幾何造型中的若干細(xì)分方法研究及其應(yīng)用.pdf

1、幾何造型主要研究在計算機(jī)系統(tǒng)的環(huán)境下，對于幾何形體的表示、設(shè)計、顯示和分析。細(xì)分方法作為曲線曲面的離散化造型方法，是多邊形網(wǎng)格表示方法和參數(shù)表示方法的有機(jī)結(jié)合，自從上個世紀(jì)八十年代以來，得到了廣泛的研究，已發(fā)展成為幾何造型、形體表示和繪制、多分辨率分析及數(shù)值計算的一種有效方法．細(xì)分方法因其獨特的優(yōu)勢，近年來倍受關(guān)注，在計算機(jī)動畫、科學(xué)計算可視化、制造業(yè)的逆向工程以及醫(yī)學(xué)圖像處理中都有應(yīng)用。至今研究多集中在各種細(xì)分規(guī)則的構(gòu)造、細(xì)分方法的收

2、斂性與連續(xù)性分析、基于細(xì)分的實用算法等方面。而在細(xì)分參數(shù)對細(xì)分曲線形狀控制的分析、依據(jù)初始網(wǎng)格及其幾何特征和預(yù)定的設(shè)計目標(biāo)和要求(如插值、良好局部性、可控性、光滑性等)構(gòu)造和分析新的細(xì)分方法等方面還有很多工作要做。 本文在對細(xì)分方法的構(gòu)造思想、特點、發(fā)展歷史、分類、主要研究內(nèi)容及插值細(xì)分法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述的基礎(chǔ)上，從理論化和可視化兩個角度分析插值細(xì)分法中細(xì)分參數(shù)對細(xì)分曲線形狀的控制作用；研究一些行之有效的ternary細(xì)分曲線

3、曲面造型方法，以進(jìn)一步提高ternary細(xì)分方法在光滑插值曲線曲面造型等方面的能力；研究B樣條曲線的p-nary細(xì)分技術(shù)及其幾何作圖問題。論文的主要成果如下： 多數(shù)細(xì)分法文獻(xiàn)側(cè)重研究細(xì)分法的構(gòu)造、收斂性光滑性分析及其在曲線曲面造型中的應(yīng)用，少有文獻(xiàn)致力于細(xì)分參數(shù)對細(xì)分曲線形狀影響(特別是對細(xì)分曲線分形形態(tài)的影響)的理論分析．本文對兩種C<'1>插值細(xì)分法——單參數(shù)四點binary插值細(xì)分法及雙參數(shù)三點ternary插值細(xì)分法中細(xì)

4、分參數(shù)對細(xì)分曲線形狀的局部和整體影響進(jìn)行了分析，得到了張力參數(shù)ω對四點binary插值細(xì)分曲線Holder指數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，給出了C<'0>和C<'1>情形下細(xì)分參數(shù)a，6所屬的幾何區(qū)域和新頂點所屬的控制區(qū)域，在此基礎(chǔ)上分析了張力參數(shù)ω對四點binary插值細(xì)分曲線、細(xì)分參數(shù)a，6對三點ternary插值細(xì)分曲線形狀的控制作用．進(jìn)而通過考察任意細(xì)分層次上的任意兩個控制頂點經(jīng)過任意次細(xì)分后，細(xì)分參數(shù)對位于這兩個頂點之間的小邊長度總和的影響

5、，分析了細(xì)分參數(shù)和整個細(xì)分曲線呈現(xiàn)分形特征之間的關(guān)系，分別得到了細(xì)分極限曲線上任一段不可求長的充分條件，從而揭示了這兩種插值細(xì)分法的分形性質(zhì)，系統(tǒng)地分析了細(xì)分參數(shù)對細(xì)分曲線形狀的影響．本文還研究了分析結(jié)果在分形曲線曲面生成方面的應(yīng)用，給出了若干個例子．理論和數(shù)值算例表明，給定初始控制多邊形或初始控制網(wǎng)，應(yīng)用四點binary插值細(xì)分法或三點ternary插值細(xì)分法，可通過適當(dāng)選擇細(xì)分參數(shù)直接快速地生成分形曲線曲面，生成方法簡單有效，且生成

6、的分形曲線曲面的形狀在一定范圍內(nèi)是可調(diào)整的．本文提出的分析方法可推廣到其它細(xì)分法中細(xì)分參數(shù)角色的分析．針對實際應(yīng)用中對具有良好可控性、局部性和光滑性的插值細(xì)分法的需求，本文首先提出了一種變參數(shù)的非均勻三點ternary插值細(xì)分法，并對其C<'0>及C<'1>收斂性進(jìn)行了分析．為了提升它的可控性，又提出了一種更便于操作的帶細(xì)分權(quán)的非均勻三點ternary插值細(xì)分法，給每一個初始控制頂點賦予一個初始權(quán)因子，通過這些初始權(quán)因子來自由調(diào)整細(xì)分曲

