.6.4證明在李超代數(shù)上sup-min積[,]保持雙線性性.這個(gè)結(jié)論在李代數(shù)也是成立的. 定理2.6.4設(shè)μ1，μ2，v1，v2和μ，v是()的模糊向量子空間.則對(duì)任意的α，β∈k，有[α·μ1+β·μ

7、2，v]=α·[μ1，v]+β·[μ2，v]，[μ，α·v1+β·v2]=α·[μ,v1]+β·[μ，v2]. 為了定義可解模糊理想和冪零模糊理想，定理2.6.8證明模糊理想關(guān)于sup-min積是封閉的. 定理2.6.8設(shè)μ，v是()的任意兩個(gè)模糊理想，則[μ,v]是()的模糊理想. 第6節(jié)最后，給出可解模糊理想和冪零模糊理想的定義，研究了可解模糊理想和冪零模糊理想的基本性質(zhì)，刻畫了李超代數(shù)的可解模糊理想和它的偶

8、部分的可解模糊理想之間的關(guān)系，并且證明在模糊超Jacobi恒等的條件下，李超代數(shù)上的模糊理想做成的集合具有李超代數(shù)結(jié)構(gòu).主要結(jié)果包括命題2.6.13，定理2.6.15，定理2.6.16，定理2.6.19和定理2.6.20. 第三章首先要求△(c)的分解是唯一的，在此條件下，定義模糊子余代數(shù)，模糊左(右)余理想，模糊余理想，利用水平截集和強(qiáng)水平截集給出模糊子余代數(shù)的等價(jià)刻畫，得到定理3.2.3.相應(yīng)的模糊左(右)余理想和模糊余理想

9、等價(jià)定義見(jiàn)定理3.2.7和定理3.2.11.注記3.2.8(2)的結(jié)論比余代數(shù)的相應(yīng)的結(jié)果更容易得到. 其次研究在余代數(shù)同態(tài)下模糊子余代數(shù)，模糊左(右)余理想和模糊余理想的基本性質(zhì)，得到命題3.3.2和命題3.3.3. 最后研究模糊子余代數(shù)，模糊左(右)余理想和模糊余理想的對(duì)偶情形，同時(shí)也研究了模糊子代數(shù)、模糊左(右)理想和模糊理想的對(duì)偶.對(duì)于后者，分有限維和無(wú)限維兩種情況研究.主要結(jié)果是： 命題3.4.3(1)

10、設(shè)μ是余代數(shù)C的模糊子余代數(shù)，則μ*是C*的模糊理想. (2)設(shè)μ是余代數(shù)C的模糊余理想，則μ*是C*的模糊子代數(shù). (3)設(shè)μ是余代數(shù)C的模糊左(右)余理想，則μ*是C*的模糊左(右)理想. 命題3.4.4(1)設(shè)μ是有限維代數(shù)A的模糊理想，則μ*是A*的模糊子余代數(shù). (2)設(shè)μ是有限維代數(shù)A的模糊左(右)理想，則μ*是A*的模糊左(右)余理想. 命題3.4.7(1)設(shè)μ是代數(shù)A的模糊理想，則

11、μ°是A°的模糊子余代數(shù). (2)設(shè)μ是代數(shù)A的模糊左(右)理想，則μ°是A°的模糊左(右)余理想. 作為上述研究的一個(gè)應(yīng)用，討論了模糊同態(tài)得到命題3.4.11和命題3.4.12. 第四章首先根據(jù)模的定義調(diào)整模糊子模的定義，然后定義了模糊子余模，研究了模糊子余模的基本性質(zhì)，得到定理4.2.5，定理4.2.6和定理4.2.7. 其次證明在余模同態(tài)下模糊子余模的性質(zhì)，得到定理4.3.3和定理4.3.4.