自動(dòng)化外文原文及譯文--一種不確定線性系統(tǒng)的riccati方程鎮(zhèn)定方法

1、<p>　　A Riccati Equation Approach to the Stabilization of Uncertain Linear Systems</p><p>　　IAN R．PETERSEN and CHRISTOPHER V．HOLLO</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　

2、　This paper presents a method for designing a feedback control law to stabilize a class of uncertain linear systems.The systems under consideration contain uncertain parameters whose values are known only to with a given

3、 compact bounding set．Furthermore，these uncertain parameters may be time-varying.The method used to establish asymptotic stability of the closed loop system obtained when the feedback control is applied involves the use

4、of a quadratic Lyapunov function.The main contribution of thi</p><p>　　Key words: Feedback control;Uncertain linear systems;Lyapunov methods;Riccati equation</p><p>　　1.INTRODUCTION</p>&

5、lt;p>　　This paper deals with the problem of designing a controller when no accurate model is available for the process to be controlled.Specifically,the problem or stabilizing an uncertain linear system using state fe

6、edback control is considered.In this case the uncertain linear system consists of a linear system containing parameters whole values are unknown but bounded.That is,the values of these uncertain parameters are known to b

7、e contained with given compact bounding sets.Furthermore,these uncerta</p><p>　　The problem of stabilizing uncertain linear systems of this type has attracted a considerable amount or interest in recent year

8、s. In Leitman(1979,1981)and Gutman and Palmoor(1982),the uncertainty in the system is assumed to satisfy the so called “matching conditions".These matching conditions constitute sufficient conditions for a given unc

9、ertain system to be stabilizable.In Corless and Leitmann(1981)and Barmish,Corless and Leltmann(1983),this approach is extended to uncertain non—linear systems</p><p>　　Lyapunov of law,enter to the 1990s non-

10、linear controlled field succeed in will it be the eighties the 20th century while being excellent while being stupid It is a main design method with stupid and excellent and calm non-linear system. While utilizing this k

11、ind of method to design the stupid excellent composure system , suppose at first the uncertainty existing is unknown in the real system, but belong to a certain set that describes,namely the uncertain factor can show in

12、order to there is unk</p><p>　　In all the references cited above dealing with uncertain linear systems,the stability of the close-loop uncertain system is established using a quadratic Lyapunov function.This

13、 motivates the concept of quadratic stabilizability which is formalized in section 2;see also Barmish(1985).Furthermore ,in Barmlsh(1985)and Petersen(1983),it is show in section 2;see also Barmish(1985).Furthermore,in Ba

14、rmish(1985) and Petersen(1983),it is shown that the problem of stabilizing an uncertain linear system ca</p><p>　　The benefit of quadratic boundind stems from the fact that a candidate quadratic Lyapunov fun

15、ction can easily be obtained by solving a matrix Riccati equation.For the special case or systems without uncertainty,this “augmented” Riccati equation reduces to the “ordinary” Ricccti equation which arises in the linea

16、r quadratic regulator problem,e.g.Anderson and Moore(1971).Hence,the procedure presented in the paper can be regarded as being an extension of the linear quadratic regulator design proced</p><p>　　2.SYSTEM A

17、ND DEFINITIONS</p><p>　　A class of uncertain linear systems described by the state equations</p><p>　　where is the state, is the control and and are vectors of uncertain parameters,is consider

18、ed.The functions r(·)and s(·) are restricted to be Lebessue measurable vector functions.Furthermore,the matrices and are assumed to be rank one matrices of the formand in the above description and denote th

19、e component of the vectors r(t) and s(t) respectively.</p><p>　　Remarks:Note that an arbitrary n n matrix can always be decomposed as the sum of rank one matrices;i.e.for the system(∑),one can write with r

20、ank one . Consequently,if is replaced by and the constraint is included for all i and j then this "overbounding” of the uncertainties will result in a system which satisfies the rank-one assumption.Moreover,stabil

21、izability of this "larger" system will imply stabiliabillty for(Z).At this point,observe that the rank one decompositions for the and are not</p><p>　　Associated with the system()are the positive

22、definite symmetric weighting matrices and.These matrices are chosen by the designer.It will be seen in Section 4 that these matrices are analogous to the weighting matrices in the classical linear quadratic regulator pro

23、blem.The formal definition of quadratic stabilizability now presented.</p><p>　　Definition 2.1.The system() is said to be quadratically stabilizable if there exists continuous feedback control with P(0)=0,a

24、n n n:positive definite symmetric matrix P and a constant >0 such that the following condition is satisfied,given any admissible uncertainties r(·)and S‘(·)the Lyapunov derivative corresponding to the closed

25、 loop system and the quadratic Lyapunov function satisfies the inequality.</p><p>　　for all non-zero and all,</p><p>　　To clarify the definitions and theorems which follow,it useful to rewrite

