分數階動力學系統(tǒng)共形不變性的基本理論與方法的研究.pdf

1、動力學系統(tǒng)的共形不變性是數學、力學、物理學、工程科學中一個十分普遍的重要性質，對研究實際動力學模型有著廣泛的應用.1996年以來，國際上數學家們相繼建立了分數階Lagrange方程、分數階Hamilton方程和分數階非完整系統(tǒng)動力學方程.近年來，羅紹凱提出并帶領研究生建立了含有全部動力學信息的分數階Lagrange力學、分數階Hamilton力學、分數階廣義Hamilton力學、分數階Nambu力學和分數階Birkhoff力學，并分別構

2、建了它們的理論框架;而且，揭示了分數階動力學系統(tǒng)的內在性質和動力學行為，主要包括分數階動力學系統(tǒng)的梯度表示、代數結構，Poisson守恒律、變分方程、積分不變量、對稱性與守恒量、運動穩(wěn)定性以及構造實際分數階動力學模型的普遍方法.但是，分數階動力學系統(tǒng)的共形不變性還有待于探索.
　　針對這一問題，在Riesz分數階導數的定義下，本論文將研究含有全部動力學信息的分數階Lagrange系統(tǒng)、分數階Hamilton系統(tǒng)、分數階廣義Hami

3、lton系統(tǒng)、分數階Nambu系統(tǒng)和分數階Birkhoff系統(tǒng)的共形不變性，分別給出尋找分數階動力學系統(tǒng)守恒量的共形不變性方法，得到分數階動力學系統(tǒng)守恒量，并研究在實際分數階動力學模型中的應用.為解決相關的科學與工程問題提供新的方法.
　　第一章簡要介紹了分數階動力學和動力學系統(tǒng)共形不變性的研究歷史與現狀，提出了本論文所要解決的問題.
　　第二章首先，分別介紹了Riemann-Liouville、Riesz-Riemann-

4、Liouville、Caputo和Riesz-Caputo四種不同分數階導數的定義及其主要性質.而后，基于Riesz-Riemann-Liouville分數階導數的定義，歸納了動力學系統(tǒng)的分數階Lagrange表示、分數階Hamilton表示、分數階廣義Hamilton表示、分數階Birkhoff表示和分數階Nambu表示;并歸納了構造分數階動力學模型的分數階Lagrange方法、分數階Hamilton方法、分數階廣義Hamilton方

5、法、分數階Nambu方法和分數階Birkhoff方法.
　　第三章基于分數階動力學系統(tǒng)的Lagrange表示，研究分數階Lagrange系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對稱性，共形不變性與Lie對稱性，分別給出相應的判定定理，得到相應的守恒量.作為應用，構造實際的分數階Kepler模型和分數階Hénon-Heiles模型，并研究其共形不變性與守恒量.
　　第四章基于分數階動力學系統(tǒng)的Hamilton表示，研究分數階Ham

6、ilton系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對稱性，共形不變性與Lie對稱性，分別給出相應的判定定理，得到相應的守恒量.作為應用，構造分數階Hénon-Heiles模型和分數階Emden模型，并研究其共形不變性與守恒量，
　　第五章基于分數階動力學系統(tǒng)的廣義Hamilton表示，研究分數階廣義Hamilton系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對稱性，共形不變性與Lie對稱性，分別給出相應的判定定理，得到相應的守恒量.作為應用，

7、構造分數階廣義相對論Buchduhl模型、分數階Duffing振子模型和分數階Whittaker模型，并研究其共形不變性與守恒量.
　　第六章基于分數階動力學系統(tǒng)的Nambu表示，研究分數階Nambu系統(tǒng)的共形不變性，共形不變性與Mei對稱性，共形不變性與Lie對稱性，分別給出相應的判定定理，得到相應的守恒量.作為應用，構造分數階相對論Yamaleev振子模型和分數階Duffing振子模型，并研究其共形不變性和守恒量.