基于matlab的fir低通濾波器設(shè)計畢業(yè)論文

1、<p>　　本科畢業(yè)設(shè)計(論文)</p><p><b>　　(2012屆)</b></p><p>　　論文題目 基于Matlab的FIR低通濾波器設(shè)計</p><p>　　(英文) Design of FIR Low-pass Digital</p><p>　　Filter Based o

2、n Matlab </p><p>　　所在學院 電子信息學院 </p><p>　　專業(yè)班級 </p><p><b>　　學生姓名 </b></p><p><b>　　指導教師 </b></p><

3、p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分，由于FIR數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位，因此在信息的采集和處理過程中得

4、到了廣泛的應(yīng)用。本文介紹了FIR數(shù)字濾波器的概念和線性相位的條件，分析了窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器的思路和流程。在分析三種設(shè)計方法原理的基礎(chǔ)上，借助Matlab仿真軟件工具箱中的fir1、fir2和remez子函數(shù)分別實現(xiàn)窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器。仿真結(jié)果表明，在相頻特性上，三種方法設(shè)計的FIR濾波器在通帶內(nèi)都具有線性相位；在幅頻特性上，相比窗函數(shù)法和頻率采樣法，等波紋逼近法設(shè)計FIR濾

5、波器的邊界頻率精確，通帶和阻帶衰減控制。</p><p>　　關(guān)鍵詞：FIR數(shù)字濾波器；窗函數(shù)法；頻率采樣法；等波紋逼近法；Matlab</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In a digital signal, there will be some interference signal which s

6、ystem does not needed often. So we need to use digital filtert to filter the signal to extract the useful signal. FIR digital filter is an important component of digital filter.As the FIR digital filter’s linear phase re

7、sponse is required, it have been widely used in information collection and processing. This paper introduced the concept of FIR digital filters and the general idea of the design, Introducting and compareding the </p&

8、gt;<p>　　Key Words:FIR digital filters，Window function，F(xiàn)requency sampling，Equiripple approximation method，Matlab</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1　引言1</b></p&

9、gt;<p>　　2　FIR數(shù)字濾波器線性相位條件2</p><p>　　2.1 FIR數(shù)字濾波器概述2</p><p>　　2.2 FIR數(shù)字濾波器線性相位定義3</p><p>　　2.3 FIR數(shù)字濾波器線性相位時域約束條件3</p><p>　　3　FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法5</p><p&

10、gt;　　3.1 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法5</p><p>　　3.1.1 窗函數(shù)設(shè)計法的設(shè)計思路5</p><p>　　3.1.2 吉布斯效應(yīng)7</p><p>　　3.1.3 常見窗函數(shù)介紹7</p><p>　　3.2 FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計法10</p><p>　　3.2.1

11、頻率采樣法的基本思路10</p><p>　　3.2.2 頻率采樣法的設(shè)計步驟11</p><p>　　3.3 FIR數(shù)字濾波器的等波紋逼近設(shè)計法13</p><p>　　3.4 不同設(shè)計方法的比較16</p><p>　　4 基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計17</p><p>　　4.1 Mat

12、lab簡介17</p><p>　　4.2 窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn)18</p><p>　　4.2.1 fir1函數(shù)介紹18</p><p>　　4.2.2 基于fir1函數(shù)的窗函數(shù)法FIR濾波器設(shè)計18</p><p>　　4.3 頻率采樣法的Matlab實現(xiàn)21</p><p>　　4.4 等波紋

13、逼近法的Matlab實現(xiàn)22</p><p><b>　　5 結(jié)論24</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　1　引言</b></p>&l

14、t;p>　　隨著信息科學和計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)字信號處理(DSP，Digital Signal Processing)的理論和技術(shù)也得到了飛速的發(fā)展，并逐漸成為一門重要的學科，它的重要性在日常通信、圖像處理、遙感、聲納、生物醫(yī)學、地震、消費電子、國防軍事、醫(yī)療方面等顯得尤為突出。在我們面臨的信息革命中，數(shù)字信號處理幾乎涉及了所有的工程技術(shù)領(lǐng)域[1]。</p><p>　　數(shù)字信號處理是一種將信號以數(shù)字形

15、式進行處理的一種理論和技術(shù)，它的目的是將真實世界中的一些信號進行分析并濾波，最后得出其中的有用的信號。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的一種，一般根據(jù)單位脈沖響應(yīng)h(n)分為無限脈沖響應(yīng)(IIR)和有限脈沖響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法簡單，特別是采用雙線性變換法來設(shè)計的數(shù)字濾波器不存在頻域混疊的現(xiàn)象，但是IIR濾波器存在一個較為明顯的缺憾，就是它的相位響應(yīng)一般都是非線性的，而在傳輸頻帶內(nèi)的相位響應(yīng)如果不是線性的，就會造成有用信

