曲線造型中關(guān)于擬合、參數(shù)化及形狀優(yōu)化問(wèn)題的研究.pdf

1、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)輔助制造技術(shù)起源于航空工業(yè)，由于飛機(jī)的外形復(fù)雜，含有大量的自由曲線曲面，因此，CAD/CAM技術(shù)從一開(kāi)始就與自由曲線曲面造型技術(shù)緊密的聯(lián)系在一起。至今，隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造技術(shù)的不斷發(fā)展，曲線曲面造型技術(shù)在現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制造中的應(yīng)用越來(lái)越廣，在社會(huì)各行各業(yè)都得到了更為廣泛的應(yīng)用，范圍覆蓋了航天技術(shù)、數(shù)字化城市、媒體設(shè)計(jì)、醫(yī)療可視化及工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)等，并產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益。其中在曲線造型技術(shù)中，

2、曲線擬合是一項(xiàng)古老而常用的技術(shù)，是模式識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和逆向工程中的一項(xiàng)基本工作，CAD和CAGD中的許多問(wèn)題都與擬合問(wèn)題有關(guān)，在工程、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等方面，曲線擬合有著廣泛的應(yīng)用。其次，為了構(gòu)造形狀較好的曲線，曲線參數(shù)化方法也是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，選擇合適的曲線參數(shù)化方法不僅會(huì)給多種操作帶來(lái)方便，而且會(huì)得到理想的曲線形狀。另外，曲線形狀優(yōu)化模型的選擇與構(gòu)造也直接影響曲線造型的效果。近年來(lái)，對(duì)曲線造型問(wèn)題的研究取得了大量的理論和應(yīng)用成果

3、，但仍然有很多問(wèn)題有待解決，例如如何較好的對(duì)平面上的散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，如何構(gòu)造新的形狀優(yōu)化模型，使構(gòu)造的曲線具有理想的形狀等都是目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，但仍然沒(méi)有很好的解決方法，因此有待我們進(jìn)行更深一步的研究。
　　 基于以上研究問(wèn)題，本文的工作主要圍繞三個(gè)方面展開(kāi)討論:
　　 1）平面上散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的隱式二次曲線擬合方法研究;
　　 2）滿(mǎn)足端點(diǎn)約束和弦長(zhǎng)參數(shù)的三次有理曲線的構(gòu)造;
　　 3）曲線形狀和

4、優(yōu)化模型的關(guān)系討論。本文就這幾個(gè)問(wèn)題的解決給出了新的理論和算法，具體的研究工作和成果包括:
　　 1、平面上散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的隱式二次曲線擬合方法
　　 對(duì)于平面上散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的隱式二次曲線擬合問(wèn)題，選取數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的代數(shù)距離極小作為目標(biāo)函數(shù)，提出了基于坐標(biāo)變換和系數(shù)加權(quán)組合的兩種擬合方法。在基于坐標(biāo)變換的擬合方法中，考慮到如果采用非凡何不變量的約束條件，在不同的坐標(biāo)系下會(huì)得到不同的擬合結(jié)果這一事實(shí)，研究了如何對(duì)原始坐標(biāo)系通

5、過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)變換得到一個(gè)新的坐標(biāo)系，在新坐標(biāo)系下進(jìn)行曲線擬合，然后把擬合曲線反變換到原始坐標(biāo)系下，從而保證了擬合曲線的逼近效果更好。在系數(shù)加權(quán)組合的擬合方法中，首先對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)分別做指定橢圓、雙曲線和拋物線形狀的曲線擬合，得到三組擬合曲線，然后對(duì)這三組曲線的系數(shù)加權(quán)組合，通過(guò)極小化點(diǎn)線間的代數(shù)距離平方和，得到最終的擬合曲線，這樣得到的曲線不僅能夠保持二次曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)的來(lái)源形狀，而且可改進(jìn)一般數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果。此外，針對(duì)較常用的橢圓擬合中存在的

6、高曲率偏差問(wèn)題，提出了一種調(diào)整該偏差的新的目標(biāo)函數(shù)。
　　 2、滿(mǎn)足端點(diǎn)約束和弦長(zhǎng)參數(shù)的三次有理曲線的構(gòu)造
　　 曲線弧長(zhǎng)參數(shù)化是曲線造型中最好的選擇，但對(duì)于非線性多項(xiàng)式曲線及有理曲線，卻無(wú)法采用弧長(zhǎng)參數(shù)，因此，人們經(jīng)常用弦長(zhǎng)參數(shù)來(lái)近似表示弧長(zhǎng)參數(shù)，并應(yīng)用于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值和逼近中。已有的研究工作給出了滿(mǎn)足弦長(zhǎng)參數(shù)的三次有理Bezier曲線的構(gòu)造方法，在該研究基礎(chǔ)上，我們通過(guò)分析其所構(gòu)造曲線的三個(gè)性質(zhì)，提出了滿(mǎn)足端點(diǎn)約束

7、和弦長(zhǎng)參數(shù)的三次有理Bezier曲線的構(gòu)造方法。該方法針對(duì)整個(gè)切矢角區(qū)域(α0，α1)∈[-π，π]×[-π，π]，采用的是分段曲線的構(gòu)造思想，并且證明了曲線段數(shù)最多為三段，曲線整體滿(mǎn)足G1連續(xù)，在某些情況下滿(mǎn)足C1和G2連續(xù)。
　　 3、曲線形狀和優(yōu)化模型的關(guān)系
　　 在曲線造型問(wèn)題中，曲線能量極小或曲率變化率極小是比較常用的形狀優(yōu)化模型。為討論曲線形狀和優(yōu)化模型的關(guān)系，我們分別以三次Hermite曲線和三次樣條曲線作

8、為研究目標(biāo)。對(duì)于給定兩端點(diǎn)位置和切向的三次Hermite曲線的構(gòu)造問(wèn)題，分別以曲線能量極小和曲線曲率變化率極小作為目標(biāo)函數(shù)，采用數(shù)值計(jì)算技術(shù)求解三次Hermite曲線的切矢模長(zhǎng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于切矢角區(qū)域(θ，(φ))∈[-π，π]×[-π，π]:
　　 (1)很多情況下的三次Hermite曲線不能直接由極小化曲線能量或曲線曲率變化率構(gòu)造出來(lái);
　　 (2)通過(guò)求解曲線能量或曲率變化率的局部極值，可以構(gòu)造大約60％的三