CAGD中細分與擬合的造型方法研究.pdf

1、本文圍繞計算機輔助幾何設(shè)計(Computer Aided Geometric Design,簡稱CAGD)中細分和擬合的造型方法進行了深入的研究,主要獲得了以下一些成果： 首先,從理論上證明了B樣條曲線的升階是割角過程,并指出了割角過程中輔助控制頂點的幾何意義。 給定一條B樣條曲線,我們在每一步只增加一個節(jié)點的重數(shù),相應地也只升高一個節(jié)點區(qū)間內(nèi)的階數(shù).這樣每一個步驟中老基函數(shù)最多用2個新基函數(shù)來表示,從而新控制頂點最多只

2、用2個老控制頂點來表示,也就是說新控制多邊形是由老控制多邊形割角得到的.這樣依次增加每個節(jié)點的重數(shù),當所有節(jié)點區(qū)間上的階數(shù)都升高時,我們用割角過程得到了升階曲線的控制頂點.為了在每一步只升高一個節(jié)點區(qū)間的次數(shù),我們引入了雙次B樣條基函數(shù)的概念,并利用雙次B樣條基函數(shù)之間的變換公式證明了B樣條曲線的升階是割角過程。而割角過程中出現(xiàn)的輔助控制頂點則是由雙次B樣條基函數(shù)所定義的雙次B樣條曲線的控制頂點。 其次,提出了一種把平面光滑曲線

3、轉(zhuǎn)換為B樣條曲線的局部算法。 我們的局部算法有三個主要步驟：首先從待轉(zhuǎn)換的曲線上采樣足夠多的點及其切向,然后用G1連續(xù)的Bezier樣條去擬合采樣數(shù)據(jù),最后再把G1連續(xù)的Bezier樣條拼接為C2 B樣條曲線.由于在第二步擬合與第三步拼接中都符合了保形及誤差要求,所以最后的擬合曲線也達到了保形及誤差要求.而且,由于我們每次用固定端點及端點切向的Bezier曲線擬合點列時根據(jù)數(shù)據(jù)點的局部特性自適應確定節(jié)點及控制頂點,所以所得擬合曲

4、線的控制頂點數(shù)要少于傳統(tǒng)的最小二乘法等擬合方法.數(shù)值算例表明我們的局部算法在保形及減少數(shù)據(jù)量等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的最小二乘法。 再次,提出了曲線插值的內(nèi)心細分法。 內(nèi)心細分法因為每邊對應的新點是由邊、邊兩端頂點切線所圍成的三角形的內(nèi)心而得名.它有兩個主要步驟：加入新點,調(diào)整切向.給定一個初始點列及其切向,用內(nèi)心細分法得到的極限曲線曲率連續(xù)且保形.給定兩點兩切向,配以基于相鄰五點的切向調(diào)整方法,內(nèi)心細分法可以得到插值兩點兩切向

5、的螺線.用內(nèi)心細分法還可以在極限曲線中光滑地插入直線段.另外,內(nèi)心細分法還具有還圓性的特點,即如果所有的初始點及其切向均取自同一圓弧段,則極限曲線就是該網(wǎng)弧段.我們對極限曲線的收斂性與連續(xù)性給出了嚴格的證明,并用數(shù)值算例驗證了內(nèi)心細分方法。最后,提出了一種用逼近型細分算法插值網(wǎng)格的方法。 利用逼近型細分方法頂點對應的極限點公式,我們給出了一種極其簡單高效的插值方法.我們以Loop細分方法為例給出了新邊點及新頂點的顯式表達式.新方