16、號的傳輸失真，而FIR數(shù)字濾波器不僅可以設(shè)計成任意的幅度響應(yīng)，而且可以設(shè)計成在通頻帶內(nèi)具有良好的線性相位響應(yīng)。FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)有限長，所以FIR數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，不存在穩(wěn)定性的問題，且可以通過快速傅里葉變換(FFT)的算法來實現(xiàn)信號濾波，大大的提高的運算效率。因此，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器日益引起了人們的關(guān)注。</p><p>　　FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有很多，比較常用的有窗函數(shù)設(shè)計法、頻率采

17、樣設(shè)計法、等波紋逼近法等。本課題通過運用窗函數(shù)設(shè)計法、頻率采樣設(shè)計法和等波紋逼近法來設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器，并實現(xiàn)對給定的信號進行濾波比較。其中窗函數(shù)設(shè)計法是最基本的數(shù)字濾波方法，是利用傅里葉反變換(IDTFT)計算給定的頻響的理想單位脈沖響應(yīng)，再加以窗函數(shù)進行截斷和平滑。等波紋逼近法又稱切比雪夫逼近法，是一種最小化最大誤差的頻域逼近方法[2]。Matlab軟件的信號處理工具箱提供了FIR數(shù)字濾波器設(shè)計的子函數(shù)，運用Matlab軟件設(shè)

18、計可以避免繁雜的數(shù)學運算，而且具有豐富的繪圖功能，可以方便地查看所設(shè)計的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)是否滿足設(shè)計要求。因此，本課題在理論分析各種FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法的基礎(chǔ)上，運用Matlab軟件進行仿真分析。</p><p>　　2　FIR數(shù)字濾波器線性相位條件</p><p>　　2.1 FIR數(shù)字濾波器概述</p><p>　　一般來說一個經(jīng)典的數(shù)字濾波器

19、是一個線性時不變系統(tǒng)，其數(shù)學模型可以用Z域系統(tǒng)函數(shù)來表示：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中均為濾波器參數(shù)。</p><p>　　在（2-1）中，當值不全為零值時，Z域系統(tǒng)函數(shù)的必定含有一個或一個以上的極值點，此時單位脈沖響應(yīng)為無限長，對于一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器來說，Z域系統(tǒng)函數(shù)必須在單位圓內(nèi)，因而把含有極

20、值點的Z域系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)字濾波器稱為無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(Infinite Impulse Response)，即IIR數(shù)字濾波器。</p><p>　　而當值全為零時，Z域的系統(tǒng)函數(shù)只有一個零點，（2-1）表示的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　公式（2-2）表明，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是

21、的階多項式，在有限平面上有個零點，而在平面原點處有階極點。</p><p>　?。?-2）式表示的系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)可以表示為：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　在（2-3）中，只有當，才有非零值，所以數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)是有限長的，因此在數(shù)字信號處理中把這種數(shù)字濾波器稱為有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器(Finit

22、e Impulese Response)，即FIR數(shù)字濾波器。</p><p>　　FIR數(shù)字濾波器最突出的兩個優(yōu)點是：</p><p>　　（1）只要對附加一定的條件，就很容易獲得嚴格的線性相位。</p><p>　?。?）由于的極點位于原點處，所以FIR數(shù)字濾波器不存在穩(wěn)定性問題。</p><p>　　2.2 FIR數(shù)字濾波器線性相位定義

23、</p><p>　　設(shè)FIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)的長度為N，則其頻率響應(yīng)可以表示為：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　上式通過歐拉恒等式展開可得到的相位特性，有兩種線性相位特性，通常稱為第一類線性相位和第二類線性相位。</p><p>　　第一類線性相位特性：</p>&

24、lt;p><b>　　是一個與無關(guān)的常數(shù)</b></p><p>　　第二類線性相位特性：</p><p><b>　　是起始相位</b></p><p>　　嚴格地說第二種情況時的是不具有線性相位特性的，但上述兩種情況都滿足群延遲是一個常數(shù)，仍可以視為具有線性相位的，在第二類線性相位中是常用的一種情況。</p

25、><p>　　2.3 FIR數(shù)字濾波器線性相位時域約束條件</p><p>　　對于第一類線性相位，即，通過一系列的運算整理之后可得到一個三角函數(shù)求和公式：</p><p><b>　　（2-5）</b></p><p>　　式中正弦函數(shù)為奇對稱，當時，對稱中心為，需要滿足關(guān)于偶對稱，即要求：</p><

26、p>　　， （2-6）</p><p>　　對于第二類線性相位，即時，通過運算得到公式：</p><p><b>　　（2-7）</b></p><p>　　函數(shù)為偶對稱，當時，對稱中心也為。若要使上式成立，則要使關(guān)于奇對稱，即要求：</p><p>　　，

27、 （2-8）</p><p>　　從上述分析看來，線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域約束條件是指滿足線性相位時對的約束條件，對于第一類線性相位，沖激響應(yīng)h(n)滿足（2-6）式；對于第二類線性相位，沖激響應(yīng)h(n)滿足（2-8）式[3-5]。</p><p>　　3　FIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法</p><p>　　FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有窗

