高階對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法研究及應(yīng)用.pdf

1、Hamilton系統(tǒng)在物理和生命科學(xué)等領(lǐng)域，特別是經(jīng)典力學(xué)和天體力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.過去的數(shù)十年中，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者研究了系統(tǒng)本身特性，并根據(jù)這些特性構(gòu)造數(shù)值方法.這其中，美國(guó)科學(xué)家Ruth和我國(guó)科學(xué)家馮康分別于1983年和1985年針對(duì)Hamilton系統(tǒng)獨(dú)立提出了行之有效的數(shù)值方法，馮康先生稱之為辛幾何算法，之后辛算法被廣泛研究，并取得了豐碩的研究成果.
　　本文主要研究一類對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法高階數(shù)值格式

2、的構(gòu)造及其應(yīng)用.通過該類型數(shù)值格式本身性質(zhì)和根樹理論的研究，我們獲得了5階和對(duì)稱6階對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的獨(dú)立的階條件，在此基礎(chǔ)上，我們構(gòu)造了求解極值問題的模型，并通過設(shè)計(jì)程序求解極值問題給出了一組6級(jí)5階的對(duì)角隱式辛Runge-Kutta數(shù)值格式.對(duì)稱的數(shù)值格式在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算中有著天然的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合6階對(duì)角隱式對(duì)稱辛Runge-Kutta方法的階條件，同樣通過設(shè)計(jì)程序求解極值問題，我們給出了一個(gè)7級(jí)6階對(duì)稱的對(duì)角隱式辛Ru

3、nge-Kutta數(shù)值格式.在數(shù)值試驗(yàn)中，我們比較了新得到的數(shù)值格式和文獻(xiàn)中已有的同階的數(shù)值格式在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面的差別，結(jié)果顯示，我們給出的數(shù)值格式有著計(jì)算精度高且計(jì)算量少的優(yōu)點(diǎn).另外，通過數(shù)值試驗(yàn)，新的數(shù)值格式的收斂階也得到了驗(yàn)證.在對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的可達(dá)階方面，我們分別研究了一般的對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法和對(duì)稱的對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的級(jí)數(shù)和階之間的關(guān)系，限于已完成的工作，所討論

4、的數(shù)值格式的最高階為6階.
　　在對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的數(shù)值穩(wěn)定性方面，針對(duì)不同的試驗(yàn)性方程，我們研究了對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的A-穩(wěn)定性和P-穩(wěn)定性，證明了當(dāng)收斂階p≤2時(shí)，該類型的數(shù)值格式是A-穩(wěn)定的，而當(dāng)收斂階p≥3時(shí)，該類型的數(shù)值格式不是A-穩(wěn)定的;在P-穩(wěn)定性方面，所有該類型的數(shù)值格式都是P-穩(wěn)定的.
　　文章的最后研究了對(duì)角隱式辛Runge-Kutta方法的應(yīng)用，針對(duì)振蕩Hamilt