曲線(xiàn)曲面設(shè)計(jì)與逼近的若干前沿問(wèn)題研究.pdf

1、曲線(xiàn)曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中的主要研究對(duì)象，CAGD中的大多數(shù)操作都是以曲線(xiàn)曲面為基礎(chǔ)的．而不論是參數(shù)曲線(xiàn)或者數(shù)據(jù)點(diǎn)的逼近問(wèn)題，還是形狀可控的曲線(xiàn)曲面的設(shè)計(jì)問(wèn)題，它們都在實(shí)際生產(chǎn)中具有十分重要的實(shí)用價(jià)值，因而一直成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一．本文圍繞這兩類(lèi)問(wèn)題展開(kāi)了深入的研究，取得了以下豐富的創(chuàng)新性理論成果：
　　 1．有理曲線(xiàn)任意高階導(dǎo)矢的hybrid多項(xiàng)式逼近：對(duì)于有理Bézier曲線(xiàn)的Hybrid多項(xiàng)式逼近問(wèn)題，證

2、明了當(dāng)有理Bézier曲線(xiàn)的Hybrid逼近曲線(xiàn)滿(mǎn)足收斂性條件時(shí)，那么Hybrid多項(xiàng)式曲線(xiàn)的任一高階導(dǎo)數(shù)均一致收斂到有理Bézier曲線(xiàn)的同階導(dǎo)數(shù)．這個(gè)結(jié)論保證了當(dāng)我們用Hybrid逼近曲線(xiàn)來(lái)近似有理Bézier曲線(xiàn)的同時(shí)，使得其具有更高的幾何接觸階，從而令有理Bézier曲線(xiàn)的逼近效率大大提高，逼近對(duì)象急劇擴(kuò)展．其主要方法是利用Hybrid多項(xiàng)式在不同次數(shù)下的遞推關(guān)系，將逼近的誤差分析轉(zhuǎn)化為對(duì)2s次Bernstein基函數(shù)以及一條n

3、次有理Bézier曲線(xiàn)的高階導(dǎo)矢的估計(jì)，此有理曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)依賴(lài)于Hybrid多項(xiàng)式曲線(xiàn)移動(dòng)控制頂點(diǎn)的控制頂點(diǎn)，以及其凸包內(nèi)的任意固定一點(diǎn)．
　　 2．參數(shù)曲線(xiàn)曲面的漸進(jìn)迭代逼近：給定初始數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)不斷的迭代調(diào)整混合曲線(xiàn)或曲面的控制頂點(diǎn)，由此得到一組曲線(xiàn)序列或者曲面序列，隨著迭代次數(shù)的增加，參數(shù)曲線(xiàn)和數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離越來(lái)越近，從而使得極限曲線(xiàn)或曲面能夠插值初始的控制頂點(diǎn)，這一方法被稱(chēng)為漸進(jìn)迭代逼近方法．如果只是插值給定數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一

4、部分而非全部，就得到局部漸進(jìn)迭代逼近方法．本文將這一方法推廣到三角域上，得出在均勻參數(shù)下三角Bézier曲面也具有這一漸進(jìn)迭代逼近性質(zhì)．主要的方法是利用多元Bernstein算子的特征值與單元Bernstein算子的特征值相同這一事實(shí)，得到三角Bernstein基函數(shù)在均勻參數(shù)處的配置矩陣的特征值取值范圍．與此同時(shí)，本文創(chuàng)新地給出漸進(jìn)迭代逼近曲線(xiàn)曲面的顯式表示，不但計(jì)算簡(jiǎn)單且直接，而且其結(jié)果是精確值．另外，為了得到較快的收斂速度，文中還

5、分析了帶權(quán)局部漸進(jìn)迭代逼近與三角Bézier曲面的帶權(quán)漸進(jìn)迭代逼近．在相同的迭代次數(shù)下，改進(jìn)的方法具有更小的逼近誤差．以往的討論主要集中在基函數(shù)是全正基的情形，對(duì)于非全正基的情形，本文作了初步的探討．
　　 3．過(guò)給定測(cè)地線(xiàn)的近似極小曲面設(shè)計(jì)：測(cè)地線(xiàn)是CAGD中一類(lèi)具有重要應(yīng)用價(jià)值的空間曲線(xiàn)．給定測(cè)地線(xiàn)，過(guò)給定測(cè)地線(xiàn)的曲面設(shè)計(jì)由于其廣泛的應(yīng)用前景，近年來(lái)被許多學(xué)者所關(guān)注．另一方面，極小曲面或者近似極小曲面在工程中也有重要的地位．

6、鑒于在服裝鞋帽制造業(yè)及材料剪裁中廣泛地采用過(guò)給定測(cè)地線(xiàn)且具有近似極小面積的曲面，本文把以上兩種技術(shù)加以有機(jī)的結(jié)合，給出了簡(jiǎn)單、可行的方法來(lái)設(shè)計(jì)此種曲面，分別在弧長(zhǎng)參數(shù)和一般參數(shù)下進(jìn)行了討論．最后，還有一些具體的實(shí)例驗(yàn)證了算法的正確與有效．
　　 4．兩類(lèi)帶形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線(xiàn)設(shè)計(jì)：在CAGD/CAD系統(tǒng)中，參數(shù)曲線(xiàn)曲面的表示及其形狀控制一直都受到廣泛的關(guān)注和研究，而這之中，基函數(shù)的選擇又是至關(guān)重要的．基于Bernstein基函數(shù)

7、的一些優(yōu)良性質(zhì)，它在CAGD/CAD系統(tǒng)中扮演著重要的角色．近年來(lái)，有不少文獻(xiàn)研究了帶形狀參數(shù)的參數(shù)化曲線(xiàn)曲面．本文改進(jìn)了Han等人[HMH08]提出的一類(lèi)廣義Bernstein基函數(shù)，不僅繼承了傳統(tǒng)Bernstein基函數(shù)的大部分性質(zhì)，也保留了原廣義Bernstein基函數(shù)的形狀參數(shù)性質(zhì)，同時(shí)還給出了其與傳統(tǒng)Bernstein基函數(shù)的轉(zhuǎn)化公式和升階公式，給出了由改組基構(gòu)造的新的Q-Bézier曲線(xiàn)曲面及其相應(yīng)性質(zhì)．與此同時(shí)，本文構(gòu)造了