脈沖微分議程的定性研究.pdf

1、近年來,出現(xiàn)在生物學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、控制理論等許多科學(xué)領(lǐng)域中所謂的“脈沖”現(xiàn)象引起廣泛關(guān)注,于是,在連續(xù)型微分方程基礎(chǔ)上,出現(xiàn)一種新型的微分方程-脈沖微分方程,它是連續(xù)型微分方程和離散方程的結(jié)合:在無脈沖時段由連續(xù)型微分方程刻畫,在脈沖時刻由離散方程描述.
　　 一般來說,研究脈沖微分方程是以連續(xù)型(無脈沖)微分方程的方法為依據(jù),并克服脈沖所帶來的困難.因此,研究脈沖微分方程無疑要比研究相應(yīng)的無脈沖微分方程復(fù)雜.本論文以

2、研究脈沖微分方程為主要目的,并通過無脈沖和含脈沖系統(tǒng)的一些比較,體現(xiàn)脈沖所帶來的某些“復(fù)雜性”.主要內(nèi)容如下:
　　 第一章簡述了微分方程的周期解、邊值問題與脈沖鎮(zhèn)定問題的歷史與研究現(xiàn)狀,以及本文的主要工作.
　　 第二章研究一階微分方程周期解的存在性問題,共有三節(jié),第一、二節(jié)研究一維系統(tǒng),第三節(jié)研究高維系統(tǒng).
　　 第一節(jié),利用Krasnoselskii不動點定理研究無脈沖微分方程
　　 正周期解的存在

3、性,其中λ>0是參數(shù),h:R×R→R,b:R→R,f:R→R,τ-:R→R,R為實數(shù)集合.所得結(jié)果明顯優(yōu)于相關(guān)文獻(如[31])中的一些結(jié)果.
　　 第二節(jié),將第一節(jié)的結(jié)果推廣到相應(yīng)的脈沖系統(tǒng),即研究脈沖微分方程
　　 正周期解的存在性,其中μ>0是參數(shù),Ik:R→R,其余量與第一節(jié)相同.
　　 第三節(jié),研究n維脈沖微分方程
　　 周期解的存在唯一性,其中A(t)是n×n階矩陣函數(shù).主要工具為Banach

4、壓縮映像原理.本節(jié)所研究的系統(tǒng)推廣了一些相關(guān)文獻(如[48])所研究的系統(tǒng),將本節(jié)的結(jié)果退化后,仍然優(yōu)于[48]的部分結(jié)論.
　　 第三章研究二階脈沖Dirichlet邊值問題,共有三節(jié).
　　 第一節(jié),計算二階Dirichlet邊值問題解的積分表示式,以便在第二、三節(jié)中將邊值問題轉(zhuǎn)化為某算子的不動點問題.
　　 第二節(jié),應(yīng)用Leray-Schauder度理論,研究脈沖Dirichlet邊值問題
　　 解

5、的存在性,其中f:R×R→R,Ik,Mk:R→R.本節(jié)將通常應(yīng)用于二階線性常微分方程邊值問題的Lyapunov不等式推廣并應(yīng)用到脈沖系統(tǒng).
　　 第三節(jié),應(yīng)用Schauder不動點定理,研究脈沖Dirichlet邊值問題正解的存在性,其中F:R×R×R→R可以為變號函數(shù),Ik,Mk:R→R.值得注意的是,由于研究工作的困難,關(guān)于這類脈沖邊值問題的正解存在性問題,到目前為止,這方面的結(jié)果還不多見.
　　 第四章研究微分方程

6、脈沖鎮(zhèn)定問題,即不穩(wěn)定的無脈沖系統(tǒng)加上合適的脈沖后變?yōu)榉€(wěn)定的脈沖系統(tǒng).充分體現(xiàn)了脈沖的“積極”性,共有兩節(jié).
　　 第一節(jié),利用Lyapunov泛函,研究線性系統(tǒng)
　　 分別為這兩個線性系統(tǒng)設(shè)計適當?shù)拿}沖,使得系統(tǒng)加上脈沖后成為穩(wěn)定的系統(tǒng),其中a,b,c,d:R→R.本節(jié)所得結(jié)果推廣且優(yōu)化了一些已有文獻(如[89])的相關(guān)結(jié)論,與另一些已有文獻(如[90])的相關(guān)結(jié)論互補.
　　 第二節(jié),將第一節(jié)的內(nèi)容推廣到非線