畢業(yè)論文--關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的若干技巧和方法

1、<p><b>　　學士學位論文</b></p><p>　　Bachelor’s Thesis</p><p>　　湖北師范學院學士學位論文誠信承諾書</p><p>　編號2013110254研究類型理論研究 分類號O17 </p><p><b>　　目 錄</b></p&g

2、t;<p><b>　　1.前言1</b></p><p>　　2.函數(shù)一致連續(xù)2</p><p>　　2.1函數(shù)一致連續(xù)的定義2</p><p>　　2.2 證明函數(shù)一致連續(xù)的相關(guān)真命題2</p><p>　　2.3 函數(shù)一致連續(xù)相關(guān)定理3</p><p>　　2.3.1

3、函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件3</p><p>　　2.3.2函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充要條件6</p><p>　　2.4 應(yīng)用舉例8</p><p>　　3.函數(shù)非一致連續(xù)12</p><p>　　3.1函數(shù)非一致連續(xù)的定義12</p><p>　　3.3 應(yīng)用舉例14</p><p

4、><b>　　4.參考文獻16</b></p><p><b>　　5.致謝17</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的若干技巧和方法</p><p>　　胡輝（指導老師，許紹元 教授）</p><p>　?。ê睅煼秾W院數(shù)學與統(tǒng)計學院 中國 黃石 435002）</p

5、><p>　　摘 要：本文綜述了關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個結(jié)論和定理，而且針對函數(shù)一致 </p><p>　　連續(xù)證明的問題，給出了證明方法的流程圖，該流程圖對函數(shù)一致連續(xù)性證</p><p>　　給出了很清晰的思路，通過例題解釋流程圖使用方法。事實表明該流程圖對</p><p>　　函數(shù)一致連續(xù)證明是非常有效的。相信這篇文章對大家證明函

6、數(shù)一致連續(xù)性</p><p>　　具很大的指導作用。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)；一致連續(xù)性；命題和定理；流程圖；例題</p><p><b>　　中圖分類號:O17</b></p><p>　　Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and M

7、ethods</p><p>　　HuHui (Tutor：Xu Shaoyuan)</p><p>　　(College of Mathematics and Statistics, Hubei Norma University, Huangshi , Hubei,435002)</p><p>　　Abstract: In this paper, severa

8、l conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem, and a continuous function proof given flow chart of the method of proof, with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a ve

9、ry clearideas, through examples explain the flow chart to use. The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof. I believe this article we prove that the

10、function continuity with the </p><p>　　Keywords：Function; consistent continuity; propositions and theorems; flowchart; example</p><p>　　關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的若干技巧和方法</p><p>　　胡輝（指導老師，許紹元教授）&l

11、t;/p><p>　　（湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 中國 黃石 435002）</p><p><b>　　1.前言</b></p><p>　　本文綜述了關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個結(jié)論 ，并舉例說明其應(yīng)用。這對證明函數(shù)的一直連續(xù)性具有一定的指導作用，函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學分析中的重要概念和難點之一，大多數(shù)學分析教材對這方面的討論較少，學生對一

12、直連續(xù)性證明的掌握往往不夠，單從定義出發(fā)證明函數(shù)的一直連續(xù)性又較困難，因此本文給出了幾個證明函數(shù)一致連續(xù)的方法，并舉例說明其應(yīng)用，以供讀者參考。</p><p>　　本文綜合了很多網(wǎng)上的資料以及很多相關(guān)有關(guān)函數(shù)一致連續(xù)的書籍，首先是給出了函數(shù)一致連續(xù)的定義，用語言闡述了我們在大學數(shù)學分析中所學到的函數(shù)一致連續(xù)的概念，并給出了有關(guān)函數(shù)一致連續(xù)證明的命題和定理，總結(jié)了函數(shù)一致連續(xù)的充分條件和充要條件，并給出了函數(shù)非一

