曲線曲面造型的若干前沿問題研究.pdf

1、曲線曲面造型是CAD系統(tǒng)建模的一個(gè)重要環(huán)節(jié).優(yōu)良的建模功能在于它的高效性與高精度，這不僅能夠大大節(jié)省用戶的時(shí)間，而且可以精準(zhǔn)地獲取產(chǎn)品的理想外形.隨著CAD系統(tǒng)的快速發(fā)展，與草圖模塊有關(guān)的用戶常用功能中，諸如特殊曲線的快速成型、曲線插值、邊界約束等功能中，都不斷產(chǎn)生一些前沿性研究課題;與Nurbs模塊有關(guān)的直紋面等特殊曲面的快速生成、邊界曲線給定條件下的光滑曲面生成、以及分割、縫合等曲面操作中，也時(shí)常出現(xiàn)一些用戶深感困惑的熱門難題.基于

2、以上所列舉的曲線曲面造型的前沿課題，本文作了深入研究，在以下五個(gè)方面獲得了創(chuàng)新性的理論成果:
　　1.可弦長(zhǎng)參數(shù)化的復(fù)有理曲線的構(gòu)造及其參數(shù)化.鑒于Bézier曲線的弦長(zhǎng)參數(shù)化在參數(shù)曲線的點(diǎn)逆向工程中有著重要的應(yīng)用，利用復(fù)有理Bézier曲線這個(gè)工具，推導(dǎo)了2次和3次復(fù)有理Bézier曲線可弦長(zhǎng)參數(shù)化的一些充分條件，進(jìn)一步地，給出了選擇控制頂點(diǎn)和權(quán)因子來(lái)構(gòu)造可弦長(zhǎng)參數(shù)化曲線的算法.所構(gòu)造的可弦長(zhǎng)參數(shù)化的復(fù)有理Bézier曲線中，一

3、類2次的曲線通過其所有控制頂點(diǎn)，一類3次的曲線除了插值給定的端點(diǎn)及其切向之外，還提供2個(gè)自由度來(lái)調(diào)節(jié)曲線的形狀.數(shù)值例子表明，本文所推導(dǎo)的對(duì)復(fù)有理施以弦長(zhǎng)參數(shù)化的方法是十分有效的.其次，為了更加方便清晰地應(yīng)用復(fù)形式的有理de Casteljau算法和細(xì)分算法，通過研究一次復(fù)有理Bézier曲線的最優(yōu)參數(shù)化問題，提出2種最優(yōu)參數(shù)化方法——代數(shù)方法和幾何方法.代數(shù)方法借助直接的代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)曲線在M(o)bius變換下的重新參數(shù)化，使得這種參

4、數(shù)化在L2范數(shù)下最接近于弧長(zhǎng)參數(shù)化;而幾何方法從一次復(fù)有理Bézier曲線的內(nèi)在幾何性質(zhì)出發(fā)，直接求得曲線在M(o)bius變換下的最優(yōu)參數(shù)化，進(jìn)而揭示曲線最優(yōu)參數(shù)化的本質(zhì).另外，從應(yīng)用角度給出了用一次復(fù)有理Bézier曲線插值3個(gè)給定點(diǎn)的公式.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在最優(yōu)參數(shù)化后，曲線上的等參數(shù)點(diǎn)分布更加均勻，因而擁有更強(qiáng)的實(shí)用性.
　　2.3次LN曲線與PH曲線的構(gòu)造.為了更有效地利用具有線性法向量的3次Bézier曲線（稱為L(zhǎng)N B

5、ézier曲線）來(lái)求解等距曲線，本文給出了用3次LN曲線逼近一般的n次Bézier曲線的3種方法.其中，基于控制頂點(diǎn)偏移的逼近方法等價(jià)于求解一個(gè)1元2次方程，而基于L2范數(shù)的逼近方法等價(jià)于求解一個(gè)1元4次方程.其次，本文給出了基于Hausdorff距離的曲線最佳逼近的充分必要條件，進(jìn)而得到了對(duì)n次Bézier曲線作此類逼近的算法.實(shí)例表明，基于Hausdorff距離的逼近，不僅其誤差遠(yuǎn)小于基于控制頂點(diǎn)偏移的和基于L2范數(shù)的逼近誤差，而且

6、算法十分簡(jiǎn)單方便.另外，鑒于PH曲線可精確表示等距曲線從及曲率計(jì)算與控制對(duì)曲線設(shè)計(jì)的極端重要性，本文給出了最小化邊界約束的3次PH曲線的最大曲率的求解過程及答案.由于帶邊界約束的3次PH曲線有2個(gè)自由度，最小化該曲線的最大曲率等價(jià)于求解一個(gè)帶邊界條件的二元函數(shù)的最小值.
　　3.基于函數(shù)值帶權(quán)的雙變量的有理三次樣條插值方法.這種樣條插值方法有以下幾個(gè)好處，第一，能夠在不改變插值點(diǎn)的值的情況下通過改變參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)插值曲面的形狀;第二，

7、當(dāng)參數(shù)取任何正值時(shí)，插值函數(shù)都是C1連續(xù)的;第三，插值函數(shù)有簡(jiǎn)單的顯式表達(dá);第四，插值函數(shù)只依賴于函數(shù)值而不用求函數(shù)的偏導(dǎo)，計(jì)算十分簡(jiǎn)潔.本文還討論了這種樣條插值函數(shù)的樣條插值基、矩陣表示、界估計(jì)、誤差分析等優(yōu)良性質(zhì).
　　4.以測(cè)地線或曲率線作為給定邊界線的曲面造型新方法.給出了基于4階偏微分方程的曲面構(gòu)造方法.與基于求解控制頂點(diǎn)的方法相比，它具有以下優(yōu)點(diǎn):第一，在退化情形下，可以自然地導(dǎo)出相應(yīng)的雙調(diào)和曲面造型;第二，偏微分方程

8、中的參數(shù)蘊(yùn)含著彈性與剛性等物理意義;第三，需要求解的參數(shù)少，因而計(jì)算簡(jiǎn)單、高效.另外，本文還給出了以給定曲線為公共邊界的兩張C1連續(xù)拼接曲面的例子.
　　5.基于L2距離的計(jì)算來(lái)構(gòu)造逼近曲面.鑒于曲線曲面之間的距離計(jì)算是有理曲線曲面的降階逼近和多項(xiàng)式逼近等幾何逼近以及幾何設(shè)計(jì)的重要前題，本文首先給出了基于升階矩陣的兩張有理Bézier曲面的L2距離表示，然后利用這個(gè)L2距離表示和最小二乘法，對(duì)有理Bézier曲面多項(xiàng)式逼近的誤差作