23848.二維黎曼流形上調(diào)和函數(shù)的幾何性質(zhì)

1、二維黎曼流形上調(diào)和函數(shù)的幾何性質(zhì)研究生姓名:王新敬學(xué)科、專業(yè):數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向:微分幾何指導(dǎo)教師:王培合副教授完成時(shí)間:2014年4月曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文摘要在偏微分方程中橢圓方程是一類重要的方程其中調(diào)和函數(shù)方程是橢圓方程中最經(jīng)典的代表之一.方程的解是大家比較關(guān)心的問(wèn)題解的幾何性質(zhì)是來(lái)描述解的性質(zhì)的一個(gè)方面.幾何性質(zhì)主要研究的是水平集的凸性和曲率估計(jì)等方面.本文將區(qū)域限制在二維黎曼流形上考慮調(diào)和函數(shù)最速下降線曲率和水平集曲率滿

2、足的方程最終利用極值原理來(lái)刻畫(huà)流形上調(diào)和函數(shù)的幾何性質(zhì).本文主要結(jié)果為:定理1.是定義在具有常高斯曲率的黎曼流形2中無(wú)臨界點(diǎn)的調(diào)和函數(shù)是的最速下降線曲率設(shè)=|?|?1有如下結(jié)果成立:Δ2=0和Δln1||≥(?=0).定理2.是定義在具有常高斯曲率的黎曼流形2中無(wú)臨界點(diǎn)的調(diào)和函數(shù)是的最速下降線曲率.如果≤0那么=|?|?1在區(qū)域的邊界取到非負(fù)極大和非正極小如果≥0那么||在區(qū)域的邊界取到極小值.定理3.是定義在具有常高斯曲率的黎曼流形2