28、函數(shù)設(shè)計法、頻率采樣設(shè)計法以及等波紋逼近設(shè)計法三種，其中窗函數(shù)設(shè)計法是最常用的，其次是頻率采樣法，但這兩種方法在設(shè)計中還會存在一些不足之處，所以需要優(yōu)化的設(shè)計方法，而等波紋逼近法很好的彌補了窗函數(shù)法和頻率采樣法的不足[6-7]。</p><p>　　3.1 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法</p><p>　　3.1.1 窗函數(shù)設(shè)計法的設(shè)計思路</p><p>　　

29、窗函數(shù)設(shè)計法是FIR數(shù)字濾波器里最簡單的一種設(shè)計法，又叫傅里葉級數(shù)法，為了設(shè)計簡單方便，通常選擇所希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為具有片段常數(shù)特性的理想濾波器，尋找一組，確定其頻率響應(yīng)，然后用來逼近[1]。窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器是在時域中進行的，那么可以通過傅里葉反變換得到得到頻率響應(yīng)，即：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　在實際

30、中，一般是處于逐段恒定的，在邊界頻率處有不連續(xù)點，因而單位脈沖響應(yīng)是無限長的非因果序列，不能直接作為FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，因此需要對進行階段，轉(zhuǎn)換為有限長的一段因果序列，也就是用一個有限長度的窗函數(shù)序列來截取，即，并將非因果序列轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€因果序列。截取的長度和加權(quán)窗函數(shù)的形狀都直接影響到逼近精度。</p><p>　　窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器過程如圖3-1所示：</p><p>

31、　　圖3-1 窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器流程</p><p>　　以截止頻率為，相位為零的理想低通濾波器為例，其頻率特性為：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　通過傅里葉反變換得到對應(yīng)的為：</p><p><b>　　（3-3）</b></p><

32、;p>　　此時的是一個無限長的非因果序列，我們需要對其進行截斷，變成一個有限長的因果序列?？梢韵劝严蛴移揭苽€點，得到為：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　相應(yīng)的傳輸函數(shù)為： </p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　然后對截取從0

33、到的N個點，N為窗函數(shù)的長度，所得的結(jié)果表示為：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　表示窗函數(shù)，一般用下標來表示窗函數(shù)的類型，矩形窗記為。</p><p>　　3.1.2 吉布斯效應(yīng)</p><p>　　用窗函數(shù)對進行直接截斷，得到有限長序列，并以代替，肯定會引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通

34、常所說的吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。對于一個在有限區(qū)間分布的信號，其連續(xù)頻譜在頻域上分布往往是無限的，而在實際信號處理時，我們通常只能在有限的區(qū)間內(nèi)做傅里葉分析，也就是說，我們只能用有限區(qū)間來代替理論分析中的無限區(qū)間，多數(shù)情況下，我們總是選擇信號的低頻部分，而舍棄高頻部分。而信號的高頻部分往往是反應(yīng)信號快速變化特征，如果信號本身是連續(xù)的，這樣做一般不會引起信號的顯著變化，但實際中的信號往往是比較豐富的，特別是信號本身存在劇烈變化的，這樣做

35、必定會引起一些誤差。該誤差引起過渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動[8]。為了減小吉布斯效應(yīng)帶來的影響，需要調(diào)整窗口的長度來控制過渡帶的寬度，但要減小帶內(nèi)的波動以及增大阻帶衰減，還需要從窗函數(shù)的形狀上尋找解決方法。</p><p>　　為了減少序列因截斷而產(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)，窗函數(shù)在設(shè)計時需要注意：</p><p>　　(1)頻率特性的主瓣要盡可能的窄，并且盡量把能量都集在主瓣內(nèi)。</

36、p><p>　　(2)窗函數(shù)頻率特性的旁瓣趨于的過程中，其能量迅速減小為零。</p><p>　　3.1.3 常見窗函數(shù)介紹</p><p>　　常見的窗函數(shù)有矩形窗（Rectangle Window）、三角形窗（Bartlerr Window）、漢寧（Hanning）窗——升余弦窗、哈明（Hamming）窗——改進的升余弦窗、布萊克曼（Blackman）窗、凱塞—貝塞

37、爾窗（Kaiser-Basel Window）。</p><p><b>　　矩形窗的窗函數(shù)為：</b></p><p><b>　?。?-7）</b></p><p><b>　　其頻譜的幅度函數(shù)為</b></p><p><b>　?。?-8）</b>

38、</p><p>　　矩形窗的主瓣寬度為，用矩形窗設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶寬度近似為。</p><p>　　三角形窗的窗函數(shù)為：</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p><b>　　其頻譜的幅度函數(shù)為</b></p><p><b>　

