數(shù)值計算課程設(shè)計-- 四階runge-kutta方法

1、<p><b>　　課程設(shè)計任務(wù)書</b></p><p>　　2012 — 2013 學(xué)年第 2 學(xué)期</p><p>　　課程名稱： 數(shù)值計算方法 </p><p>　　設(shè)計題目：

2、 四階Runge-Kutta方法 </p><p>　　完成期限：自 2013 年 6 月 24 日至 2013 年 7月 5 日共 2 周</p><p>　　指導(dǎo)教師（簽字）： 年 月 日</p>&l

3、t;p>　　系（教研室）主任（簽字）： 年 月 日</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要···············

4、83;····································&

5、#183;··················5</p><p>　　問題重述·············&

6、#183;····································

7、;················5</p><p>　　方法原理及實現(xiàn)···············&#

8、183;····································

9、······5</p><p>　　計算公式或算法·························

10、83;································5</p><p>　　M

11、atlab程序···································

12、83;···························6</p><p>　　測試數(shù)據(jù)及結(jié)果····

13、····································

14、3;·················6</p><p>　　結(jié)果分析··············

15、3;····································&#

16、183;·············10</p><p>　　八、方法改進(jìn)··················

17、;····································

18、83;···········10</p><p>　　九、心得體會····················

19、····································

20、3;·········10</p><p>　　十、參考文獻(xiàn)······················&

21、#183;····································

22、;·······10</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本課程設(shè)計主要內(nèi)容是用四階Runge-Kutta方法解決常微分方程組初值問題的數(shù)值解法，通過分析給定題目使用Matlab編寫程序計算結(jié)果并繪圖，最后對計算結(jié)果進(jìn)行分析，得到結(jié)論。</p><p&g

23、t;<b>　　問題重述</b></p><p>　　在計算機(jī)上實現(xiàn)用四階Runge-Kutta求一階常微分方程初值問題</p><p>　　的數(shù)值解，并利用最后繪制的圖形直觀分析近似解與準(zhǔn)確解之間的比較。</p><p><b>　　三、方法原理及實現(xiàn)</b></p><p>　　龍格-庫塔(Ru

24、nge-Kutta)方法是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進(jìn)行抑制，所以其實現(xiàn)原理也較復(fù)雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學(xué)支持的基礎(chǔ)之上的。龍格庫塔方法的理論基礎(chǔ)來源于泰勒公式和使用斜率近似表達(dá)微分，它在積分區(qū)間多預(yù)計算出幾個點的斜率，然后進(jìn)行加權(quán)平均，用做下一點的依據(jù)，從而構(gòu)造出了精度更高的數(shù)值積分計算方法。如果預(yù)先求兩個點的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預(yù)先取四個點就是四階龍格庫塔法。</p>

25、<p>　　經(jīng)典的方法是一個四階的方法，它的計算公式是：</p><p><b>　　四、計算公式或算法</b></p><p>　　輸入（編寫或調(diào)用計算的函數(shù)文件），</p><p><b>　　3．For </b></p><p><b>　　End </b>

26、</p><p><b>　　4．輸出</b></p><p>　　五、Matlab 程序</p><p>　　x=[a:h:b];</p><p><b>　　y(1)=y1;</b></p><p>　　n=(b-a)/h+1;</p><p>&

27、lt;b>　　for i=2:n</b></p><p>　　fk1=f(x(i-1),y(i-1));</p><p>　　fk2=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk1*h/2);</p><p>　　fk3=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk2*h/2);</p><p>　　fk4=f(x(i-1)

28、+h,y(i-1)+fk3*h);</p><p>　　y(i)=y(i-1)+h*(fk1+2*fk2+2*fk3+fk4)/6;</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　y</b></p><p><b>　　六、測試數(shù)據(jù)及結(jié)果</b><

29、;/p><p>　　用調(diào)試好的程序解決如下問題：</p><p>　　應(yīng)用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法解初值問題</p><p><b>　　取</b></p><p>　　步驟一：編寫函數(shù)具體程序.</p><p>　　1.求解解析解程序：</p><p>　　dso

30、lve('Dy=(y^2+y)/t','y(1)=-2','t')</p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p>　　2.綜合編寫程序如下：</p><p><b>　　a=1;</b></p><p><b>　　b=3;&l

31、t;/b></p><p><b>　　h=0.5;</b></p><p><b>　　y(1)=-2;</b></p><p><b>　　x(1)=a;</b></p><p>　　n=(b-a)/h+1;</p><p><b>

32、　　yy(1)=-2;</b></p><p><b>　　for i=2:n</b></p><p>　　k1=(y(i-1)^2+y(i-1))/x(i-1);</p><p>　　k2=((y(i-1)+h*k1/2)^2+(y(i-1)+h*k1/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　

33、　k3=((y(i-1)+h*k2/2)^2+(y(i-1)+h*k2/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　　k4=((y(i-1)+h*k3)^2+(y(i-1)+h*k3))/(x(i-1)+h);</p><p>　　y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解</p><p>　　

34、x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值</p><p>　　yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解</p><p>　　s(i)=abs(y(i)-yy(i)); %誤差項</p><p><b>　　end</b></p><p>　　[x' y' yy' s&

35、#39;]</p><p>　?。?）步驟二：執(zhí)行上述Runge-Kutta算法，計算結(jié)果為</p><p>　　（3）使用Matlab繪圖函數(shù)“plot(x,y)”繪制問題數(shù)值解和解析解的圖形。</p><p><b>　　數(shù)值解的圖形：</b></p><p><b>　　plot(x,y)</b&g

