數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文-矩3-冪零矩陣的jordan標準型

1、<p>　　3-冪零矩陣的Jordan 標準型</p><p>　　數(shù)學系 01數(shù)本 2001141130 指導老師： </p><p>　　摘要：本文主要對2-冪零矩陣，3-冪零矩陣的Jordan標準型進行探討，對2-冪零矩陣，給出了2-冪零矩陣的Jordan標準型的形式，并指出若固定秩，則有唯一的Jordan標準型，對n階3-冪零矩陣，文中推導出其秩的范圍和其J

2、ordan標準型的個數(shù)，并給予證明，若其秩為一固定值，文中推導出了它的Jordan標準型的個數(shù)，并給予證明。</p><p>　　關鍵詞：k-冪零矩陣征值；2-冪零矩陣；3-冪零矩陣；若當形矩陣；Jordan標準型；特征多項式；特征根；初等因子；秩</p><p><b>　　0、引言</b></p><p>　　定義1：設（表示復數(shù)域C上全體

3、矩陣），若存在正整數(shù)k，使得，則稱A是冪零指數(shù)為k的冪零矩陣記為k-冪零矩陣</p><p>　　特別地，當k=2時，即矩陣A滿足，稱A為2-冪零矩陣</p><p>　　當k=3時，即矩陣A滿足，稱A為3-冪零矩陣。</p><p>　　定義2：形式為的矩陣稱為J塊，其中是復數(shù)，由若干個若當塊組成的準對角矩陣稱為若當形矩陣。</p><p>

4、;　　定義3：每個階的復數(shù)矩陣A都與一個若當形矩陣相似，這個若當形矩陣除去其中若當塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的Jordan標準型。</p><p>　　目前關于冪零矩陣的Jordan標準型，僅有文[1]的關于2-冪零矩陣的研究探討，有以下三個性質：</p><p>　　性質1：當k=2即復數(shù)域C上的n階2-冪零矩陣A的Jordan標準型為，其中（），，且至少存在一個j，使

5、即至少存在一個</p><p>　　性質2：設C是復數(shù)域，而A是C上2-冪零矩陣，設A的秩為r，則，而A的Jordan標準型為，其中對角線上有r個。</p><p>　　性質3：兩個2-冪零矩陣相似的充要條件是它們的秩相同。</p><p><b>　　1、引理</b></p><p>　　引理1.1：A為冪零矩陣的充要

6、條件是A的特征值全為0。</p><p><b>　　證明：可見文[2]</b></p><p>　　引理1.2：設，則，而。</p><p>　　引理1.3：復數(shù)域C上的k-冪零矩陣A的標準型具有形式，</p><p>　　其中（），且至少存在一個若當塊，使。</p><p>　　證明：因為A為

7、冪零矩陣，故A的特征值全為0，于是A的特征多項式為。設冪零矩陣的A的初等因子為可能相同，且），每一個初等因子對應一個J塊（），這些J塊構成一個若當形矩陣</p><p>　　因為A為k-冪零矩陣，所以J中存在即至少存在一個j，使</p><p><b>　　即命題成立。</b></p><p>　　由引理1.3，易證得關于2-冪零矩陣的那三個性

8、質是成立的</p><p><b>　　2、主要結果及證明</b></p><p>　　由引理1.3我們知道n階k-冪零矩陣A的Jordan標準型為，其中（），且至少存在一個j，使</p><p>　　當k=2，由推論3，任一個2-冪零矩陣，若它的秩確定，則它有唯一的一種Jordan標準型。</p><p>　　那么對于

9、k ，（k為大于2的正整數(shù)）任一個k-冪零矩陣,若它的秩固定，它是否也有唯一的Jordan標準型，若不唯一，它又含有多少種的Jordan標準型？</p><p>　　下面我們對3-冪零矩陣進行探討：</p><p>　　設A為n 階3-冪零矩陣，由引理1.3知A的Jordan標準型為，（），，且，至少存在一個j，使 不妨設，則</p><p>　　下面我們對討論