39、　（3-10）</b></p><p>　　三角窗的主瓣寬度為。</p><p><b>　　漢寧窗窗函數(shù)為</b></p><p><b>　　（3-11）</b></p><p>　　漢寧窗的頻譜的幅度函數(shù)為</p><p><b>　?。?-12）

40、</b></p><p>　　漢寧窗的主瓣寬度為，漢寧窗在其兩個端點都為零，實際中這兩個端點的數(shù)據(jù)是不可用的。</p><p><b>　　哈明窗的窗函數(shù)為</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　　其幅度函數(shù)為</b>&

41、lt;/p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　哈明窗是一種改進的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一種高效的窗函數(shù)，主瓣寬度與漢寧窗的相同。</p><p><b>　　布萊克曼窗窗函數(shù)為</b></p><p><b>　?。?-15）</b></p

42、><p><b>　　其頻譜的幅度函數(shù)為</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　該窗函數(shù)位移不同，幅度函數(shù)也不同，會使旁瓣進一步抵消，主瓣寬度為。</p><p>　　凱塞窗是一種最優(yōu)窗函數(shù)，不同于前面五種窗函數(shù)，凱塞窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)，其函數(shù)形式如下：&l

43、t;/p><p><b>　　（3-17）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　一般取15-25項可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般越大，主瓣越寬，而旁瓣幅度會隨之減小，典型的數(shù)據(jù)在4到9

44、之間。</p><p>　　各種窗函數(shù)的性能比較如表3-1所示：</p><p>　　表3-1 不同窗函數(shù)性能比較</p><p><b>　　續(xù)表3-1</b></p><p>　　雖然窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計思路簡單，但是它的邊界頻率不容易控制，而且窗函數(shù)還有吉布斯效應(yīng)，需要選擇不同的窗函數(shù)來減小吉布斯效應(yīng)對結(jié)果的影響，但無

45、論哪種窗函數(shù)，都無法很好的解決這一問題，所以我們需要通過其他的設(shè)計方法來進行濾波，便于滿足實際工程中的不同要求。</p><p>　　3.2 FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計法</p><p>　　3.2.1 頻率采樣法的基本思路</p><p>　　窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)來設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的，而頻率采樣法是從頻域出發(fā)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的。和窗函數(shù)設(shè)計法相同

46、，頻率采樣法也需要預(yù)先構(gòu)造一個希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)，對其加以等間隔采樣后，作為FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。對在到之間等間隔采樣點，得到頻率采樣值：</p><p><b>　?。?-19）</b></p><p>　　再對進行點IDFT，得到：</p><p><b>　?。?-20）</b></p>

47、<p>　　將作為所涉及的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)為為</p><p><b>　?。?-21）</b></p><p>　　由于濾波器頻率響應(yīng)是理想的，即有間斷點，那么其單位沖激響應(yīng)是無限長的。這樣，由于時域混疊，引起所設(shè)計的h(n)和有偏差。</p><p>　　因此，采樣點處與相等，逼近誤差為0，而在采樣點之

48、間，由有限項的之和形成。其誤差和特性的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑誤差愈??；特性曲線間斷點處，誤差越大。誤差表現(xiàn)形式為間斷點用傾斜線取代，且間斷點附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，往往不能滿足實際工程中的技術(shù)要求。當然，增大N值，可以減小逼近誤差，但間斷點附近誤差仍然最大，且N太大會增加濾波器級數(shù)與成本。提高阻帶衰減最有效的方法是在頻響間斷點附近區(qū)間內(nèi)插一個或幾個過渡采樣點，使不連續(xù)點變成緩慢過渡。</p><p>

49、　　過渡帶采樣點個數(shù)與阻帶最小衰減的關(guān)系以及使阻帶最小衰減最大化的每個過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。其基本思路是將過渡帶采樣值設(shè)為一個自由量，用一種優(yōu)化算法改變它們，最終使阻帶最小衰減最大。將過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減的經(jīng)驗數(shù)據(jù)列于表3-2中，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減，選擇過渡帶采樣點的個數(shù)m。</p><p>　　表3-2 過渡帶采樣點的個數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減的經(jīng)驗數(shù)據(jù)</p

50、><p>　　3.2.2 頻率采樣法的設(shè)計步驟</p><p>　　首先根據(jù)阻帶最小衰減按照表3-2選擇過渡帶采樣點的個數(shù)，再確定過渡帶寬度，估算頻域采樣點數(shù)，如果增加個過渡帶采樣點，則過渡帶寬度近似變成。當確定時，過渡帶會隨著的增大而變寬。如果給定的過渡帶寬度為，則要求，濾波器的長度必須滿足以下公式：</p><p><b>　?。?-22）</b&g

51、t;</p><p>　　接著，構(gòu)造一個希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)：</p><p><b>　?。?-23）</b></p><p>　　設(shè)計標準型片段常數(shù)特性的FIR數(shù)字濾波器時，一般構(gòu)造幅度特性函數(shù)為相應(yīng)的理想頻響特性，且滿足的對稱情況。</p><p>　　對（3-23）進行頻域采樣：</p><