13、致連續(xù)證明的充要條件，然后是給出了證明函數(shù)一致連續(xù)的程序流程圖，仔細地分析了各類函數(shù)是否一致連續(xù)，并給出了相關(guān)證明的技巧。</p><p>　　在給出證明技巧以后，我又總結(jié)了各種證明技巧的典型例題，給出例題的同時，給出了證明的各種思路和技巧，分不同的方法和思路給出了證明，在證明過程中先給出證明思路，然后給出了證明過程，為讀者可以提供很清晰的函數(shù)一致連續(xù)的證明技巧。最后，我覺得函數(shù)一致連續(xù)的證明，一切都是源自于一致

14、連續(xù)的定義，在理解函數(shù)一致連續(xù)性的定義的過程中我們才能很清晰明了的得出其是否符合一致連續(xù)性的性質(zhì)。</p><p><b>　　2.函數(shù)一致連續(xù)</b></p><p>　　2.1函數(shù)一致連續(xù)的定義</p><p>　　設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對任給的，存在，使得對任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p

15、>　　2.2 證明函數(shù)一致連續(xù)的相關(guān)真命題</p><p>　　命題2.2.1 設(shè)在區(qū)間上有有界導數(shù)，則在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p>　　命題2.2.2 設(shè)為連續(xù)的周期函數(shù)，則一致連續(xù).</p><p>　　命題2.2.3 設(shè)在有限開區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)的充要條件是及存在.對于區(qū)間和區(qū)間也有類似的結(jié)果.</p><p

16、>　　證明：充分性：由在有限開區(qū)間上連續(xù)，有對任給的，存在正數(shù)，，有.特別的，當時，有.根據(jù)柯西收斂準則知，存在.同理可證存在.</p><p>　　必要性：因為與存在，令</p><p>　　在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，因此在上一致連續(xù).</p><p>　　推論 1 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充要條件是在上連續(xù)且存在.</p><p>

17、　　推論 2 函數(shù)在 由一致連續(xù)的充要條件：在內(nèi)連續(xù)，且存在.</p><p>　　命題2.2.4 若在上連續(xù)，且（有限），則在上一致連續(xù).</p><p>　　證明 因為，則對任給的，存在正數(shù)，只要，就有.又因為在上連續(xù)，則在上一致連續(xù)，即對上述，存在，對任何，有.于是對任何，只要或，就有，所以在上一致連續(xù).</p><p>　　對于區(qū)間和也有類似的結(jié)果

18、，對于區(qū)間和可以用命題3和命題4判別一致連續(xù)性.</p><p>　　命題2.2.5 設(shè)區(qū)間的右端點為，區(qū)間左端點也為，若分別在區(qū)間和上一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù).</p><p>　　命題2.2.6 設(shè)在上可導，且，則在上一致連續(xù)的充要條件為有限數(shù)。對于和也有類似的結(jié)果.</p><p>　　2.3 函數(shù)一致連續(xù)相關(guān)定理</p><p

19、>　　2.3.1函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件</p><p>　　定理2.3.1.1 若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù).</p><p>　　定理2.3.1.2 設(shè)在上連續(xù)，在上一致連續(xù)，且，則在上一致連續(xù).</p><p>　　證明：因為，則對任給的，存在正數(shù)，當時，有.又因為在上一致連續(xù)，則對上述，存在，只要，就有，因此對任何，，，有:</p

20、><p><b>　　，</b></p><p>　　而在閉區(qū)間上一致連續(xù).即對上述，只要，</p><p>　　，就有，取=，則當，時，有，所以在上一致連續(xù).</p><p>　　定理2.3.1.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導，其導數(shù)在區(qū)間上有界，則在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p>　　證明：因為在區(qū)間

21、上有界，則存在正數(shù)，對任意，有.對任給的，取，對任何只要，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中在之間，所以在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p>　　定理2.3.1.4 設(shè)函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件：在內(nèi)連續(xù)，且存在且有限.</p><p>　　證明：（1）先證在上一致連續(xù).</p&g

22、t;<p>　　因為（有限），則對任給的，存在正數(shù)，使得對任意的，就有.又因為在上連續(xù)，則在上一致連續(xù)，即對上述，存在，對任何，有.于是對任何，只要或，就有，所以在上一致連續(xù).</p><p>　　同理可證明在上一致連續(xù).</p><p>　　推論1 在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件：在內(nèi)連續(xù)，且與存在且有限.</p><p>　　推論2 在內(nèi)一致連續(xù)的充分