10、的值的情況（）及所對應的A的秩r</p><p>　　(下面括號里的數(shù)表示秩的大小)</p><p>　　同理我們可以得出的情況</p><p>　　將列表，得到階數(shù)為n的3-冪零矩陣，當其秩為r時所含有的不同的Jordan標準型的個數(shù)（空格表示0）</p><p>　　由上述表格，我們可以得出</p><p>　　定

11、理2.1：n階3-冪零矩陣，它的秩</p><p>　　證明：利用引理1.3及秩的性質顯然。</p><p>　　定理2.2：設秩為r的n階3-冪零矩陣的Jordan標準型共有種，</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　則若e=1,2,3時，</p><p><b&g

12、t;　　當，則</b></p><p>　　當，若為整數(shù)，即存在一個正整數(shù)b,使得＝a+b</p><p>　　若不是整數(shù)，則為整數(shù)，因為</p><p>　　所以即存在一個正整數(shù)b,使得=a+b</p><p>　　則若（e=1,2,3）</p><p><b>　　若</b><

13、;/p><p><b>　　當則,</b></p><p><b>　　當則若</b></p><p><b>　　即若，當，則</b></p><p><b>　　當 </b></p><p><b>　　若，當，則<

14、/b></p><p><b>　　當 </b></p><p><b>　　若當，則</b></p><p><b>　　當 </b></p><p><b>　　若，若則,</b></p><p><b>　　若

15、當</b></p><p><b>　　其中b表示正整數(shù)。</b></p><p><b>　　證明：當時，</b></p><p>　　若討論的值及秩r（表格中括號里的數(shù)表示秩的個數(shù)）</p><p>　　令即J（0，3）表示3階Jordan塊</p><p>

16、<b>　　同理可得</b></p><p>　　含7個的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含8個J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含9個J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含10個

17、J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p><b>　　不妨設可看到數(shù)列</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當設至少存在x個J（0，3），</p><p><b>　　則有，</b></p>

18、<p>　　設至少存在y個J（0，3），</p><p><b>　　則有，</b></p><p>　　即含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的J

19、ordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的Jordan形矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的一個</p><p><b>　　所以，當即</b>

20、;</p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p>　　2)若同上，討論的值及秩r，可得</p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準

21、型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p>

22、<p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p><b>

23、　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　3)若，同上，可得</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><

24、;p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的

25、A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣一個<

26、;/p><p><b>　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p>　　綜上，當時， 若，則</p><p><b>　　若時，若</b></p>

27、<p><b>　　同上討論可得</b></p><p><b>　　當時， </b></p><p><b>　　1）若時，</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jord

28、an標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p

29、><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p><b

30、>　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　2）若時</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><

31、p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A

32、的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣一個<

33、/p><p><b>　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　3）若時</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為

34、的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p>

35、<p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A

36、的Jordan標準型為的一個</p><p><b>　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p>　　綜上，當時， 若，則</p><p><b>　　時，若</

37、b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　1）若時， </b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>

38、　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jorda

39、n標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p>

40、<p><b>　　所以當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　2）若時</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個<

41、;/p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>

42、;　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan

43、標準型為的矩陣一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p><p><b>　　所以，即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　

44、　3）若</b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個&l

45、t;/p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　

46、　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　若</b></p&g

47、t;<p><b>　　若</b></p><p>　　綜上，當時， 若，則</p><p><b>　　時，若</b></p><p><b>　　當時</b></p><p>　　1）若時，同上，可得</p><p>　　含1個J（0，

48、3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩

49、陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p

50、>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p><p><b>　　即即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p>

51、<p><b>　　2）若時， </b></p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0

52、，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各

53、一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p><p><b>　　當即</b></p><p><b&

54、gt;　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p>　　3）若時，同上，可得</p><p>　　含1個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含2個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含3個

55、J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含4個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為

56、的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p>　　含個J（0，3）的A的Jordan標準型為的矩陣各一個</p><p><b>　　所以，當時，</b></p><