52、p><b>　　（3-24）</b></p><p><b>　?。?-25）</b></p><p>　　并加入過渡帶采樣。過渡帶采樣值一般為經(jīng)驗值，或者用累試法確定，也可以采用優(yōu)化算法估算。</p><p>　　對進行點IDFT，得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)：</p><p

53、><b>　　（3-26）</b></p><p>　　圖3-2 頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器流程</p><p>　　最后檢驗設(shè)計結(jié)果，如果阻帶最小衰減未達到指標要求，則要改變過渡帶的采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾波器的邊界頻率未達到指標要求，則需要微調(diào)的邊界頻率。頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器流程如圖3-2所示。</p><p>　　

54、頻率采樣法最大的優(yōu)點就是直接從頻率進行設(shè)計，比較直觀，也適合于設(shè)計具有任意幅度特性的濾波器。但是頻率采樣法在邊界頻率不容易控制，如果采樣點數(shù)N增加，對確定邊界頻率有好處，但同樣會增加了濾波器的成本，因此只適合窄帶濾波，且這種設(shè)計方法理解起來比較困難。</p><p>　　3.3 FIR數(shù)字濾波器的等波紋逼近設(shè)計法</p><p>　　窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣設(shè)計法雖然設(shè)計方法簡單，但都存在濾

55、波器邊緣頻率不易精確控制缺點，且這兩種設(shè)計方法設(shè)計出來的濾波器的通帶和阻帶的波動幅度都是相等的，兩種設(shè)計方法都不能分別控制通帶和阻帶的波動幅度，而現(xiàn)實工程中往往對二者都有不同的要求，需要分別進行控制。</p><p>　　等波紋逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計方法，它克服了窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣法的缺陷，是最大誤差最小化設(shè)計方法，并在整個逼近頻段上均勻分布。</p><p>　　設(shè)為希望逼近的幅度特性

56、函數(shù)，且要求設(shè)計線性相位的FIR數(shù)字濾波器時，必須滿足線性相位約束條件。用表示實際設(shè)計的幅度特性函數(shù)，定義加權(quán)誤差函數(shù)為</p><p><b>　?。?-27）</b></p><p>　　式中，，被稱為誤差加權(quán)函數(shù)，是由設(shè)計者定義的，用來控制不同頻段的逼近精度。經(jīng)過推導可把統(tǒng)一標示為：</p><p>　　式中，是系數(shù)不同的余弦組合式，記；

57、是不同的常數(shù)，在設(shè)計FIR濾波器時存在四種線性相位，當且奇對稱時，N為奇數(shù)，為1；N為偶數(shù)時，為；而當偶對稱時，不管N為奇數(shù)還是偶數(shù)，都取。</p><p>　　圖3-3 remez算法搜索最佳頻率點流程</p><p>　　等波紋逼近的問題就是選擇N個系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差的最大值最小。</p><p>　　設(shè)定誤差加權(quán)函數(shù)、通帶波紋峰值δ及N+1個初始頻率ωi

58、,i=0,1,2,…N，計算各個頻率點上的加權(quán)誤差函數(shù)值，如果這些加權(quán)誤差函數(shù)值小于等于給定的通帶波紋峰值δ，則為最佳頻率點；如果某個頻率點上的加權(quán)誤差函數(shù)值大于給定的通帶波紋峰值δ，就用Remez算法更新迭代查找最佳頻率點。找到最佳頻率點后，計算系數(shù)及。Remez算法搜索最佳頻率點流程如圖3-3所示。</p><p>　　借助Remez算法來設(shè)計等波紋的FIR數(shù)字濾波器的步驟如下：</p><

59、;p>　　給出所需的頻率響應(yīng)、誤差加權(quán)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)的長度N，根據(jù)具體情況，進行統(tǒng)一表達式的轉(zhuǎn)換；設(shè)定初始頻率點和通帶波紋值，采用Remez算法計算最佳頻率點組，由最佳頻率點組計算及系數(shù)，根據(jù)求出的的表達式再利用傅里葉逆變換求得濾波器的單位脈沖響應(yīng)。用等波紋逼近法設(shè)計線性相位FIR濾波器的流程如圖3-4所示：</p><p>　　圖3-4 等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器流程</p><

60、p>　　利用等波紋逼近法設(shè)計FIR濾波器，其誤差均勻分布在頻帶中，可以得優(yōu)良的濾波特性，它在同樣過渡帶較窄的情況下，通帶最穩(wěn)定，阻帶有最大化的最小衰減。</p><p>　　3.4 不同設(shè)計方法的比較</p><p>　　窗函數(shù)設(shè)計法是這三種設(shè)計法里操作最簡單的，但是窗函數(shù)的設(shè)計階數(shù)相對其他兩種更多，如果降低了設(shè)計的階數(shù)，則最后得到的設(shè)計結(jié)果往往不能達到實際設(shè)計的要求和指標，除矩形