23、條件：在內(nèi)連續(xù)，且存在且有限.</p><p>　　推論3 函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且都存在.</p><p>　　推論4 函數(shù)在上一致連續(xù)的充分條件是在上連續(xù)且和都存在.</p><p>　　定理2.3.1.5 若對于定義在區(qū)間上的函數(shù)和,,,</p><p>　　有成立,而在上一致連續(xù),則在上也一致連續(xù).</p&g

24、t;<p>　　證明 對于任給，由于在上一致連續(xù)，所以,使得對于,只要,就有成立.故對于上述，結(jié)合已知條件有</p><p><b>　　=成立，</b></p><p>　　從而可知在上一致連續(xù).</p><p>　　推論6 若函數(shù)在區(qū)間上滿足下述Lipschitz條件,即,,,有成立,則在上一致連續(xù).</p>

25、<p>　　定理2.3.1.6 設(shè)在上連續(xù)，且當時，以為漸近線，即，則在上一致連續(xù).</p><p>　　證明：已知，則由柯西收斂準則給的，存在正數(shù)，使得對任意的，就有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　

26、　所以，</b></p><p><b>　　不妨設(shè)，則.</b></p><p>　　取，于是，存在正數(shù)，，當時有 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　又已知：在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)，對上述，存在，，當時，有，取 </p><

27、p><b>　　=，</b></p><p>　　則當且時，則可同屬于無論哪部分都有 </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以在上一致連續(xù).</b></p><p>　　2.3.2函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充要條件</p>&

28、lt;p>　　定理2.3.2.1 　若在區(qū)間上有定義,則在上一致連續(xù)的充要條件是.</p><p>　　證明　(1)必要性:因在區(qū)間上一致連續(xù),則對任給的,存在,對任何,只要，就有，從而，故當時，.所以.</p><p>　　充分性：由知，對任給的,存在,對任何，只要，就有，取整數(shù)，當，時，，所以函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).</p><p>　　定理3.2.2

29、函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充要條件為對任給的，對存在，當，有.</p><p>　　定理3.2.3 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的充要條件是：在區(qū)間上滿足的兩個數(shù)列必有</p><p><b>　　2.4 應(yīng)用舉例</b></p><p>　　例 2.4.1： 證明：在上一致連續(xù).</p><p>　　證明：=，在上成立不等式&

30、lt;/p><p>　　|－|≤|－|≤|，</p><p>　　Lipthitz 條件，從而在上一致連續(xù)。又在連續(xù)，由Cantor定理在一致連續(xù)。綜上所述，在上一致連續(xù)。</p><p>　　應(yīng)用：我們利用Cantor定理還可以得到較為實用的判定方法。</p><p>　　設(shè)=,在上連續(xù)，，則在上一致連續(xù)。</p><p&g

31、t;　　證：因為，由Cauthy準則知，對</p><p>　　|| （1）</p><p>　　又由于在有Cantor定理知在故對上述的且||，有 </p><p>　　|| （2）</p><p>　　取，則對||均有||

32、，有一致連續(xù)性定義，在，命題得證。</p><p>　　例2.4.2 函數(shù)</p><p>　　問：在上是否一致連續(xù)？</p><p>　　解: 在上非一致連續(xù).</p><p>　　顯然,在上連續(xù)，且.且</p><p>　　收斂.但故.從而可知在上非一致連續(xù).</p><p>　　例2.

33、4.3 用定義證明在上一致連續(xù).</p><p>　　證明：令=，先證在上一致連續(xù).</p><p><b>　　設(shè)且,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　取，當且時，有</b></p><p><b>

34、;　　.</b></p><p><b>　　即證在上一致連續(xù).</b></p><p>　　例2.4.4 設(shè)，證明在上一致連續(xù).</p><p>　　解題思路一：若考慮到的有界性及結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)此題可以用定義證明，但是證明過程比較繁瑣.</p><p><b>　　證明:對任何的</b&

35、gt;</p><p><b>　　則</b></p><p>　　解題思路二：若考慮函數(shù)導函數(shù)的有界性，因為</p><p><b>　　=,</b></p><p>　　則由命題2.2.1方法可證.</p><p>　　證明：由題意，因為在上連續(xù)，所以對任意的，有：<

