關(guān)于給定虧格的非同構(gòu)地圖.pdf

1、本論文主要研究的是給定虧格曲面上的非同構(gòu)根地圖，即所謂的帶根地圖計數(shù)問題(如不特別申明，文中凡提及地圖皆指帶根地圖)．其作為一般地圖計數(shù)的理論基礎(chǔ)，該問題的研究具有重要的理論和實際意義．論文主要分成兩大部分：平面地圖計數(shù)和非平面地圖計數(shù)．所采用的方法主要是一種解析方法(目前是帶根地圖計數(shù)的核心)，其中亦用到組合的技巧． 對于平面上非同構(gòu)根地圖的研究，關(guān)鍵在于對地圖集合本身給予一適當?shù)姆纸猓@部分內(nèi)容主要集中在前三章． 第

2、一章首先對地圖計數(shù)理論的研究背景作簡要介紹．隨后，給出地圖以及一些與之相關(guān)的定義和性質(zhì)．另外，對本論文主要采用的解析方法作了詳細的闡述． 第二章主要研究了平面泛扇地圖和圈界地圖．利用兩種不同的方法，給出了不同參數(shù)下一般平面泛扇地圖和圈界地圖的計數(shù)顯式．同時，還提供了無環(huán)泛扇地圖，邊緣3-正則圈界地圖以及受限圈界地圖等幾類平面地圖的計數(shù)顯式．眾所周知，Halin地圖在圖的上嵌入理論和計數(shù)理論中都有著重要地位．這兩類地圖就是在Hal

3、in地圖的基礎(chǔ)上提出來的比之更一般的地圖類．而且，一個泛扇地圖的基準圖即是一個Apex圖[56]，其在拓撲圖論中亦為一重要圖類． 第三章主要研究的是外．無弦平面地圖．它是由不可分離平面地圖衍生而得到的一類地圖．對于研究射影平面上3-正則地圖[51]，以及曲面上其他地圖類的計數(shù)問題都是非常有意義的．文獻[24]中，給出了外．無弦近三正則平面地圖的個數(shù)．在此，我們通過尋找外-無弦一般地圖與不可分離平面地圖之間的一種關(guān)系，得到了具有n

4、條邊的外一無弦一般平面地圖的具體數(shù)目． 第二部分包括四、五、六三章，主要是在平面地圖計數(shù)理論的基礎(chǔ)上，對曲面(尤其是高虧格曲面)上地圖的計數(shù)問題進行研究．解決這一問題的關(guān)鍵在于尋找合適的參數(shù)對其計數(shù)函數(shù)所滿足方程求解． 第四章著重討論了曲面上瓣叢．瓣叢的對偶即是單面地圖(在虧格為g的曲面上亦為g-本質(zhì)地圖)．此兩類地圖均是地圖類中最簡單的，詳細研究這兩類地圖可為其他地圖類的研究奠定基礎(chǔ)，尤其是在復雜的高虧格曲面上．本章中

5、，我們對瓣叢做進一步研究，不但給出了多參數(shù)下瓣叢在任意虧格可定向曲面(不可定向曲面)上統(tǒng)一的計數(shù)函數(shù)方程，而且給出了此類地圖在任意虧格曲面上個數(shù)的遞推式．通過尋求合適的參數(shù)方程，我們得到了瓣叢(以根面次和邊數(shù)為參數(shù)下)在可定向曲面(虧格0-3)及不可定向曲面(虧格1-5)上非同構(gòu)地圖的數(shù)目.同時作為推論，亦得到了瓣叢(單面地圖或g-本質(zhì)地圖)在以邊數(shù)為參數(shù)下相應(yīng)的計數(shù)顯式，且比已有結(jié)果更為簡潔. 基于第四章的結(jié)果，第五章研究了一類與瓣叢

6、拓撲等價的地圖類：近2-正則地圖.通過一種組合方法(不同于文獻[24])，給出了多參數(shù)下平面近2-正則地圖的計數(shù)顯式.同時，得到了任意虧格曲面上該類地圖與瓣叢之間的一種關(guān)系式. 第六章中，我們給出了泛扇地圖在任意虧格不可定向曲面上統(tǒng)一的計數(shù)函數(shù)方程.而且，得到了射影平面及Klein瓶上此類地圖在以根面次和邊數(shù)為參數(shù)下計數(shù)函數(shù)的精確解. 第七章系統(tǒng)的介紹了地圖計數(shù)領(lǐng)域中一些需要更進一步研究的問題，如精確計算高虧格曲面上非同