有限元近似誤差對(duì)EIT正逆問(wèn)題影響的定量研究及算子分解方法的應(yīng)用.pdf

1、電阻抗斷層成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)在數(shù)學(xué)上實(shí)際是一類橢圓型偏微分方程正反問(wèn)題。已知模型的幾何結(jié)構(gòu)、激勵(lì)信號(hào)的源參數(shù)、阻抗分布求解模型的電勢(shì)分布稱之為正問(wèn)題(forward problem)；根據(jù)邊界電壓的測(cè)量值求阻抗分布或變化，被稱為逆問(wèn)題(inverse problem)。正問(wèn)題的研究主要包括數(shù)學(xué)物理理論描述、數(shù)學(xué)模型建立和大規(guī)模方程組的求解等。逆問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是不適定的、病態(tài)的，

2、即很小的誤差會(huì)對(duì)解產(chǎn)生很大的影響，這導(dǎo)致了圖像重建問(wèn)題對(duì)于正問(wèn)題的誤差包括測(cè)量誤差、模型誤差高度敏感。近幾十年，測(cè)量誤差的研究頗為廣泛，而模型誤差的研究報(bào)道不多。通常，模型誤差主要來(lái)源于求解域的有限元近似、未知的接觸阻抗及未知的被測(cè)組織的具體形狀等。這些模型誤差對(duì)于EIT問(wèn)題是至關(guān)重要的，決定著重建效率和圖像質(zhì)量。其中有限元的近似誤差是數(shù)學(xué)與工程理論基礎(chǔ)研究的一般問(wèn)題，且在EIT領(lǐng)域的研究報(bào)道很少，因此本文的研究立足點(diǎn)為有限元近似誤差對(duì)

3、EIT正逆問(wèn)題的定量影響。
　　有限元近似誤差主要取決于網(wǎng)格剖分密度和單元插值函數(shù)階數(shù)兩個(gè)方面。本文在大量的數(shù)值試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，具體從以下幾個(gè)方面做初步討論：
　　(1) EIT正問(wèn)題有限元解的誤差分析
　　通過(guò)不同的剖分規(guī)模、不同階次的插值函數(shù)，在二維正方形區(qū)域選擇特殊的橢圓型偏微分方程例子，比較三角形與四邊形剖分的數(shù)值結(jié)果。結(jié)果表明，計(jì)算精度隨著單元數(shù)目和插值函數(shù)階次的增加而提高；隨著插值函數(shù)階次的提高，計(jì)算精度增加

4、的倍數(shù)也逐次提高；并且單元數(shù)目愈多、插值函數(shù)階數(shù)愈高，計(jì)算時(shí)耗愈大。
　　推導(dǎo)二維均勻圓域模型、三層同心圓域模型的解析解公式，應(yīng)用解析方法對(duì)三層同心圓的數(shù)值解進(jìn)行討論，比較FEM數(shù)值解與解析解，定量地分析FEM數(shù)值解的計(jì)算精度、收斂階、相對(duì)誤差等數(shù)值指標(biāo)。結(jié)果表明，對(duì)于某一特定的高階單元如二階單元、三次單元，增加剖分規(guī)模對(duì)于其計(jì)算精度的提升作用有限，不同的剖分規(guī)模誤差只在小數(shù)點(diǎn)后三位有變化；對(duì)于某一特定的剖分規(guī)模，應(yīng)用高階單元對(duì)提

5、高精度作用不大，如二次、三次、四次單元間的誤差只在小數(shù)點(diǎn)后兩位有變化。
　　(2)有限元剖分對(duì)二維、三維圖像重建的影響
　　通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，給出了三種評(píng)價(jià)圖像的數(shù)值指標(biāo)：重建圖像質(zhì)量函數(shù)D、結(jié)構(gòu)相似度 SSIM和誤差總和TE，運(yùn)用非迭代的線性近似算法—NOSER和迭代算法—基于TV正則化算法，分別定量地討論了剖分規(guī)模對(duì)重構(gòu)圖像的影響。數(shù)值試驗(yàn)表明，在NOSER算法中，隨著二維圓域的網(wǎng)格剖分不斷加密，三種數(shù)值指標(biāo)顯示圖像質(zhì)量越來(lái)

6、越高；通過(guò)基于極大后驗(yàn)估計(jì)的誤差模型的誤差補(bǔ)償后，圖像質(zhì)量有所改善；加入不同信噪比的噪聲后，雖然噪聲對(duì)重建圖像造成了諸多偽影、斑跡；但是縱向比較來(lái)看；剖分不斷加密，圖像質(zhì)量依然越來(lái)越高。當(dāng)網(wǎng)格剖分規(guī)模達(dá)到一定程度時(shí)，圖像質(zhì)量提高幅度有限，故對(duì)于線性近似的非迭代算法來(lái)說(shuō)，選擇中分辨網(wǎng)格即可。采用迭代算法，低分辨網(wǎng)格的模型隨著迭代次數(shù)增加圖像質(zhì)量變高，誤差總和TE減??；而高分辨網(wǎng)格的模型在迭代過(guò)程中收斂速率變慢或者不收斂，誤差增大，重建過(guò)程

7、困難。故對(duì)于基于全變差正則化的迭代重構(gòu)算法選擇低分辨網(wǎng)格和合適的迭代次數(shù)就可以重建高質(zhì)量的圖像。
　　針對(duì)三維全電極模型，隨著單元數(shù)目、節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加，邊界電壓誤差減少；用于計(jì)算正問(wèn)題的網(wǎng)格從低分辨到高分辨分為七個(gè)等級(jí)，用于重建的網(wǎng)格均采用中分辨率網(wǎng)格。數(shù)值試驗(yàn)表明，從低分辨網(wǎng)格到高分辨網(wǎng)格，圖像質(zhì)量越來(lái)越高，偽影減少，邊界越發(fā)清晰。
　　(3)算子分解方法在EIT中的應(yīng)用
　　算子分解方法是圖像重建方法中的一種直接方

8、法。本文得到了算子分解方法的主要數(shù)學(xué)模型和理論構(gòu)架，以及算子分解方法的正則化理論。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)于多目標(biāo)模型算子分解方法能得到較好的重建結(jié)果。
　　綜上，本文從數(shù)值分析的角度，在大量的數(shù)值模擬仿真試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，定量地考察了有限元剖分、不同階數(shù)的插值函數(shù)對(duì)正問(wèn)題結(jié)果的影響；結(jié)合均勻場(chǎng)域的解析解公式對(duì)數(shù)值解進(jìn)行了誤差分析；結(jié)合不同重建算法定量地討論了有限元剖分規(guī)模對(duì)圖像重建的影響；討論了求解EIT逆問(wèn)題三大類方法之一直接法中的算子分