26、the Lyapunov derivative inequality(2.1).Indeed,applying the state space transformation x=sn:;the inequality is obtained.In order to present a necessary and sufficient condition for quadratic stabilizability of ,some prel

27、iminary definitions are required.</p><p>　　Definition2.2.The set and the function are defined.</p><p>　　In the following definition,a condition referred to as the modified matching condition is

28、 introduced .It will be seen in the next section that uncertainty matrices satisfying this condition will not enter into the construction of a quadratic Lyapunov function for the system see also Petersen (1985).</p

29、><p>　　Definition 2.3.Given any the matrix is said to satisfy the modified matching condition if</p><p>　　for all and all </p><p>　　According to the line controls theoretical disper

30、sion control the method stands alone the control method for the sake of the partial system that overcome the shortage, the big system line in the theories scatters about to control the theories is applied to control the

31、realm in the electric power system, with solution many machine electric power system inside many the control problem of the controller. Because many machines electric power system controls of keep the view way of thinkin

32、g is a foun</p><p>　　CONCLUSIONS</p><p>　　The quadratic bound algorithm presented in this paper provides a computationally feasible procedure for the stabilization of an uncertain linear system

33、.although the approach gives only a sufficient condition stabilizability,a number of cases have been given for which the method is both necessary and sufficient for quadratic stabilizability.Furthermore,most other method

34、s for stabilizing an uncertain linear system involve either implicitly or explicitly the use of a quadratic Lyapunov function.Th</p><p>　　As mentioned in Section 2,one area for future research concerns findi

35、ng the best rank one decompositions of the matrices.Another would involve investigating Riccati equations of the form (3.6).In particular,it would be desirable to give some algebraic or geometrical condition for the exis

36、tence of a positive definite solution to this Riccati equation.</p><p>　　一種不確定線性系統(tǒng)的Riccati方程鎮(zhèn)定方法</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　這篇文章提出了一種適合反饋控制的方法來(lái)使一類不確定線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定。系統(tǒng)中考慮了不確定的參

37、數(shù)，其價(jià)值只能由給定的有限裝置確定。而且，這些不確定的參數(shù)可能隨時(shí)間變化。這種方法過(guò)去常常用來(lái)建立漸近的穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)(什么時(shí)候被反饋控制使用)，它與一個(gè)二次李雅普諾夫函數(shù)的使用有關(guān)。這篇文章的主要貢獻(xiàn)伴隨著社會(huì)的發(fā)展，用一個(gè)可行的計(jì)算機(jī)算法構(gòu)造一個(gè)合適二次的李雅普諾夫函數(shù)。只要李雅普諾夫函數(shù)被建立了，它就可以用來(lái)構(gòu)造穩(wěn)定的反饋控制規(guī)則。算法的基本思想的提出與構(gòu)造一個(gè)上界李雅普諾夫函數(shù)有關(guān)，這個(gè)函數(shù)相當(dāng)于閉環(huán)系統(tǒng)。它是一個(gè)二次形式的上界。

38、通過(guò)使用上面這個(gè)程序。一個(gè)合適李雅普諾夫函數(shù)被用來(lái)解決某類基本Riccati方程式。這篇文章另一方面說(shuō)明了一個(gè)成功的算法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常重要的，并且提供了更多合適的二次李雅普諾夫函數(shù)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：反饋控制；不確定線性系統(tǒng)；李雅普諾夫方法；Riccati方程</p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　這

39、篇文章考慮了一個(gè)當(dāng)控制過(guò)程沒(méi)有確定的模型是可得到的時(shí)候，設(shè)計(jì)控制器的問(wèn)題。還考慮了使用狀態(tài)回應(yīng)控制來(lái)使一個(gè)不確定線性系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。在這個(gè)方法中,不確定線性系統(tǒng)由線性系統(tǒng)中一些有價(jià)值的參數(shù)組成,也就是說(shuō)，它被給定的緊縮裝置所包含，不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，這些年來(lái)這些有價(jià)值的不確定參數(shù)已經(jīng)吸引了相當(dāng)多人的興趣。在 Leitman (1979,1981)，Gutman和Palmoor(1982)的著作中，這些系統(tǒng)的不確定性，被假設(shè)為所謂

40、的“關(guān)聯(lián)狀態(tài)”。這些關(guān)聯(lián)的狀態(tài)為不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性創(chuàng)造了充分的條件。在 Corless，Leitmann(1981) 和 Barmish，Corless 和Leltmann(1983) 著作中，這些方法被延伸用到不確定的非線系統(tǒng)。然而，這些不確定線性系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)狀況被過(guò)度的限制。的確，在 Barmish , Leitmann(1982) Hollot 和 Barmish(1980)的著作中存在一些不能使系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的條件，例如在Leitman

