Toric曲面幾何造型與半代數(shù)樣條研究.pdf

1、參數(shù)曲線曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(Computer Aided Geometric Design，簡稱為CAGD)的重要研究內(nèi)容.目前，對(duì)參數(shù)曲線曲面的研究主要集中在對(duì)Bézier,B樣條與NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)曲線曲面的研究.Toric曲面是有理Bézier曲面的一種多邊形推廣形式，繼承了很多Bézier曲面的造型優(yōu)點(diǎn).本文研究toric曲面的幾何連續(xù)條件和近似極小toric曲面的構(gòu)

2、造，并將toric曲面應(yīng)用到數(shù)據(jù)擬合和管道拼接中.多元樣條函數(shù)也是幾何造型的一個(gè)重要工具，常用的研究方法有光滑余因子方法，B網(wǎng)方法，B樣條方法，同調(diào)方法等.在本文中，我們利用同調(diào)代數(shù)的方法研究代數(shù)曲線剖分下的多元樣條函數(shù)空間.本文主要工作包括:
　　1.在CAGD中，參數(shù)曲面的幾何連續(xù)是一個(gè)非常重要的研究內(nèi)容.針對(duì)toric益面的幾何連續(xù)問題，我們推導(dǎo)toric Bernstein基函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)性質(zhì)，證明當(dāng)提升函數(shù)滿足提升

3、準(zhǔn)則時(shí)，toric曲面沿邊界處的一階和二階偏導(dǎo)在toric退化的過程中保持不變，并由此給出toric曲面的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的充要條件.通過指定特殊的提升函數(shù)，使得toric曲面沿邊界區(qū)域退化為張量積型或三角型的有理Bézier曲面.由有理Bézier曲面的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的已知結(jié)果，給出toric曲面基于控制結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系的一階幾何連續(xù)和曲率連續(xù)的充分條件，并給出了一些具體構(gòu)造的實(shí)例.
　　2.極小曲面研究中的一個(gè)著名問

4、題是求解Plateau問題，即以給定的邊界閉曲線為條件，求解極小曲面.在實(shí)際應(yīng)用中，已知的邊界往往是多邊的，我們結(jié)合toric曲面的參數(shù)域是任意凸多邊形，由此考慮Plateau-toric問題，使用Dirichlet泛函代替能量泛函求解，得到近似極小toric曲面的一個(gè)構(gòu)造方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了方法的可行性.
　　3.擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)集并重構(gòu)曲面是幾何造型中研究的一個(gè)重要問題.由于toric曲面是一種多邊參數(shù)曲面，我們使用toric曲面

5、擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)集并重構(gòu)曲面，當(dāng)點(diǎn)集的參數(shù)域?yàn)橥苟噙呌驎r(shí)，無需對(duì)點(diǎn)集的參數(shù)域進(jìn)行剖分，即可得到一個(gè)整體擬合的多邊參數(shù)曲面.其次，構(gòu)造多管道的過渡曲面在模具設(shè)計(jì)，工業(yè)零部件制造等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.借助幾何連續(xù)條件，我們使用兩片toric曲面來構(gòu)造多管道的過渡曲面.通過這兩個(gè)應(yīng)用，可以看出toric曲面不僅保持了有理Bézier曲面構(gòu)造簡單，形狀可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，而且參數(shù)域?yàn)槿我獾耐苟噙呅危蓽p少造型中曲面片的個(gè)數(shù)，避免了多片曲面間的拼接問題.

6、　　4.幾何造型中的一個(gè)重要研究對(duì)象是多元樣條函數(shù)，而同調(diào)代數(shù)是研究多元樣條函數(shù)的一種有效工具.我們推廣線性剖分下的多元樣條函數(shù)的同調(diào)方法到任意代數(shù)曲線剖分下的多元樣條函數(shù).由Bezout定理可知，2條n次代數(shù)曲線最多可相交于n2個(gè)點(diǎn)，本文使用同調(diào)代數(shù)的方法討論了構(gòu)成剖分的N條n次代數(shù)曲線相交于1個(gè)點(diǎn)和n2個(gè)點(diǎn)的情況.利用交換代數(shù)和toric退化的相關(guān)理論分別證明了這兩種剖分下的多元樣條模空間與線性剖分下的多元樣條?？臻g的關(guān)系，分析了這