基于PDE和曲率策動流的圖像增強(qiáng)去噪模型研究.pdf

1、前言近年來，偏微分方程(PDE)方法和曲率驅(qū)動流在圖像分析處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的應(yīng)用研究非?；钴S。其基本思想是利用偏微分方程將給定的曲線、曲面或退化的圖像產(chǎn)生形變，將獲得的理想結(jié)果作為該偏微分方程的解。就彩色圖像處理而言，則可歸結(jié)為求解耦合PDE方程組問題.PDE的設(shè)計(jì)和分析是這項(xiàng)技術(shù)的關(guān)鍵所在。 圖像處理的PDE可以通過求解滿足一定約束條件的能量泛函的極小化問題得到。其一般形式為minE(u)，其中E是與曲面(線)或圖像u有關(guān)

2、的能量泛函，u一般表示圖像亮度值。如果我們用F(φ)表示E的一階變分，一般情況下，u是能量泛函E的極小化元的必要條件是F(u)=0。由于方程F(u)=0的奇異非線性項(xiàng)導(dǎo)致的嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論的缺乏以及數(shù)值解求解等方面的考慮，一般采取引入動力系統(tǒng)(梯度下降法)，將方程F(u)=0的求解問題轉(zhuǎn)化為尋找(有時(shí)是經(jīng)過修正的)熱流方程()u()t=F(u)的穩(wěn)態(tài)解。其中t是人為添加的時(shí)間匹配參數(shù)。 在另一方面，不考慮能量泛函而直接導(dǎo)出發(fā)展方程的

3、PDE方法近年來也得到了廣泛的研究。自從Koenderink,Witkin等人在因果性和定位性等前提假設(shè)下導(dǎo)出了嚴(yán)格的尺度空間理論之后，眾多學(xué)者沿這個(gè)方向?qū)Τ叨瓤臻g理論做了改進(jìn)和完善。本文著重介紹Perona和Malik提出的各向異性擴(kuò)散模型，他們用有選擇性擴(kuò)散代替與尺度空間理論中與各向同性擴(kuò)散等價(jià)的Gauss磨光以保持圖像邊沿，Alvarez,Lions，Morel的選擇性磨光模型,Osher，Rudin提出的激波過濾器模型以及Soc

4、hen,Kimmel，Malladi,Yezzi和El-Fallah,Ford等人提出的圖像曲面平均曲率流模型等。這些模型的一般形i式為{ut(x，t)+F(x，u(x，t)，Du(x,t)，D2u(x,t))=0，(x，t)∈Ω×(0，T)，Gene){()u()N(x，t)=0，(x，t)∈()Ω×(0，T)，{u(x，0)=u0(x)，x∈Ω.其中u是退化圖像u0的復(fù)原版本，Du，D2u分別表示函數(shù)u關(guān)于空間變量x的梯度和Hess

5、ian矩陣。()u()N(x，t)=0和u(x,0)=u0(x)分別是邊值條件和初值條件。方程組(Gene)的解函數(shù)族{u(x，t)}t＞0組成原始退化圖像u0的光滑版本集。隨t值的增大，圖像u(x，t)的結(jié)構(gòu)愈加簡化，并且在這個(gè)過程中沒有新的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生。在這個(gè)意義下，t稱為尺度變量。 圖像分析中應(yīng)用偏微分方程和曲線、曲面的發(fā)展演化方程導(dǎo)出連續(xù)域上的圖像處理模型，使得圖像模型顯著簡化，而且偏微分方程也很容易將不同的算法結(jié)合起來而導(dǎo)

6、出新的模型。PDE方法的另一個(gè)優(yōu)越性在于它可以充分利用偏微分方程數(shù)值分析領(lǐng)域的研究成果而獲得高效、精確、穩(wěn)定的圖像處理數(shù)值格式，如ENO格式、WENO格式、AOS格式和水平集格式等。當(dāng)然，由于處理圖像和數(shù)值計(jì)算時(shí)要考慮非光滑信號的導(dǎo)數(shù)，需要我們建立正確的數(shù)學(xué)框架，比如黏性解理論以及BV解理論等。 本文只涉及圖像增強(qiáng)(去模糊)去噪模型及其改進(jìn)。其他模型，如圖像分割的MumfordShah模型，測地動廓線模型等本文未能涉及，詳細(xì)內(nèi)容

7、見文獻(xiàn)及其參考等。 本文的主要內(nèi)容分為以下幾個(gè)部分：第一章.主要介紹一般退化圖像建模，以及圖像復(fù)原的能量方法和PDE方法的提出及改進(jìn)的主要脈絡(luò)。其中PDE方法著重介紹Alvarez-Lions-Morel選擇磨光模型，Sochen，Kimmel，Malladi等人的平均曲率流模型等；關(guān)于能量方法，我們主要介紹Rudin-OsherFatemi模型，Strong-Chan模型，Aubert-Vese模型等。 第二章.在Vo

8、gel,Oman，Barcelos,Chen等人工作的基礎(chǔ)上，我們將Sochen，Kimmel，Malladi等人的圖像曲面平均曲率流模型做進(jìn)一步推廣，給出空間適應(yīng)性平均曲率流模型{ut=div(ψ(φu)A(|Du|2)Du)-(u-I),(x,t)∈R2×(0，T)，{u(x,0)=I(x)，x∈R2，其中Ⅰ是初始數(shù)據(jù)，ψ為邊緣檢測函數(shù)，φ為已知向量值算子。我們首先給出上述模型BV解的定義，并利用標(biāo)準(zhǔn)的拋物正則化方法對BV解的存在性

9、給出了證明。我們給出了空間適應(yīng)性模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。其數(shù)值格式基于水平集方法。 第三章.§3.1節(jié)我們將Barcelos-Chen模型推廣到一般情形，給出了改進(jìn)后的HuanKong-Huang非線性去噪去模糊模型{ut=|Du|div(g2(|DGσ*u|)Du|Du|)-|Du|g(|DGσ*u|)R*(Ru-I),x∈RN,t＞，(PⅡ){u(x,0)=I(x),x∈RN,其中g(shù)是邊緣檢測函數(shù)?！?.2節(jié)我們給出了一類退化拋物方