61、窗之外，其他窗可以滿足一般的設(shè)計指標，但在要求精度較高的時候，窗函數(shù)設(shè)計往往不能很好的達到要求。</p><p>　　頻率采樣法設(shè)計濾波器相對于窗函數(shù)，其階數(shù)稍微比窗函數(shù)要少，但要通過優(yōu)化過渡帶的采樣點取值來控制阻帶的波紋幅度，所以并不能很好的滿足工程中的要求。</p><p>　　而等波紋逼近法是這三種方法中階數(shù)最少的，且通帶最大衰減是最小的，阻帶衰減最大。</p><

62、;p>　　4 基于Matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計</p><p>　　4.1 Matlab簡介</p><p>　　Matlab 是MATrix  LABoratory（“矩陣實驗室”）的縮寫，是由美國MathWorks 公司開發(fā)的集數(shù)值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體的，功能強大、操作簡單的語言。Matlab是國際公認的優(yōu)秀

63、數(shù)學應(yīng)用軟件之一。它集中了日常數(shù)學處理中的各種功能，包括高校的數(shù)值計算、矩陣運算、信號處理和圖像生成等功能。在Matlab環(huán)境下，用戶可以進行程序設(shè)計、數(shù)值計算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項操作。除此之外，Matlab易于擴充。除內(nèi)部函數(shù)外，所有Matlab的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可修改源文件和加入自己的文件，它們可以與庫函數(shù)一樣被調(diào)用[9]。</p><p>　　Matlab是一種

64、矩形運算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，著重針對科學計算、工程計算和繪畫的需求，與其他機器語言相比，其特點是簡單和智能化，適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式和書寫習慣，使得編程和調(diào)試效率大大提高。</p><p>　　Matlab由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用Matlab的函數(shù)和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括Matlab桌面、命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件

65、的瀏覽器。隨著Matlab的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級，Matlab的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標準界面，人機交互性更強，操作更簡單。Matlab自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來，并且可以對圖形進行標注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和表達式作圖，可用于科學計算和工程繪圖。</p><p>　　Matlab具有功能強大的工具箱，工具

66、箱可分為兩類：功能性工具箱和學科性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充其符號計算功能、圖示建模仿真功能、文字處理功能以及與硬件實時交互的功能。而學科性工具箱是專業(yè)性比較強的，如優(yōu)化工具箱、統(tǒng)計工具箱、控制工具箱、小波工具箱、圖象處理工具箱、通信工具箱等。</p><p>　　4.2 窗函數(shù)法的Matlab實現(xiàn)</p><p>　　Matlab信號處理工具箱提供了基于加窗的線性相位FIR濾波器

67、設(shè)計函數(shù)fir1。</p><p>　　4.2.1 fir1函數(shù)介紹</p><p>　　fir1調(diào)用格式為：b=fir1(n, Wc,'ftype',window)</p><p><b>　　函數(shù)參數(shù)說明如下：</b></p><p>　　1.n表示濾波器的階數(shù)</p><p>

68、;　　2. Wc為濾波器的歸一化截止頻率，它是一個大于0小于1的一個數(shù)</p><p>　　3.'ftype'表示所設(shè)計濾波器的類型，如果ftype=high，則表示高通濾波器，如果ftype=stop，則表示帶阻濾波器，如果此時沒有參數(shù)，就表示低通濾波器</p><p>　　4.window表示的是指定的窗函數(shù)，如矩形窗為rectwin(n)，三角窗為bartlett(n

69、)，如果缺省window參數(shù)，則fir1默認為是哈明窗hamming(n)。</p><p>　　4.2.2 基于fir1函數(shù)的窗函數(shù)法FIR濾波器設(shè)計</p><p>　　下面給出利用fir1函數(shù)的窗函數(shù)法數(shù)字低通濾波器。利用fir1函數(shù)進行設(shè)計，這種設(shè)計方法只需要給出濾波器的階數(shù)、截止頻率、窗函數(shù)等參數(shù)，Matlab即可自行完成設(shè)計，并可通過freqz函數(shù)查看濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)

70、，以驗證濾波器是否滿足設(shè)計要求。設(shè)計程序如下：</p><p>　　n=27; %設(shè)濾器的階數(shù)為27</p><p>　　Wn=0.2; %歸一化截止頻率為0.2</p><p>　　window=rectwin(28); %矩形窗</p><p>　　b=fir1(n,Wn,wi

71、ndow);</p><p><b>　　freqz(b);</b></p><p>　　運行結(jié)果如圖4-1所示：</p><p>　　從幅頻響應(yīng)上看，通帶波動約為1dB且?guī)?nèi)有過沖現(xiàn)象，0.2π截止頻率處的衰減為6.5dB，即截止頻率發(fā)生了漂移，3dB截止頻率為0.182π；阻帶波紋較大，因而阻帶特性較不理想，阻帶最小衰減約為21dB；相頻響

