高階Runge-Kutta方法的構(gòu)造及研究.pdf

1、常微分方程在自然科學(xué)的很多學(xué)科領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，如自動(dòng)控制、電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性以及化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等都可以轉(zhuǎn)化為求解常微分方程或研究常微分方程解的性質(zhì).當(dāng)前,計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了有力的工具.然而，只有一些特殊類(lèi)型的常微分方程初值問(wèn)題能夠得到用解析式表示的精確解,大量的常微分方程初值問(wèn)題很難得到其精確解的解析式,有的甚至根本無(wú)法用解析式來(lái)表示，因此我們只能依賴(lài)于

2、數(shù)值方法，以獲得常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解. Runge-Kutta方法是求解常微分方程初值問(wèn)題的經(jīng)典方法。
　　本研究考慮構(gòu)造求解常微分方程初值問(wèn)題的高階隱式辛Runge-Kutta方法和8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法。研究了高階隱式對(duì)稱(chēng)辛Runge-Kutta方法的構(gòu)造.對(duì)于高階隱式對(duì)稱(chēng)辛Runge-Kutta方法的構(gòu)造,我們利用了Hairer和Wanner教授提出的W-變換理論,通過(guò)在變換矩陣中選取不同的參數(shù)a,

3、盧和7的值,我們不僅得到了經(jīng)典的Gauss方法、LobattoⅢA、LobattoⅢB、LobattoⅢC、LobattoⅢE、LobattoⅢS,而且我們得到了一類(lèi)新的隱式對(duì)稱(chēng)辛Runge-Kutta方法。構(gòu)造的LobattoⅢS X方法的辛性質(zhì)可以由Hairer和Wanner教授給出的相關(guān)結(jié)論直接得到。研究了8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法的構(gòu)造.對(duì)于高階顯式Runge-Kutta方法構(gòu)造的困難性和復(fù)雜性可以從表格（2-1

4、)輕易地得出。為了克服已有高階顯式方法構(gòu)造的困難性，從8級(jí)顯式Runge-Kutta方法的一般形式出發(fā)，借助Runge-Kutta方法的一般伴隨方法、辛伴隨方法(新定義的)給出了一種構(gòu)造8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法的新途徑.首先，我們利用8級(jí)顯式Runge-Kutta方法（4.2.1)及其辛伴隨方法（4.2.4)得到相應(yīng)的8級(jí)對(duì)稱(chēng)辛方法(4.2.5)(詳見(jiàn)表4-2),并在A*=AS*及積分公式(b，c)對(duì)稱(chēng)的條件下，我們給

5、出了簡(jiǎn)化階條件B(p)(p≤6),C(1)和D⑴的化簡(jiǎn),再利用得到的C(1)和D(1)的等價(jià)性,證明了對(duì)稱(chēng)辛方法(4.2.5)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)化階條件CS*(1), DS*(1),CS*(2)和DS*(2)的等價(jià)關(guān)系.其次,我們利用積分公式(b，c)的對(duì)稱(chēng)性、A*=AS*、C⑴<=>D(1)、CS*⑴<=>DS*(1)及CS*(2)<=>DS*(2)的相關(guān)結(jié)論,對(duì)8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法需要滿(mǎn)足的33個(gè)階條件分三步進(jìn)行了相應(yīng)的簡(jiǎn)

6、化.通過(guò)這些簡(jiǎn)化過(guò)程,我們得到8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法需要滿(mǎn)足階條件(4.2.55)式.然后，我們將C2, C3, C4, b2, b3,a43(或a42)看作自由變量,并通過(guò)求解階條件(4.2.55)式,得到8級(jí)6階顯式對(duì)稱(chēng)Runge-Kutta方法的Butcher表中系數(shù)a32,a42(或a43),a52, a53,a54,a62,a63,a72和b4的表達(dá)式.最后,我們利用(4.2.6),(4.2.11),(4.