解析函數(shù)的無(wú)理中性周期點(diǎn)的線性化問題.pdf

1、復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)是復(fù)分析的主要分支之一，于上世紀(jì)20年代由Fatou和Julia等所創(chuàng)立.當(dāng)時(shí)的主要研究動(dòng)力之一是用迭代的手段來(lái)討論一些泛函方程，從而進(jìn)一步研究由此產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué).由于該學(xué)科與其它領(lǐng)域有著緊密的聯(lián)系，己受到數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，成為數(shù)學(xué)中最活躍的分支之一.事實(shí)上，分別于1994年和1998年獲得Fields獎(jiǎng)的Yoccoz和McMuUen，均從事復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究. 在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中，有理函數(shù)動(dòng)力學(xué)的研究是最系統(tǒng)、最全面的

2、.建立了一系列有效的方法，但是對(duì)于它的無(wú)理中性周期點(diǎn)及其附近的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)還很不清楚.人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：解析函數(shù)的無(wú)理中性周期點(diǎn)屬于它的Fatou集的充要條件是在該點(diǎn)及其附近共形共軛于它的線性部分.因此，討論解析函數(shù)在無(wú)理中性周期點(diǎn)附近可線性化問題是非常必要和有意義的.Yoccoz，Siegel，Brjlmo，Riissmann等數(shù)學(xué)家們都在這方面作了不少的工作，得到了解析函數(shù)在無(wú)理中性周期點(diǎn)可線性化的一個(gè)充分條件(稱其為Brjuno條

3、件[定義2.1.2])，并且該條件對(duì)于二次多項(xiàng)式也是最佳的.但是，現(xiàn)在還不知道對(duì)于一般解析函數(shù)，該條件是否還是最佳的本文將針對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行討論.全文共分成兩章. 第一章，對(duì)相關(guān)的背景知識(shí)進(jìn)行介紹，包括Riemann曲面的性質(zhì)，類多項(xiàng)式，全純運(yùn)動(dòng)等. 第二章，借助小除數(shù)理論，研究關(guān)于解析函數(shù)在無(wú)理中性周期點(diǎn)附近的線性化問題.由于解析函數(shù)和它的迭代有相同的Fatou集，因此，僅考慮解析函數(shù)在不動(dòng)點(diǎn)附近的可線性化問題.如果解析

4、函數(shù)在不動(dòng)點(diǎn)附近是可線性化的，則該不動(dòng)點(diǎn)所在的Fatou分支是一個(gè)被稱為Siegel盤的拓?fù)鋱A，且該函數(shù)限制在這個(gè)Siegel盤上是單葉的.因此，考慮更一般的情形：即解析函數(shù)f(z)在單位圓盤上單葉解析，且f(o)=0，本文應(yīng)用類多項(xiàng)式，全純運(yùn)動(dòng)的理論，并借助于X.Buff和A.Cheritat[24]的思想得到：如果是可線性化的，設(shè)的共軛函數(shù)的收斂半徑的對(duì)數(shù)logR是調(diào)和的，從而得到：當(dāng)可線性化時(shí)，f(z)滿足Brjuno條件.同時(shí)得