72、應(yīng)曲線在通帶內(nèi)為直線，效果較好，信號失真小。 </p><p>　　圖4-1矩形窗FIR濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　利用三角窗進行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用triang（n）函數(shù)生成三角窗，程序運行結(jié)果如圖4-2所示：</p><p>　　圖4-2三角窗設(shè)計的FIR濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p

73、>　　從幅頻響應(yīng)上看，通帶平坦沒有波動，阻帶最小衰減約為25dB；相頻響應(yīng)曲線在整個頻率范圍內(nèi)為直線，滿足線性相位要求。</p><p>　　利用哈明窗進行設(shè)計時，原理與矩形窗相同，只不過生成窗函數(shù)時采用hamming（n）函數(shù)生成三角窗，程序運行結(jié)果如下：</p><p>　　圖4-3哈明窗設(shè)計的FIR濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　利用布萊克

74、曼窗進行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用blackman（n）函數(shù)生成布萊克曼窗，程序運行結(jié)果如下：</p><p>　　圖4-4布萊克曼窗設(shè)計的FIR濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　利用凱塞窗進行設(shè)計時，原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用kaiser（n,beta）函數(shù)生成凱塞窗，程序運行結(jié)果：</p><p>　　圖4

75、-5凱塞窗設(shè)計的FIR濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　4.3 頻率采樣法的Matlab實現(xiàn)</p><p>　　頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器流程如圖3-2所示，因此利用Matlab軟件設(shè)計FIR濾波器時，可以根據(jù)3-2的流程編寫程序?qū)崿F(xiàn)。但Matlab軟件工具箱提供了fir2子函數(shù)，可以利用fir2子函數(shù)快速方便地設(shè)計FIR濾波器，避免了繁雜的數(shù)學運算。</p>

76、<p>　　fir2子函數(shù)調(diào)用格式為：b=fir2(n, F, A)</p><p><b>　　函數(shù)參數(shù)說明如下：</b></p><p>　　1.n表示濾波器的階數(shù)</p><p>　　2. F為濾波器的歸一化頻率點，在[0,1]范圍內(nèi)取值，1表示實際頻率為fs/2</p><p>　　3.A為頻率響應(yīng)幅

77、度</p><p>　　參數(shù)F和A共同描述了預(yù)先設(shè)定的理想濾波器的頻率響應(yīng)，可以借助plot函數(shù)畫圖觀察幅頻特性曲線。</p><p>　　下面用頻率采樣法設(shè)計一個通帶截止頻率為0.2π的FIR數(shù)字低通濾波器，設(shè)濾波器階數(shù)n=27，編寫程序：</p><p>　　n=27; %設(shè)濾器的階數(shù)為33</p><p>

78、　　F=[0 0.2 0.3 1]; %理想濾波器的頻率響應(yīng)</p><p>　　A=[1 0. 707 0 0]; </p><p>　　b=fir2(n,F,A);</p><p><b>　　freqz(b);</b></p><p>　　經(jīng)過運算得FIR濾波器的幅頻特性如圖4-6所示：&l

79、t;/p><p>　　圖4-6 頻率采樣法設(shè)計的FIR低通濾波器的幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　從4-6幅頻特性曲線可知，0.2π截止頻率處的衰減為4.7dB，即截止頻率發(fā)生了漂移，3dB截止頻率為0.165π；通帶內(nèi)的相頻特性為直線，滿足線性相位要求。</p><p>　　4.4 等波紋逼近法的Matlab實現(xiàn)</p><p>　　頻

80、率采樣法設(shè)計FIR濾波器流程如圖3-4所示，因此利用Matlab軟件設(shè)計FIR濾波器時，可以根據(jù)3-4的流程編寫程序?qū)崿F(xiàn)。但Matlab軟件工具箱提供了remez子函數(shù)，可以利用remez子函數(shù)快速方便地設(shè)計FIR濾波器，避免了繁雜的數(shù)學運算。</p><p>　　remez函數(shù)有幾種調(diào)用格式，常見的一種調(diào)用格式為：b= remez (n, f, a, w); 函數(shù)參數(shù)說明如下：</p><p

81、>　　1.n表示濾波器的階數(shù)</p><p>　　2. f為濾波器的歸一化頻率點，在[0,1]范圍內(nèi)取值，1表示實際頻率為fs/2</p><p>　　3.a為頻率響應(yīng)幅度</p><p>　　參數(shù)f和a共同描述了預(yù)先設(shè)定的理想濾波器的頻率響應(yīng)。</p><p>　　4.w表示通帶和阻帶波紋控制。</p><p>

82、;　　下面用remez函數(shù)設(shè)計一個27階的FIR低通濾波器，其通帶截止頻率為0.2π，通帶波紋最大為0.04，阻帶截止頻率為0.3π，阻帶波紋最大為0.02，程序如下： </p><p><b>　　n=27; </b></p><p>　　f=[0 0.2 0.3 1]; </p><p>　　a=[1 1 0 0]; </p>