41、n(1982)，Hollot 和Barmish(1980)，Thorp 和 barmish(1981)，Barmlsh</p><p>　　李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在20世紀(jì)80年代至90年代進(jìn)入非線性控制領(lǐng)域成為非線性系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的主要設(shè)計(jì)方法。利用這類方法設(shè)計(jì)魯棒鎮(zhèn)定系統(tǒng)時(shí)，首先假設(shè)實(shí)際系統(tǒng)中存在的不確定性是未知的，但是屬于某一個(gè)描述的集合，即不確定性因素可以表示為有界的未知參數(shù)，增益有界的未知攝動(dòng)函數(shù)以及被控對(duì)

42、象的標(biāo)稱模型來(lái)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，使其保證整個(gè)系統(tǒng)對(duì)于不確定集合中的任何元素都是穩(wěn)定的。正是由于這種一般性，無(wú)論用來(lái)分析穩(wěn)定性或用來(lái)鎮(zhèn)定綜合，都缺乏構(gòu)造性。隨著非線性理論的發(fā)展，人們?cè)噲D把更多線性系統(tǒng)中成熟的理論延伸到非線性系統(tǒng)。相對(duì)階近幾年被引入非線性系統(tǒng)，在非線性系統(tǒng)中,相對(duì)階的意義在于它描述了系統(tǒng)非線性結(jié)構(gòu)的本質(zhì)。對(duì)于仿射的非線性系統(tǒng)，可以利用相對(duì)階概念將系統(tǒng)分解為線性和非線性兩部分，非線性部分不能觀，線性部分既能觀又能

43、控，這樣構(gòu)成的系統(tǒng)是零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，并證明了一維情況下，如果零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，那么整個(gè)系統(tǒng)可以用全局漸近整定。相對(duì)階和反饋線性化相結(jié)合，如文獻(xiàn)[1]得到了很好地控制效果。</p><p>　　在所有引用的不確定線性系統(tǒng)的文獻(xiàn)中，二次李亞普諾夫函數(shù)被用來(lái)分析閉環(huán)不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它運(yùn)用了二次穩(wěn)定性的概念來(lái)使第二部分能夠穩(wěn)定運(yùn)行，在1985年Barmish的著作中也可以看到。在Barmish和Petersen

44、的著作中，也指出了不確定線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題是由二次李亞普諾夫函數(shù)所引起的。這篇文章的主要部分是研究這個(gè)二次李亞普諾夫函數(shù)各個(gè)方面的問(wèn)題，已經(jīng)被Hollot和Barmsh研究過(guò)了，他們找到一個(gè)含有爭(zhēng)議的矩陣Riccati方程的二次李亞普諾夫函數(shù)的方法來(lái)解不確定的系統(tǒng)，例如常鵬和Noldus，他們的結(jié)果結(jié)果表明這篇文章在Noldus中，A矩陣和B矩陣都是可行的，甚至一系列傳統(tǒng)的不確定系統(tǒng)也已經(jīng)被證明過(guò)，這個(gè)方法的成功使得二次李亞普諾夫

45、函數(shù)的存在變得可行。</p><p>　　這篇文章的基本思想是構(gòu)建一個(gè)二次型來(lái)作為二次李亞普諾夫函數(shù)的上界，使它脫離閉環(huán)不確定系統(tǒng)。它在本文中為二次邊界方法的程序作了描述。</p><p>　　通過(guò)二次李亞普諾夫函數(shù)可以更簡(jiǎn)單地解矩陣Riccati方程，特別是在不確定系統(tǒng)條件下，有“爭(zhēng)議”的Riccati方程引起了“正常”Riccati方程二次線性調(diào)節(jié)器的問(wèn)題。例如Anderson and

46、 Moore(1971)等。因此，在文章里提到的程序可以被認(rèn)為是一個(gè)線性二次調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)程序的擴(kuò)展。</p><p><b>　　2系統(tǒng)和定理</b></p><p>　　描述一類不確定線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：</p><p>　　當(dāng)是靜態(tài)的時(shí)候，就被控制，和 是不確定參數(shù)的向量，函數(shù)r(·)和 s(·)被可測(cè)向量Lebessu

47、e所限制。此外，假定和 的位置與和一致。在以上的描述中， 和 各自由向量r(t) 和s(t)組成。</p><p>　　評(píng)注：任意的n n矩陣能被分解成一些矩陣的總和。例如(∑)系統(tǒng)可以寫(xiě)成中的的總和，因此，如果被取代，強(qiáng)制包括了所有的i和j，這個(gè)結(jié)果充分說(shuō)明了假設(shè)的成立。而且，這個(gè)“大”系統(tǒng)的穩(wěn)定性意味著(Z)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。</p><p>　　在這點(diǎn)上，對(duì)矩陣 和的分解都不是唯一的，例