7、線的形狀．為了明確帶權(quán)非均勻三點ternary插值細(xì)分法的可操作性，本文分析了初始權(quán)因子的作用，并將得到的結(jié)果應(yīng)用于插值曲線曲面的造型及地形形狀生成中，提出了一種基于非均勻三點ternary插值細(xì)分法的地形生成方法。本文分別給出并證明了兩種非均勻三點ternary插值極限曲線為C<'0>、C<'1>連續(xù)性時參數(shù)或權(quán)因子所滿足的充分條件。與現(xiàn)有的插值細(xì)分法相比，本章提出的細(xì)分法局部性較好，更加靈活，能快速生成形狀局部或整體可控的C<'0>

8、或C<'1>插值曲線或曲面．應(yīng)用本文提出的基于非均勻三點ternary插值細(xì)分法的地形生成方法可快速有效地生成具有不同形狀的地形，并且所生成的地形形狀具有可控性。 由于ternary細(xì)分法的特性，應(yīng)用ternary細(xì)分法生成曲線曲面的速度比用經(jīng)典binary細(xì)分法更快，因此基于任意四邊形網(wǎng)格的ternary曲面細(xì)分法已被提出，但基于三角網(wǎng)格的ternary插值曲面細(xì)分法的構(gòu)造和分析還有待進(jìn)一步研究．本文首先針對規(guī)則三角網(wǎng)格，提出

9、了一種基于兩次插值平方根3細(xì)分的ternary插值曲面細(xì)分法，極限曲面可達(dá)C<'1>連續(xù)．為改進(jìn)細(xì)分法的局部性，且使得細(xì)分法生成的曲面形狀可調(diào)，本文接著研究了帶參數(shù)的ternary插值曲面細(xì)分法的構(gòu)造問題．針對任意三角網(wǎng)格，給出了各種情形下新面點、新邊點的計算公式，分析了細(xì)分法的收斂性和連續(xù)性，得到了細(xì)分曲面存在和G<'1>連續(xù)的充分條件。 在具有C<'2>連續(xù)性的四點ternary插值細(xì)分法的構(gòu)造和分析方面，本文針對Hassa

10、n等提出的單參數(shù)四點ternary插值細(xì)分法中細(xì)分參數(shù)的幾何特征不明顯，不利于細(xì)分曲線形狀修改的問題，首先提出了一類包含兩個帶有明顯幾何特征的形狀參數(shù)的雙參數(shù)四點ternary插值細(xì)分法，給出并證明了極限曲線C<'0>、C<'1>、C<'2>連續(xù)時參數(shù)滿足的充分條件，得到了相應(yīng)情形下參數(shù)所屬的幾何區(qū)域和新頂點所屬的控制區(qū)域，討論了細(xì)分法用于造型光滑插值曲線時的形狀控制問題。接著本文對Hassan單參數(shù)四點ternary插值細(xì)分法滿足不同

11、連續(xù)性時的條件及Holder指數(shù)作進(jìn)一步的分析，給出了極限函數(shù)一階及二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，并研究了四點ternar 插值細(xì)分法在函數(shù)逼近、無須輔助頂點而直接插值給定型值點的光滑插值細(xì)分曲線的構(gòu)造等方面的應(yīng)用，證明了四點ternary插值細(xì)分法的逼近階可達(dá)四階，提出了一種改進(jìn)的四點ternary插值細(xì)分法。在B樣條曲線的p-nary細(xì)分法及其幾何作圖方面，本文引入離散卷積和生成多項式的概念，給出并證明了B樣條基函數(shù)p-nary細(xì)分時細(xì)分系數(shù)的

12、計算公式，討論了細(xì)分系數(shù)所滿足的性質(zhì)，提出了采用p-nary細(xì)分法細(xì)分生成非有理及有理B樣條曲線的細(xì)分規(guī)則及任意次均勻B樣條曲線的遞歸細(xì)分算法。在此基礎(chǔ)上，研究了任意次均勻B樣條曲線p-nary細(xì)分生成的幾何作圖方法。采用本文的方法可快速生成CAGD中常用的有理B樣條曲線。利用這種幾何作圖法，可以直觀地在計算機(jī)上通過編程來快速準(zhǔn)確地繪制B樣條曲線，更重要的是，可以使基于幾何方法的任意次均勻B樣條曲線的手工繪制成為可能。本文的結(jié)果將會進(jìn)一