有限元近似誤差對EIT正逆問題影響的定量研究及算子分解方法的應用.pdf

1、電阻抗斷層成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)在數學上實際是一類橢圓型偏微分方程正反問題。已知模型的幾何結構、激勵信號的源參數、阻抗分布求解模型的電勢分布稱之為正問題(forward problem)；根據邊界電壓的測量值求阻抗分布或變化，被稱為逆問題(inverse problem)。正問題的研究主要包括數學物理理論描述、數學模型建立和大規(guī)模方程組的求解等。逆問題在數學上是不適定的、病態(tài)的，

2、即很小的誤差會對解產生很大的影響，這導致了圖像重建問題對于正問題的誤差包括測量誤差、模型誤差高度敏感。近幾十年，測量誤差的研究頗為廣泛，而模型誤差的研究報道不多。通常，模型誤差主要來源于求解域的有限元近似、未知的接觸阻抗及未知的被測組織的具體形狀等。這些模型誤差對于EIT問題是至關重要的，決定著重建效率和圖像質量。其中有限元的近似誤差是數學與工程理論基礎研究的一般問題，且在EIT領域的研究報道很少，因此本文的研究立足點為有限元近似誤差對

3、EIT正逆問題的定量影響。
　　有限元近似誤差主要取決于網格剖分密度和單元插值函數階數兩個方面。本文在大量的數值試驗的基礎上，具體從以下幾個方面做初步討論：
　　(1) EIT正問題有限元解的誤差分析
　　通過不同的剖分規(guī)模、不同階次的插值函數，在二維正方形區(qū)域選擇特殊的橢圓型偏微分方程例子，比較三角形與四邊形剖分的數值結果。結果表明，計算精度隨著單元數目和插值函數階次的增加而提高；隨著插值函數階次的提高，計算精度增加

4、的倍數也逐次提高；并且單元數目愈多、插值函數階數愈高，計算時耗愈大。
　　推導二維均勻圓域模型、三層同心圓域模型的解析解公式，應用解析方法對三層同心圓的數值解進行討論，比較FEM數值解與解析解，定量地分析FEM數值解的計算精度、收斂階、相對誤差等數值指標。結果表明，對于某一特定的高階單元如二階單元、三次單元，增加剖分規(guī)模對于其計算精度的提升作用有限，不同的剖分規(guī)模誤差只在小數點后三位有變化；對于某一特定的剖分規(guī)模，應用高階單元對提

5、高精度作用不大，如二次、三次、四次單元間的誤差只在小數點后兩位有變化。
　　(2)有限元剖分對二維、三維圖像重建的影響
　　通過仿真實驗，給出了三種評價圖像的數值指標：重建圖像質量函數D、結構相似度 SSIM和誤差總和TE，運用非迭代的線性近似算法—NOSER和迭代算法—基于TV正則化算法，分別定量地討論了剖分規(guī)模對重構圖像的影響。數值試驗表明，在NOSER算法中，隨著二維圓域的網格剖分不斷加密，三種數值指標顯示圖像質量越來

6、越高；通過基于極大后驗估計的誤差模型的誤差補償后，圖像質量有所改善；加入不同信噪比的噪聲后，雖然噪聲對重建圖像造成了諸多偽影、斑跡；但是縱向比較來看；剖分不斷加密，圖像質量依然越來越高。當網格剖分規(guī)模達到一定程度時，圖像質量提高幅度有限，故對于線性近似的非迭代算法來說，選擇中分辨網格即可。采用迭代算法，低分辨網格的模型隨著迭代次數增加圖像質量變高，誤差總和TE減?。欢叻直婢W格的模型在迭代過程中收斂速率變慢或者不收斂，誤差增大，重建過程

7、困難。故對于基于全變差正則化的迭代重構算法選擇低分辨網格和合適的迭代次數就可以重建高質量的圖像。
　　針對三維全電極模型，隨著單元數目、節(jié)點數目的增加，邊界電壓誤差減少；用于計算正問題的網格從低分辨到高分辨分為七個等級，用于重建的網格均采用中分辨率網格。數值試驗表明，從低分辨網格到高分辨網格，圖像質量越來越高，偽影減少，邊界越發(fā)清晰。
　　(3)算子分解方法在EIT中的應用
　　算子分解方法是圖像重建方法中的一種直接方

8、法。本文得到了算子分解方法的主要數學模型和理論構架，以及算子分解方法的正則化理論。通過仿真實驗，對于多目標模型算子分解方法能得到較好的重建結果。
　　綜上，本文從數值分析的角度，在大量的數值模擬仿真試驗的基礎上，定量地考察了有限元剖分、不同階數的插值函數對正問題結果的影響；結合均勻場域的解析解公式對數值解進行了誤差分析；結合不同重建算法定量地討論了有限元剖分規(guī)模對圖像重建的影響；討論了求解EIT逆問題三大類方法之一直接法中的算子分