48、如，如果能被一個(gè)標(biāo)量相除的話，那么也能被這個(gè)標(biāo)量相乘。這個(gè)事實(shí)提出了主要的缺點(diǎn)和方法。這個(gè)方法是描述了一個(gè)可以使和相互分解的二次方程的階躍法。與此同時(shí)，也沒(méi)有一個(gè)可以選擇最好分解的體系，這個(gè)可以為將來(lái)建立一個(gè)更為重要的研究領(lǐng)域。</p><p>　　最終的觀測(cè)結(jié)果涉及到了不確定的參數(shù)。假設(shè)每一個(gè)參數(shù)都會(huì)滿足相同的階躍。例如，，這個(gè)假設(shè)就沒(méi)有一般性。甚至，任何一個(gè)變量都會(huì)被合適縮放比例的和矩陣所消除。額外的Q和R矩

49、陣與()系統(tǒng)相聯(lián)合和。</p><p>　　這些矩陣被設(shè)計(jì)者選擇。在第四章里將會(huì)介紹與這些矩陣相類似的古典二次線性調(diào)節(jié)器問(wèn)題?，F(xiàn)在給出了正式的二次方程穩(wěn)定性的定理。</p><p>　　定理 2.1 如果一個(gè)連續(xù)的反饋控制，條件滿足當(dāng)P(0)=0時(shí)，存在一個(gè)正定的大于零的距陣P時(shí)，當(dāng)給出任意的可允許的不確定的r(·)和S‘(·)滿足不等式</p><

50、p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　對(duì)所有非零矩陣，都是成立的。</p><p>　　為了闡明定義和法則我們重寫(xiě)李亞普諾夫不等式 (2.1)</p><p>　　事實(shí)上，應(yīng)用狀態(tài)空間傳遞函數(shù)x=sn：，很容易得到不等式。為了給二次系統(tǒng)提供一個(gè)可行的充分條件，需要有一些預(yù)備定理。</p><p>

51、　　定理 2.2 定義函數(shù)和</p><p>　　在以下的定義中，改進(jìn)的匹配條件已經(jīng)介紹過(guò)了，在下面的部分能看到不確定矩陣滿足于這個(gè)條件，系統(tǒng)將不能形成二次李亞普諾夫函數(shù)的形式，在Petersen(1985) 也可以看見(jiàn)。</p><p>　　定理 2.3 給出任意的，如果矩陣滿足 </p><p>　　則對(duì)所有的和都成立。</p><p>

52、　　基于線性控制理論的分散控制方法為了克服局部系統(tǒng)孤立控制方法的不足，大系統(tǒng)理論中的線性分散控制理論被應(yīng)用于電力系統(tǒng)控制領(lǐng)域,以解決多機(jī)電力系統(tǒng)中多控制器之間的控制問(wèn)題。由于多機(jī)電力系統(tǒng)控制的直觀思路是集中控制方式，所以分散控制的一個(gè)研究方向就是探討在集中控制的基礎(chǔ)上如何降低通信量。文章首先設(shè)計(jì)了一個(gè)全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng),通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)除了其余區(qū)域的相角以外，其他狀態(tài)對(duì)整體控制效果都影響不大，可以直接去除,從而得到“偽分散化”控制方案。最后

53、，使用本地潮流信息計(jì)算獲得其余區(qū)域的相角，實(shí)現(xiàn)控制策略的分散化處理。分散控制器設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是如何處理各子系統(tǒng)之間關(guān)聯(lián)項(xiàng)的影響。文獻(xiàn)[2]在對(duì)大系統(tǒng)進(jìn)行分解時(shí)采用了覆蓋技術(shù)，即每個(gè)子系統(tǒng)的模型包含部分其余子系統(tǒng)的狀態(tài)，由于所設(shè)計(jì)的控制器仍需要反饋鄰近部分子系統(tǒng)的狀態(tài),所以未能做到完全分散控制。為此,文獻(xiàn)[2]以全系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)各局部控制器，但對(duì)各局部控制器的控制結(jié)構(gòu)加以分散約束(只能反饋本地可測(cè)信號(hào))。文章對(duì)此方法進(jìn)行了改進(jìn)，并

54、將狀態(tài)反饋分散控制推廣到輸出反饋分散控制。電力系統(tǒng)線性化模型中一些特殊的本地可測(cè)變量(如發(fā)電機(jī)的輸出功率、機(jī)端電流、電壓等)</p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p>　　本文為不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一個(gè)可行的計(jì)算方法。盡管這個(gè)方法僅給出了可行的穩(wěn)定條件，但對(duì)于所有的二次方程來(lái)講都是使用的。進(jìn)而,大多數(shù)的其他方法在使得不確定線性系統(tǒng)穩(wěn)定上，也都采