基函數中帶形狀參數的幾何造型理論與方法研究.pdf

1、構造帶形狀參數的基函數是近年來計算機輔助幾何設計中的一個熱門研究課題，有重要的理論意義和廣闊的應用前景。本文分別在新的擬三次代數函數空間和擬三次三角函數空間中運用開花方法構造帶兩個指數形狀參數的擬三次Bernstein基和擬三次三角Bernstein基。在此基礎上，分別構造兩組帶兩個局部指數形狀參數的擬三次非均勻B樣條基和擬三次三角非均勻B樣條基。所構造的基函數具有單位性，非負性，線性無關性和全正性等重要性質。引入的指數形狀參數具有張力

2、作用效果，對所生成的曲線曲面形狀具有明確的幾何調控意義。傳統(tǒng)的樣條基只能生成逼近曲線或插值曲線，本文構造了一組既可生成逼近曲線也可生成局部插值或整體插值曲線的擬四次三角非均勻B樣條基。保形插值樣條在工業(yè)設計和科學數據可視化中具有重要的研究價值，在過去三十年中一直受到學者的廣泛關注。但在已有的C2連續(xù)保形插值樣條中，有些方法只能保單調性，有些方法只能保凸性，而且為了獲得C2連續(xù)的樣條，大多數方法需要求解樣條在節(jié)點上滿足二階連續(xù)性的線性方程

3、組，本文構造了一類可自動達到C2連續(xù)的四次有理保形插值樣條基。本文的主要研究工作及成果如下:
　　(1)在擬三次代數函數空間Span{1，3t2-2t3，（1-t）α，tβ}中運用開花方法構造了一組帶兩個指數形狀參數的擬三次Bernstein基?；谛绿岢龅臄M三次Bernstein基，構造了一類帶兩個局部指數形狀參數的擬三次非均勻B樣條基。此外，將擬三次Bernstein基推廣至三角域上，構造了一類三角域上帶三個指數形狀參數的擬三

4、次Bernstein-Bézier基。
　　擬三次Bernstein基包含經典的三次Bernstein基和三次Said-Ball基為特例。在擬擴展切比雪夫空間理論框架下，證明了該擬三次Bernstein基構成一組最優(yōu)規(guī)范全正基。為了高效和穩(wěn)定地計算相應的擬三次Bézier曲線，開發(fā)了一種新的割角算法。基于包絡理論與拓撲映射的方法對擬三次Bézier曲線進行了形狀分析，給出了曲線上含有奇點，拐點和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，

5、這些條件完全由控制多邊形和形狀參數決定。證明了擬三次非均勻B樣條基具有單位性，局部支撐性，線性無關性和全正性等性質。相應的擬三次非均勻B樣條曲線對單節(jié)點具有C2連續(xù)性，包含經典的三次非均勻B樣條曲線為特例，且對特別的形狀參數取值，曲線可以達到C2∩FCk+3（k∈Z+）階連續(xù)性?；跀M三次Bernstein-Bézier基，給出了一類三角域上的擬三次Bernstein-Bézier曲面片。開發(fā)了一種計算三角域上擬三次Bernstein-

6、Bézier曲面片的De Casteljau-type算法，并給出了G1光滑拼接兩張三角域上擬三次Bernstein-Bézier曲面片的充分條件。
　　(2)在擬三次三角函數空間Span{1，sin2 t，（1-sint）α，(1-cost)β}中運用開花方法構造了一組帶兩個指數形狀參數的擬三次三角Bernstein基。基于擬三次三角Bernstein基，構造了一類帶兩個局部指數形狀參數的擬三次三角非均勻B樣條基。利用張量積技巧

7、，構造了一類矩形域上帶四個指數形狀參數的雙擬三次三角Bézier基。此外，將擬三次三角Bernstein基推廣至三角域上，構造了一類三角域上帶三個指數形狀參數的擬三次三角Bernstein-Bézier基。
　　在擬擴展切比雪夫空間理論框架下，證明了該擬三次三角Bernstein基構成一組最優(yōu)規(guī)范全正基。開發(fā)了一種高效和穩(wěn)定計算擬三次三角Bézier曲線的割角算法。給出了擬三次三角Bézier曲線精確表示任意一段橢圓弧和拋物弧的控

8、制點選擇方案。證明了新構造的擬三次三角B樣條基具有單位性，局部支撐性，線性無關性和全正性等性質。相應的擬三次三角非均勻B樣條曲線對單節(jié)點具有C2∩ FC3連續(xù)性，且對均勻節(jié)點曲線可以達到C3甚至C5階連續(xù)性。給出了G1，G2，G3和G5光滑拼接兩張雙擬三次三角Bézier曲面片的充分條件。給出了雙擬三次三角Bézier曲面片精確表示橢球面片和拋物面片的控制點選擇方案?；跀M三次三角Bernstein-Bézier基，構造了一類三角域上的

9、擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片。該曲面片能夠用于生成邊界曲線為橢圓弧或拋物弧的三角曲面片。開發(fā)了一種計算擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片的De Casteljau-type算法。此外，推導出了G1光滑拼接兩張三角域上擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片的充分條件。
　　(3)在一類帶有兩個指數形狀參數的擬四次三角函數空間Span{1，αsint(1-sint）α-1，βcost(1-c

10、ost)β-1，(1-sint)α，(1-cost)β}中構造了一組與四次Bernstein基性質類似的擬四次三角Bernstein基?；谠摂M四次三角Bernstein基，構造了一類帶四個局部形狀參數的擬四次三角非均勻B樣條基。
　　由擬四次三角Bernstein基定義的擬四次三角Bézier曲線能夠精確表示橢圓弧和拋物弧。給出了擬四次三角非均勻B樣條基具有局部支撐性和線性無關性的充分條件。相應的樣條曲線具有保單調性和保凸性，且

11、對特別的形狀參數取值，曲線可以達到C2∩ FC2k+3(k∈Z+)階連續(xù)性。利用擬四次三角非均勻B樣條基，無需求解線性方程組，通過改變局部形狀參數取值可靈活方便地生成逼近或插值控制點的C2連續(xù)樣條曲線。
　　(4)構造了一類帶兩個局部形狀參數的四次有理插值樣條基。
　　無需求解線性方程組，該插值樣條可以達到C2連續(xù)。分析了該插值樣條的收斂性并給出了插值誤差公式，結果表明該插值樣條具有O(h2)逼近階。通過限制兩個局部形狀參數