非線性微分方程邊值問題正解的存在性研究.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)既有深刻理論意義又有廣泛應(yīng)用價(jià)值的研究方向。它以數(shù)學(xué)和自然科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)的非線性問題為背景,建立處理許多非線性問題的若干一般性理論和方法。因其能很好的解釋各種自然現(xiàn)象,它的豐富理論和先進(jìn)方法為解決當(dāng)今科技領(lǐng)域中層出不窮的非線性問題提供了富有成效的理論工具。目前非線性泛函分析的主要內(nèi)容包括拓?fù)涠壤碚?、臨界點(diǎn)理論、半序方法、解析方法和單調(diào)映射理論等。
　　Banach空間中微分方程理論是非線性泛函分析

2、的一個(gè)重要研究分支，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)和控制理論等諸多領(lǐng)域。非線性微分方程邊值問題的研究是一個(gè)具有持久生命力的課題,近年來,非線性微分方程邊值問題解的存在性受到研究者的廣泛關(guān)注,并且取得了豐富的研究成果。分?jǐn)?shù)階微積分經(jīng)過三個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展,其應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，與經(jīng)典的微積分相比，它可以更好地描述生物、物理、化學(xué)、金融等領(lǐng)域中具有記憶和遺傳性質(zhì)的過程,這些過程在數(shù)學(xué)上即表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階微分方程。但由于分?jǐn)?shù)階微分算子的奇異性和非局部性質(zhì),

3、導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)理論上的研究困難。因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。
　　本文主要研究了整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階上幾類微分方程(組)奇異和半正邊值問題正解的存在性、唯一性和多解性情況，利用非線性泛函分析的錐理論、不動(dòng)點(diǎn)理論、Krasnosel’s kii不動(dòng)點(diǎn)定理、單調(diào)迭代方法，獲得了一些新的結(jié)果。這些結(jié)果大都已經(jīng)發(fā)表在國外重要的學(xué)術(shù)期刊上，如《Appl.Math.Comput.》（SCI)、《Adv.

4、Difference Equ.》(SCI)、《Abstr.Appl.Anal.》等。
　　本文共分六章.第一章緒論部分,簡要介紹了非線性泛函分析的歷史背景,給出了非線性泛函分析的一些基本定義和性質(zhì),并且列出了后面章節(jié)中要用到的關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)存在性的幾個(gè)引理,這些引理在本文主要結(jié)果的證明中是至關(guān)重要的。
　　第二章,通過在一個(gè)特殊的空間和特殊的錐上應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理,我們討論了一類無窮區(qū)間上奇異半正邊值問題正解的存在性。我們的工作包含

5、和改進(jìn)了奇異和非奇異的情況下的許多已知結(jié)果。
　　第三章,我們研究了一類無窮區(qū)間上帶有積分條件的p-Laplacian分?jǐn)?shù)階積微分方程的極值解。利用單調(diào)迭代方法結(jié)合適當(dāng)?shù)臈l件,得到了分?jǐn)?shù)階微分方程的極大解和極小解的存在性。此外,我們建立了由簡單線性函數(shù)開始的迭代解序列。最后,通過一個(gè)例子驗(yàn)證了我們的主要結(jié)果。
　　第四章,我們系統(tǒng)地研究了用于HIV感染模型的帶有積分邊界條件的抽象分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性.利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定

6、理,得到了一些新的結(jié)果并且實(shí)例證明了主要結(jié)果的應(yīng)用性。
　　第五章,我們得到了帶有耦合邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)正解的存在性結(jié)果。5.1研究一類帶有耦合邊界條件的(n-1，1)型奇異分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的正解，建立了系統(tǒng)正解的存在性條件。此外，我們得出正解的明確估計(jì)式，并在某些附加條件下，獲得了正解的唯一性,通過例子展示了主要結(jié)果的有效性。5.2我們考慮了一類帶有耦合邊界條件的含參數(shù)高階奇異半正分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的正解。利用格林函數(shù)的性質(zhì)和k