83、<p>　　w=[0.04 0.02]; </p><p>　　b=remez(n,f,a,w); </p><p>　　freqz(b); </p><p>　　程序運行結(jié)果如圖4-7所示：</p><p>　　圖4-7 等波紋逼近法設(shè)計的FIR低通濾波器幅頻和相頻特性曲線</p><p>　　同樣是設(shè)計

84、一個27階的FIR低通數(shù)字濾波器，比較fir1窗函數(shù)法、fir2頻率采樣法和remez等波逼近法的設(shè)計結(jié)果，可以看出： </p><p>　　（1）窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計濾波器時，濾波器邊緣頻率不易精確控制，通帶和阻帶的波動幅度 也不易控制。</p><p>　?。?）利用等波紋逼近法可以較好的控制濾波器的邊緣頻率及通帶和阻帶的波動幅度。 </p><p><

85、;b>　　5 結(jié)論</b></p><p>　　論文主要分析了FIR數(shù)字濾波器的基本理論，討論了FIR數(shù)字濾波器的線性相位種類及其約束條件，分析了窗函數(shù)設(shè)計法、頻率采樣設(shè)計法、等波紋逼近法三種不同的設(shè)計方法，并借助Matlab軟件對這三種設(shè)計方法進行了對比分析。</p><p>　　窗函數(shù)設(shè)計法對信號加窗之后會使不連續(xù)點處邊沿加寬形成過渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于

86、窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。在處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少，改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，其相對比例由窗函數(shù)形狀決定。</p><p>　　窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器是傅里葉變換的典型運用，而頻率采樣法設(shè)計的指導思想是通過頻域采樣點實現(xiàn)的，同時為了保證過渡帶寬的不變，濾波器的采樣點數(shù)也要相應(yīng)增加，這就要求在用頻率采樣法設(shè)計濾波器時綜合考

87、慮阻帶衰減和濾波器長度的要求，從而達到設(shè)計的最優(yōu)化。頻率采樣設(shè)計的優(yōu)點是直接從頻域出發(fā)，設(shè)計比較直觀，也適用于設(shè)計任何幅度特性的濾波器，但這種設(shè)計法邊界頻率不易控制，頻率采樣法設(shè)計低通濾波器相對簡單，但是阻帶衰減值較大，增加采樣點數(shù)N不能改善阻帶的最小衰減，改善阻帶衰減的唯一方法就是增加過渡帶寬度。</p><p>　　窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計濾波器時濾波器的邊界頻率不易精確控制，通帶和阻帶衰減也不能控制，所以兩

88、種設(shè)計方法均不能很好的滿足實際設(shè)計中的要求和指標。而等波紋逼近法可以使誤差均勻分布，對于相同的技術(shù)指標，這種逼近法所需要的階數(shù)最少，而對于相同的濾波器階數(shù)，等波紋逼近法的誤差可以達到最小。</p><p>　　設(shè)計一個FIR濾波器不管是哪種方法，需要完成大量的計算和圖形繪制工作，而且從上面的設(shè)計過程中可以看到，設(shè)計中只用到兩個技術(shù)指標，也就是通過截止頻率和阻帶截止頻率，其他指標：帶內(nèi)允許最大衰減，帶外允許最小衰減

89、指標，無法體現(xiàn)在設(shè)計過程中來，所以，設(shè)計結(jié)果通常不可能一次計算得到，往往需要反復多次處理，對比才能最終得到符合各項技術(shù)指標的設(shè)計結(jié)果，利用Matlab軟件，可以減少設(shè)計中的工作量，從而使FIR濾波器的設(shè)計變得簡單快捷。</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本人在做設(shè)計期間，得到了老師的精心指導。她嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神，精益求精的工作

90、作風，深深的感染和激勵著我。從課題的選擇到最終的完成，老師始終給予我細心的知道和不懈的支持。生活中，她教我如何真誠做人，坦誠做事，每次談話都如同春風化雨，在設(shè)計論文的每一個過程里都凝聚了的心血，在此謹向老師表示最真摯的謝意和崇高的敬意。</p><p>　　還要感謝一起學習生活的班級同學們，在我對遇到一些學習上的問題是，他們總是能夠及時的給我解答，并給予我支持，有他們的陪伴，讓我在學習的路上不再那么苦在，使我的生

91、活變的豐富多彩。</p><p>　　最后要感謝的是我的父母和家人，我永遠都不會忘記你們的良苦用心和一如既往的支持與鼓勵。四年來，快樂的事情因為有你們的分享而更快樂，失意的日子因為有你們的關(guān)懷能忘卻傷痛，堅強前行。無論我成功與否，你們總以鼓勵的言語告訴我很棒，謝謝你們，我會繼續(xù)努力。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>

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