36、;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又因為</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而由函數(shù)一致連續(xù)的定義，對人給的，存在，使得對任何

37、</p><p>　　，只要，就有： </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　解題思路三：假設(shè)沒有考慮到導數(shù)

38、有界，從區(qū)間考慮，是無窮區(qū)間，且含有限端點1，考慮，則由命題2.2.4方法可證.</p><p>　　證明：因為在上連續(xù)，且，所以在上一致連續(xù).</p><p>　　例2.4.5 設(shè)，證明在上一致連續(xù)。</p><p>　　分析 解題思路一：由于在上是有界的及這個函數(shù)的一致連續(xù)性，所以可以用定義證明；</p><p>　　解題思路二：假

39、設(shè)沒有考慮到用定義證明，由于不是周期函數(shù)，考慮導數(shù)</p><p>　　是否有界？由于對任意，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則由命題2.2.1可證.</p><p><b>　　證明:，在上，</b></p><p><b>　　，

40、</b></p><p>　　即在上有界，從而由定理2.3.1.5可證.</p><p>　　解題思路三：若考慮導數(shù)有界有一定的困難，可按照流程圖往下考慮，又因為比較容易考慮，所以可以由命題2.2.6證明.</p><p>　　解題思路四：利用定理2.3.1.3,</p><p>　　設(shè)，因為，在上有界，所以在上一致連續(xù).<

41、/p><p><b>　　函數(shù)在上連續(xù)，且有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則在上一致連續(xù).</b></p><p>　　例2.4.6 設(shè)，證明在上一致連續(xù).</p><p>　　解題思路：由于在上是一致連續(xù)的

42、，故考慮在上一致連續(xù)，顯然不是周期函數(shù)，但也不容易求出，不妨考慮在和時的極限，由于,</p><p>　　則由命題2.2.3和命題2.2.4可證.</p><p>　　例2.4.7 證明在上一致連續(xù).</p><p>　　分析 解題思路一：由于</p><p>　　可以考慮把區(qū)間分為，在上無界，但連續(xù)，由定理2.3.1.1可知在上一致

43、連續(xù)，在上，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　可由定義證明在上一致連續(xù)，由命題2.2.5可知在上一致連續(xù)。</p><p>　　解題思路二：若考慮函數(shù)導數(shù)，因為在上無界，可以考慮把區(qū)間分成，在上一致連續(xù)，在上有界，由命題2.2.1可知，在上一致連續(xù)，由命題2.2.5可知在上一致連續(xù)。 </p><

44、p><b>　　3.函數(shù)非一致連續(xù)</b></p><p>　　3.1函數(shù)非一致連續(xù)的定義</p><p>　　設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對任給的，存在，當，時，有，則稱函數(shù)在上非一致連續(xù).</p><p>　　3.2 函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的判定方法</p><p>　　關(guān)于在區(qū)間上非一致連續(xù)的判定方法，從函數(shù)的

45、一致連續(xù)的充要條件中，可以得出其中的反問題，因此主要有以下三種方法來判定非一致連續(xù)：</p><p>　?。?）非一致連續(xù)的定義.</p><p>　　（2）在區(qū)間上非一致續(xù)的充要條件是與至少有一個不存在.</p><p>　?。?）在區(qū)間上非一致連續(xù)的充要條件:在區(qū)間上的兩數(shù)列，滿足，必有.</p><p>　　假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù),則

46、對于任意,存在,（不妨設(shè)）, 對于任意, 且當時,成立.又因為收斂,故對上述的,必存在，當,時,有,</p><p>　　，總存在,使且,于是有:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　,</b></p

47、><p>　　于是, ,,當時,有,即與矛盾,所以假設(shè)不成立, 從而在區(qū)間上非一致連續(xù).</p><p>　　定理3.2.1 函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)的充要條件是在上存在兩個數(shù)列，使，但當使，.</p><p>　　證明 （1）必要性，因為在區(qū)間上非一致連續(xù)，則存在，取，存在數(shù)列當時，有，即當時，.</p><p>　　充分性：若在區(qū)間上一致連

