曲線(xiàn)曲面的幾何約束造型與近似合并.pdf

1、曲線(xiàn)曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)系統(tǒng)中的基本工具，CAGD的大多數(shù)操作都是以曲線(xiàn)曲面為對(duì)象的.而無(wú)論是根據(jù)給定的幾何信息構(gòu)造滿(mǎn)足幾何約束條件的曲線(xiàn)曲面，還是為壓縮幾何信息的數(shù)據(jù)量而近似合并曲線(xiàn)曲面，它們都是在實(shí)際生產(chǎn)中被廣泛應(yīng)用的操作，因而一直成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一.本文圍繞這兩類(lèi)問(wèn)題展開(kāi)了深入的研究，取得了以下豐富的創(chuàng)新性成果：
　　 1.四階均勻α-三角/雙曲多項(xiàng)式B樣條曲線(xiàn)的保形插值：基于幾何約束中位矢約束的曲線(xiàn)造

2、型，其實(shí)質(zhì)上就是構(gòu)造插值所有給定點(diǎn)的曲線(xiàn).而保形插值，就是使得插值曲線(xiàn)能夠保持住型值點(diǎn)的外形特點(diǎn).構(gòu)造四階均勻α-三角/雙曲多項(xiàng)式B樣條曲線(xiàn)的核心思想是，把一個(gè)參數(shù)化的奇異多邊形與三角/雙曲多項(xiàng)式B樣條按某一個(gè)形狀因子調(diào)配，自動(dòng)生成帶形狀參數(shù)且插值給定平面點(diǎn)列的C2或G1連續(xù)的三角/雙曲多項(xiàng)式B樣條曲線(xiàn).它既繼承了均勻三角/雙曲多項(xiàng)式B樣條曲線(xiàn)的特點(diǎn)，也繼承了奇異混合樣條插值曲線(xiàn)在不要求解方程組或進(jìn)行繁復(fù)的迭代的前提下進(jìn)行插值的優(yōu)點(diǎn).為

3、使每條與形狀參數(shù)相應(yīng)的插值曲線(xiàn)都能保單調(diào)或保凸，只需把曲線(xiàn)一階導(dǎo)矢的兩個(gè)分量或者曲率符號(hào)函數(shù)分別轉(zhuǎn)化為類(lèi)Bernstein多項(xiàng)式，從而利用二次Bernstein多項(xiàng)式的非負(fù)性條件，簡(jiǎn)單快捷地得到形狀參數(shù)α保證曲線(xiàn)保單調(diào)或保凸的取值范圍.
　　 2.規(guī)避障礙物的G2連續(xù)低階樣條曲線(xiàn)的構(gòu)造：以基于幾何約束中位矢約束的曲線(xiàn)造型對(duì)應(yīng)的形狀因子為臨界值，得到能夠規(guī)避障礙物的形狀因子的范圍.首先，對(duì)由線(xiàn)段構(gòu)成的，能夠規(guī)避障礙物的引導(dǎo)多邊形進(jìn)

4、行光順，得到G2連續(xù)的樣條曲線(xiàn).既給出了這種樣條曲線(xiàn)的有理二次參數(shù)形式，又給出了隱函數(shù)形式.其主要思想是首先對(duì)引導(dǎo)多邊形進(jìn)行改進(jìn)，插入部分中點(diǎn)以作為新的控制頂點(diǎn).然后根據(jù)位矢約束求解每一段曲線(xiàn)的形狀因子，并對(duì)所有的形狀因子進(jìn)行比較，取最大的一個(gè)來(lái)構(gòu)造整條曲線(xiàn)，使之能夠規(guī)避所有障礙物的凸包，并保持G2連續(xù).與以往方法相比，本文構(gòu)造的曲線(xiàn)具有以下優(yōu)點(diǎn)：1.次數(shù)較低，卻仍能夠保證曲線(xiàn)整體G2連續(xù)；2.保形性良好，曲線(xiàn)與引導(dǎo)多邊形具有相同的拐點(diǎn)

5、；3.無(wú)需解高次方程，直接計(jì)算就可得到結(jié)果；4.控制多邊形直觀可見(jiàn)，便于對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行控制.特別地，三次泛函樣條曲線(xiàn)還可進(jìn)行局部調(diào)整，但仍能保持G2連續(xù).最后列舉了多個(gè)數(shù)值實(shí)例，用來(lái)驗(yàn)證算法的簡(jiǎn)單與有效.
　　 3.三角Bèzier曲面修改與調(diào)整方法：提出了一種基于幾何約束中位矢約束和法向約束的三角Bèzier曲面修改與調(diào)整方法.調(diào)整后的曲面滿(mǎn)足多個(gè)參數(shù)點(diǎn)處位矢和相應(yīng)法矢向量的幾何約束.在角點(diǎn)無(wú)約束或者角點(diǎn)處邊界曲線(xiàn)高階連續(xù)的約束條

6、件下，通過(guò)Lagrange乘子法，分別得到不同的調(diào)整曲面，使得距離函數(shù)在L2范數(shù)下達(dá)到最小.該算法簡(jiǎn)單有效，適用于各類(lèi)CAD系統(tǒng)的交互設(shè)計(jì).
　　 4.曲線(xiàn)的近似合并：討論了兩類(lèi)曲線(xiàn)，B樣條曲線(xiàn)的近似合并以及有理Bézier曲線(xiàn)的區(qū)間近似合并.對(duì)于B樣條曲線(xiàn)，利用極值條件，通過(guò)求解一個(gè)線(xiàn)性方程組，使得距離函數(shù)在L2范數(shù)下達(dá)到極小，合并曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)可用矩陣顯式表達(dá)，同時(shí)原曲線(xiàn)與合并曲線(xiàn)間距離函數(shù)的L2范數(shù)也可以精確得到.然后這個(gè)

7、方法被成功地推廣到兩相鄰非均勻B樣條曲面的近似合并以及多段非均勻B樣條曲線(xiàn)的一次性近似合并上.最后，利用齊次空間和二次規(guī)劃問(wèn)題，還探討了非均勻有理B樣條曲線(xiàn)的近似合并，同樣得到了很好的結(jié)果.對(duì)于有理Bèzier曲線(xiàn)，首先利用頂點(diǎn)攝動(dòng)法，使得攝動(dòng)誤差在某個(gè)范數(shù)下達(dá)到最小，得到兩條有理Bèzier曲線(xiàn)的多項(xiàng)式近似合并曲線(xiàn)，以此作為區(qū)間曲線(xiàn)的中心表達(dá)形式.然后利用已有的計(jì)算結(jié)果直接得到區(qū)間長(zhǎng)度固定的誤差曲線(xiàn)，或者利用二次規(guī)劃得到逼近效果更佳的

8、區(qū)間長(zhǎng)度不固定的誤差曲線(xiàn)，兩種方法都可以通過(guò)中點(diǎn)離散技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化.如果對(duì)誤差進(jìn)行限制，還可以得到端點(diǎn)插值的合并區(qū)間曲線(xiàn).
　　 5.三角Bèzier曲面的近似合并：基于三角Jacobi基的正交性，以及其與三角Bèzier基之間的基轉(zhuǎn)換矩陣，得到兩張或四張相鄰m階三角Bèzier曲面與所求n(n≥m)階近似合并三角Bèzier曲面的距離函數(shù)的L2范數(shù).然后分別在角點(diǎn)無(wú)約束或者角點(diǎn)處邊界曲線(xiàn)高階連續(xù)的約束條件下，通過(guò)最小二乘法分別得