36、t;</p><p><b>　　解析解的圖形</b></p><p>　　plot(x,yy)</p><p>　?。?）使用Matlab中的ode45求解，并繪圖。</p><p><b>　　編寫函數(shù)如下：</b></p><p><b>　　%ode.m&l

37、t;/b></p><p>　　function dy=ode(x,y)</p><p>　　dy=(y^2+y)/x; </p><p>　　T,Y]=ode45('ode',[1 3],-2);</p><p><b>　　plot(T,Y)</b></p><p>&l

38、t;b>　　運行結(jié)果如下：</b></p><p><b>　　結(jié)果分析</b></p><p>　　由圖可知此方法與精確解的契合度非常好，基本上與精度解保持一致，由此可見四階Runge-Kutta方法是一種高精度的單步方法。</p><p><b>　　方法改進(jìn)</b></p><p

39、>　　同時，由于誤差的存在，我們總想盡可能的是誤差趨近于零，常用的就是傳統(tǒng)的增加取值的個數(shù)。最后，我們通過改變步長來進(jìn)行改進(jìn)。</p><p><b>　　具體實現(xiàn)：</b></p><p><b>　?。?）h=0.1</b></p><p><b>　　a=1;</b></p>

40、<p><b>　　b=3;</b></p><p><b>　　h=0.1;</b></p><p><b>　　y(1)=-2;</b></p><p><b>　　x(1)=a;</b></p><p>　　n=(b-a)/h+1;<

41、;/p><p><b>　　yy(1)=-2;</b></p><p><b>　　for i=2:n</b></p><p>　　k1=(y(i-1)^2+y(i-1))/x(i-1);</p><p>　　k2=((y(i-1)+h*k1/2)^2+(y(i-1)+h*k1/2))/(x(i-1)+

42、h/2);</p><p>　　k3=((y(i-1)+h*k2/2)^2+(y(i-1)+h*k2/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　　k4=((y(i-1)+h*k3)^2+(y(i-1)+h*k3))/(x(i-1)+h);</p><p>　　y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutt

43、a公式解</p><p>　　x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值</p><p>　　yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解</p><p>　　s(i)=abs(y(i)-yy(i)); %誤差項</p><p><b>　　end</b></p><p>

44、　　[x' y' yy' s']</p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p><b>　　h=0.2</b></p><p><b>　　a=1;</b></p><p><b>　　b=3;</b><

45、/p><p><b>　　h=0.2;</b></p><p><b>　　y(1)=-2;</b></p><p><b>　　x(1)=a;</b></p><p>　　n=(b-a)/h+1;</p><p><b>　　yy(1)=-2;&

46、lt;/b></p><p><b>　　for i=2:n</b></p><p>　　k1=(y(i-1)^2+y(i-1))/x(i-1);</p><p>　　k2=((y(i-1)+h*k1/2)^2+(y(i-1)+h*k1/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　　k3=((y(i-1)

47、+h*k2/2)^2+(y(i-1)+h*k2/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　　k4=((y(i-1)+h*k3)^2+(y(i-1)+h*k3))/(x(i-1)+h);</p><p>　　y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解</p><p>　　x(i)=x(i-1)+

48、h; %有解區(qū)間的值</p><p>　　yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解</p><p>　　s(i)=abs(y(i)-yy(i)); %誤差項</p><p><b>　　end</b></p><p>　　[x' y' yy' s']</p&

49、gt;<p><b>　　結(jié)果：</b></p><p><b>　　h=0.4</b></p><p><b>　　a=1;</b></p><p><b>　　b=3;</b></p><p><b>　　h=0.4;</

50、b></p><p><b>　　y(1)=-2;</b></p><p><b>　　x(1)=a;</b></p><p>　　n=(b-a)/h+1;</p><p><b>　　yy(1)=-2;</b></p><p><b>

51、　　for i=2:n</b></p><p>　　k1=(y(i-1)^2+y(i-1))/x(i-1);</p><p>　　k2=((y(i-1)+h*k1/2)^2+(y(i-1)+h*k1/2))/(x(i-1)+h/2);</p><p>　　k3=((y(i-1)+h*k2/2)^2+(y(i-1)+h*k2/2))/(x(i-1)+h/2

52、);</p><p>　　k4=((y(i-1)+h*k3)^2+(y(i-1)+h*k3))/(x(i-1)+h);</p><p>　　y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解</p><p>　　x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值</p><p>　　yy(i

53、)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解</p><p>　　s(i)=abs(y(i)-yy(i)); %誤差項</p><p><b>　　end</b></p><p>　　[x' y' yy' s']</p><p><b>　　結(jié)果：</b>&

54、lt;/p><p>　　通過上述的一些結(jié)果得出，四階的Runge-Kutta方法的誤差取決于步長的選取，因此，在實驗的時候我們需要慎重的選取。一方面：我們要減少誤差，另一方面：我們也需要盡可能的減少計算次數(shù)。</p><p><b>　　心得體會</b></p><p>　　課程設(shè)計，至今我們小組三人感慨頗多，的確，從我們參考，設(shè)計到定稿，從理論到

55、實踐，在整整兩星期的時間里，可以說是苦多于甜，但是可以學(xué)到很多很多的東西，同時不僅可以鞏固以前所學(xué)過的知識，而且學(xué)到很多在書本上沒有學(xué)到的知識。通過這次課程設(shè)計使我們懂得了理論與實際相結(jié)合是很重要的，只有理論知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有把所學(xué)的理論知識與實踐相結(jié)合起來，從理論中得出結(jié)論，才能提高自己的實際動手能力和獨立思考能力。同時在設(shè)計的過程中發(fā)現(xiàn)了自己的不足之處，對以前所學(xué)過的知識理解的不夠深刻，掌握的不夠牢固。通過這次課程設(shè)計之后，一定