Banach空間的完全凸函數(shù)與逼近點算法.pdf

1、Bregman優(yōu)化方法是當(dāng)前算法理論中重要的研究課題,它的出現(xiàn)促進了算法理論的發(fā)展。這種方法已廣泛應(yīng)用在優(yōu)化算法問題和非線性算子的不動點計算等各個方面的研究中。Bregman優(yōu)化方法以凸分析、優(yōu)化理論為基礎(chǔ),而且算法與這些理論相結(jié)合也促進了凸函數(shù)理論的深入研究與發(fā)展。在本論文中,我們研究了與Bregman優(yōu)化方法有關(guān)的概念及其性質(zhì),以及以這些概念和性質(zhì)為基礎(chǔ),將這種方法應(yīng)用于Banach空間中的某些類型的算子(具有Bregman單調(diào)型性

2、質(zhì)的算子)的優(yōu)化算法。 完全凸函數(shù)是Bregman優(yōu)化方法的基本概念,把函數(shù)的完全凸性應(yīng)用于算法的設(shè)計與收斂分析中是這類算法的一個重要支點。我們考慮完全凸函數(shù)及其它函數(shù)類(一致凸函數(shù)和一致光滑函數(shù))的性質(zhì),且在完全凸概念下考察了算子(特別是那些它們的預(yù)解算子是條件非擴張的且有Bregman單調(diào)型性質(zhì)的算子及Bregman投影算子等)的性質(zhì),并將這些函數(shù)類和算子的性質(zhì)用于設(shè)計Bregman優(yōu)化算法以及討論算法的收斂分析。

3、首先,我們使用完全凸函數(shù)研究集值映射的連續(xù)選擇的存在性,以及在較弱意義下討論了函數(shù)的完全凸性與一致凸性的等價性。我們給出函數(shù)的在有界集上的一致光滑性的特征.我們引入凸函數(shù)的局部一致完全凸的概念,討論它的性質(zhì)并將這些性質(zhì)應(yīng)用到在某些優(yōu)化問題中使人感興趣的算法中。我們引入局部一致完全凸Banach空間,并給出Banach空間的局部一致完全凸性的等價刻劃。而且,優(yōu)化問題中的某些集值算子和單值算子的零解及不動點的存在性、變分不等式問題的解的存在

4、性也被討論。 其次,我們在具有特定幾何結(jié)構(gòu)的Banach空間中使用函數(shù)‖·‖2的幾何性質(zhì)研究Bregm-an優(yōu)化算法.具體地,為在一致凸、一致光滑Banach空間X中找問題0 ∈ T(ν)的解,這里T:X →X*是一個最大單調(diào)算子。我們研究了最大單調(diào)算子的逼近點算法的改進。在控制參數(shù)的適當(dāng)假設(shè)下,我們討論了算法的強或弱收斂性并估計了算法的收斂速度,以及這一算法對于凸優(yōu)化問題的應(yīng)用。另外,考慮有約束的混合型問題,即,在上述Bana