57、p><b>　　所以，當即</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　若</b></p><p>　　綜上，當時， 若，則</p><p><b>　　時，若</b></p><p>　　推論

58、1：若n階3-冪零矩陣的秩為r，則它至多存在種Jordan標準型; 特別地，當r=2及r=3時，它只有一種Jordan標準型。</p><p><b>　　則有下面推論：</b></p><p>　　推論2：秩不大于3的兩個3-冪零矩陣相似的充要條件是它們的秩相等。 </p><p>　　由定理2.2，我們還可以得到n階3-冪零矩陣的所有Jor

59、dan標準型的個數(shù)，即下面定理：</p><p>　　定理2.3：設n階3-冪零矩陣的Jordan標準型共有m種，則：</p><p><b>　　當，</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　當，</b></p><p&

60、gt;<b>　　若</b></p><p><b>　　當，</b></p><p><b>　　若</b></p><p><b>　　當，</b></p><p><b>　　若</b></p><p>

61、<b>　　證明：當時，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><p

62、><b>　　當時，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><

63、p><b>　　時，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><

64、p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　當時</b></p><p><b>　　當時</b></p><

65、;p><b>　　當時</b></p><p><b>　　綜上，命題得證。</b></p><p><b>　　3、 例題</b></p><p>　　22階3-冪零矩陣，它的秩最大可能達到多少？共存在多少種Jordan標準型？若它的秩為8，則存在多少種Jordan標準型？若秩為13呢？<

66、;/p><p>　　解：因為，而，所以=14</p><p><b>　　而</b></p><p>　　所以22階3-冪零矩陣，它的秩最大可能達到多14，共存在40種Jordan標準型，若它的秩為8，則存在4種Jordan標準型，若秩為13，存在3種Jordan標準型</p><p><b>　　參考文獻：<

67、;/b></p><p>　　[1]：李殿龍，隋思漣.2-冪零矩陣的Jordan標準型[J].青島建筑工程學報.2001，22[3]，（83～85）</p><p>　　[2]：韓道蘭，羅雁，黃宗文.冪零矩陣的性質及其應用[J].玉林師范學院學報（自然科學）.2003，24[4].</p><p>　　[3]：北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].高等教育出版社.2

68、001（318～319，350～55）</p><p>　　[4]：袁秉成.高等代數(shù)[M].東北師大出版社.1992（180～222）</p><p>　　[5]：華羅庚，萬哲先.典型群[M].科技出版社.1963（45～60）</p><p>　　[6]：趙樹嫖.線性代數(shù)[M].中國人民出版社.1997（107）</p><p>　　[7]

69、：張遠達.線性代數(shù)原理[M].上海教育出版社。1997（140）</p><p>　　[8]：陳景良，陳向輝.特殊矩陣[M].清華大學出版社.2001（205～236）</p><p>　　[9]：程云鵬.矩陣論（第二版）[M].西北工業(yè)大學出版社.2000（168～196）</p><p>　　[10]：P.Lancaster and M.Tismenetsky.

70、 The theory of matrix with application[M]. 2nd edn. Acaden Press, New York, 1985</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In this paper, it mainly about Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent

71、 Matrix and 3-nilpotent Matrix. It give the Jordan’s Normal Form of 2-nilpotent, and prove 2-nilpotent Matrix have only one Jordan’s Normal Form when its rank fixed. It also derive and prove how many the Jordan’s Normal

72、Form are about 3-nilpotent Matrix of n-order, and derive and prove how many the Jordan’s Normal Form are when its rank fixed about 3-nilpotent Matrix of n-order.</p><p>　　Key Words: k-nilpotent Matrix, 2-nil

73、potent Matrix, 3-nilpotent Matrix, Jordan’s Matrix Jordan’s Normal Form, characteristic polynomial, characteristic root, elementary factor, rank</p><p><b>　　致謝：</b></p><p>　　感謝楊忠鵬教授