48、續(xù)，則對任給的，存在,對任意只要，就有.又因為，則對上述，存在，對任何的，有，所以，即，這與已知矛盾.所以在區(qū)間上非一致連續(xù).</p><p><b>　　3.3 應(yīng)用舉例</b></p><p>　　例3.3.1 證明在區(qū)間上一致連續(xù)（M為任意整數(shù)），在上非一致連續(xù).</p><p><b>　　分析 利用定義.</b>

49、;</p><p>　　證明 ，，使得，，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在區(qū)間上一致連續(xù)（為任意整數(shù)）.</p><p>　　在上取兩個數(shù)列,但是</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以在上非

50、一致連續(xù).</p><p>　　例3.3.2 證明函數(shù)①；②在上非一致連續(xù).</p><p>　　證明 （1）在上取兩個數(shù)列.</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　但</b></p><p><b>　　.</b>&l

51、t;/p><p>　　由定理2.3.1.4知函數(shù)在上非一致連續(xù).</p><p><b>　　在上取兩個數(shù)列.</b></p><p><b>　　但</b></p><p>　　由定理3.3.4知，在上非一致連續(xù). </p><p>　　例3.3.3 設(shè)在上連續(xù)，且處處不為，

52、證明在上一致連續(xù).</p><p>　　分析 利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，同時掌握定理2.3.1.5和一致連續(xù)定義的靈活應(yīng)用.</p><p>　　證明 在上連續(xù)，則在上一致連續(xù).</p><p>　　故，對任意的，只要，就有 </p><p><b>　　.</b></p><p>&l

53、t;b>　　在上連續(xù)，所以使</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此，在上一致連續(xù).</p><p><b>　　【參考文獻】</b></p><p>　　[1]歐陽光中,數(shù)學分析[M]．上海：復(fù)旦大學出版社 1992:153~167.</p

54、><p>　　[2]王向東．數(shù)學分析的概念與方法[M]．上海：上?？萍汲霭嫔?1994:84~86.</p><p>　　[3]華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析( 上冊第三版) 〔M〕． 北京: 高等教育出版社，2006:82~84.</p><p>　　[4]舒斯會． 數(shù)學分析選講〔M〕．北京: 北京大學出版社，2007:102~104.</p><

55、p>　　[5]楊傳林． 數(shù)學分析解題思想與方法〔M〕． 杭州: 浙江大學出版社，2008 :</p><p><b>　　162~165.</b></p><p>　　[6]裴禮文． 數(shù)學分析中的典型問題與方法〔M〕． 北京: 高等教育出版社，2004:123~128.</p><p>　　[7]錢吉林． 數(shù)學分析題解精粹〔M〕． 武漢:

56、 崇文書局，2003:84~88.</p><p>　　[8]劉玉鏈 ,傅沛仁.數(shù)學分析(第 3 版) [M] . 北京:高等教育出版社 ,1991: 54~56. </p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　歷時將近兩個月的時間，我終于將這篇《函數(shù)一致連續(xù)的證明》論文寫完了，在論文的寫作過程中雖然遇到了無數(shù)的困

57、難和障礙，但是還是在同學和老師的幫助下完成了這篇論文。</p><p>　　通過寫這篇論文，讓我深深地體會到了學術(shù)研究的嚴密性，應(yīng)該說數(shù)學的研究更是這樣，我所寫的論文題目是函數(shù)一致連續(xù)的證明技巧，本來是沒有什么新穎的東西可以寫，但是我依然決定從實際出發(fā)，不斷的翻閱資料，總結(jié)了許多函數(shù)一致連續(xù)的證明方法，而且還給出了函數(shù)一致連續(xù)的證明流程圖。在寫的過程中，我還總結(jié)了很多證明函數(shù)一致連續(xù)的命題、定理，給讀者可以提供更

58、方便快捷的證明思路。這也是我感覺到無比有成就感的地方。</p><p>　　最后，尤其要強烈感謝我的論文指導老師—許老師，感謝他的無私的指導和幫助，不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進。另外，在校圖書館查找資料的時候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導過我的各位老師表示最衷心的感謝。感謝這篇論文所涉及到的各位學者。本文引用了數(shù)位學者的研究文獻，如果沒有各位學者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將