邊界元法中高階單元奇異積分的一個新正則化算法及其應用研究.pdf

1、本文綜述了邊界元法中幾乎奇異積分問題的國內外研究現(xiàn)狀，目前邊界元法關于線性單元幾乎奇異積分問題算法較為成熟，但對高階單元尤其是三維高階單元幾乎奇異積分計算缺乏一種通行、高效的解決方法，這妨礙了邊界元法的工程應用。
　　 文中首先對邊界元法線性單元幾乎奇異積分正則化算法思想作了簡要回顧和總結，并將其應用于三維聲場邊界元分析。在此基礎上對邊界元法高階單元幾乎奇異積分進行系統(tǒng)研究，以二次單元為例，創(chuàng)立了一種計算高階單元各類幾乎奇異積分

2、的半解析算法，包括弱、強和超幾乎奇異積分。并且將本文建立的半解析算法應用于二維和三維位勢及其薄體問題、二維彈性力學及其層合結構邊界元法分析。全文主要創(chuàng)新點概括如下:
　　 1.拓展了線性單元幾乎奇異積分正則化算法在三維聲場邊界元分析中的應用。將三維聲場基本解函數(shù)進行Taylor級數(shù)展開，分離出奇異積分和非奇異積分兩個部分。采用線性單元正則化算法計算其中的奇異積分部分，從而解決了三維聲場邊界元法分析中的幾乎奇異積分難題。聲場問題算

3、例表明，本文算法計算精度較常規(guī)邊界元法顯著提高，可以為基于近邊界點聲學參量準確計算為基礎的各類聲學分析提供重要的參考依據(jù)。本文基于基本解函數(shù)Taylor級數(shù)展開的正則化算法思想，也為基本解為非多項式形式的邊界元幾乎奇異積分正則化提供了解決思路，拓寬了線性單元正則化算法的應用領域。
　　 2.創(chuàng)立了二維位勢問題邊界元法高階單元幾乎奇異積分的一個新的正則化算法。本文分析了邊界積分方程高階單元中幾乎奇異積分的原因，不失一般性，以二維問

4、題3節(jié)點二次單元為例剖析了二次單元的幾何特征，定義了源點到高階曲線單元的接近度概念，分離出二維位勢積分方程積分式中近似核函數(shù)。對積分核應用扣除法(Subtraction)技巧，通過扣除與積分核具有同樣奇異性的近似積分核來消除幾乎奇異性，建立了一個新的半解析算法，成功地計算出接近度為10-14的幾乎強奇異積分和接近度為10-7的幾乎超奇異積分。該算法應用于二維位勢和薄體問題分析，結果表明本文算法可以計算距離邊界非常近的內點位勢和位勢導數(shù)，

5、并具有很高的計算精度。
　　 3.針對3節(jié)點二次曲線單元，將二維位勢問題的半解析正則化算法思想應用于二維彈性力學邊界元分析，通過局部坐標變換，分離出二維彈性力學積分方程積分項中的近似奇異核函數(shù)，再采用扣除法消除了幾乎強奇異和幾乎超奇異性并推導出幾乎奇異積分部分的解析計算公式，建立了彈性力學邊界元法幾乎強奇異和幾乎超奇異積分的半解析算法。本文將半解析算法同多域邊界元法聯(lián)合應用，成功地求解了彈性力學薄體和層合結構的近邊界內點位移和應

6、力，算例結果表明邊界元法高階單元比線性單元以及有限元法更具有優(yōu)勢。
　　 4.創(chuàng)立了三維位勢問題邊界元法高階單元幾乎奇異積分的半解析正則化算法。以8節(jié)點四邊形二次曲面單元為例，分別在整體坐標系、局部直角坐標系和局部極坐標系下剖析單元的幾何特征，提出了源點到高階曲面單元的接近度概念。分離出三維位勢問題基本解中幾乎奇異積分核函數(shù)的近似函數(shù)，然后通過坐標變換使其近似函數(shù)面積分中的兩個積分變量分離，從而可以依次單獨計算積分。以此為基礎，

7、對積分核應用扣除法技巧，把幾乎奇異面積分轉化為非奇異積分和奇異積分兩項之和，其中非奇異積分項用常規(guī)Gauss數(shù)值積分計算，而奇異積分項在局部極坐標系下推導出對極變量積分的解析計算公式，對角變量積分用常規(guī)Gauss數(shù)值積分計算。本文半解析算法應用于三維位勢問題及其薄體問題邊界元分析，成功地計算出其中的幾乎強奇異和幾乎超奇異積分。
　　 本文半解析算法技術同樣適用于其他高階邊界單元幾乎奇異積分的計算，從而一般性地解決了二維和三維邊界