數學論文-正定矩陣集上的凹性定理

1、<p>　　正定矩陣集上的凹性定理</p><p>　?。ㄐ⒏袑W院 數學系021113132，湖北 孝感432100）</p><p>　　摘 要：本文將數學分析中的凹（凸）函數概念拓廣到正定矩陣集上，給出了Minkovski不等式的一種簡單證法，進而證明了本文的主要結果：</p><p>　　對任意正定矩陣、及，有</p><p>

2、;<b>　　.</b></p><p>　　關鍵詞：正定矩陣；凹性定理；Minkovski不等式</p><p>　　A Concavity Theorem Of Positive</p><p>　　Definite Matrix Set</p><p>　　LU Lan-qiu</p><p&g

3、t;　　(Dept.Math.,XiaoGan University 021113132,XiaoGan 432100,HuBei)</p><p>　　Abstract:In this paper,we generalize the concave function’s conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set

4、,we also give a simple proof of Minkovski inequality,and then prove the major conclusion: </p><p>　　For any positive definite matrix 、and，we have </p><p><b>　　.</b></p><p&

5、gt;　　Key words:Positive definite matrix; Concavity theorem;Minkovski inequality.</p><p><b>　　0 引言</b></p><p>　　矩陣的行列式是矩陣中的一個重要概念，它在線性方程組和矩陣的特征值等方面有相當重要的地位，人們對于有關矩陣的行列式不等式已經得到了一些漂亮的結

6、果，比如Minkovski不等式[1]：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　本文將給出這個不等式的一種新證法，適用于更廣泛的一類矩陣，還有Fanky</p><p><b>　　凹性定：</b></p><p><b>　　（2）</b></

7、p><p>　　利用不等式的一個重要性質：幾何平均值不小于算術平均值，由不等式（1），可</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　進一步化為</b></p><p><b>　?。?/p>

8、3） </b></p><p>　　對（3）兩邊取對數，得到</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　能否將（4）推廣到更一般的結果，即若、為正定矩陣，對任意的，</p><p><b>　　是否有</b></p><p><b>

9、;　?。?）</b></p><p>　　本文將證明這一結論，同時將數學分析中的凹（凸）函數概念進行推廣，定義正</p><p>　　定矩陣集上的凹（凸）函數，最后考慮了給出正定矩陣集上的凹函數的一些應用．</p><p>　　本文將建立關于正定矩陣的幾個引理，借助這些結論，用一種較為初等的方法證明正定矩陣的Minkovski不等式，最后證明我們的主要結

10、果，即：</p><p>　　定理　對任意正定矩陣、及，有</p><p>　?。?（6）</p><p>　　本文用表示實數域，用、分別表示是矩陣的轉置和行列式，用表示所有矩陣構成的線性空間．</p><p><b>　?。薄』靖拍?lt;/b></p><p>　　定義1[3

11、]　設是實對稱矩陣，如果對所有非零的，有</p><p>　　則稱為正定二次型，而稱為正定矩陣.</p><p>　　實對稱矩陣是正定矩陣有多種等價定義形式，幾種常見的等價命題是[3]：</p><p>　　引理1[3]　設為級實對稱矩陣，則下列命題等價：</p><p><b>　　(ⅰ)為正定矩陣；</b></

12、p><p>　　(ⅱ)合同于單位矩陣；</p><p>　　(ⅲ)的所有順序主子式全大于零；</p><p>　　(ⅳ)的正慣性指數為；</p><p>　　(ⅴ)的的所有特征值全大于零；</p><p>　　定義2[4] 設在上有定義，如果對,及0，成立不等式</p><p>　　則稱是上的凹函

13、數.如果不等號反向，則稱是上的凸函數.</p><p>　　下面，我們把數學分析的凹（凸）函數概念推廣為</p><p>　　定義3 設為在一個定義在上的實函數，如果對任意的正定矩陣、及任意，都有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　稱是正定矩陣集上的凹函數. 如果不等號反向，則稱是正定矩

14、陣集上的凸函數.</p><p>　　比較根據定義2與定義3可知，正定矩陣集上的凹（凸）函數與通常的凹（凸）函數相比較，它實際上是一種強凹（凸）函數.當是正定矩陣集上的凹（凸）函數時，它一定也是(0,)上的凹（凸）函數，這可以從正定矩陣、都取矩陣，即都取正實數看出；反之，對一般的凹（凸）函數，它們未必一定是正定矩陣集上的凹（凸）函數. </p><p>　　對于，由，可知是上的凹函數，本文

15、的主要結果說明了同時還是是正定矩陣集上的凹函數.</p><p>　　定義4[5] 任意，若存在可逆矩陣，使得</p><p>　　、同時為(主對角元素為非負實數)的上三角矩陣，則稱、為可廣義同時(非負)上三角化，當時，則稱、可同時(非負)上三角化.</p><p>　　根據文獻[5]及[6]中的結果，有</p><p>　　對，若、滿足下

16、列條件之一，則它們可廣義同時上三角化：</p><p><b>　　(ⅰ) 或；</b></p><p>　　(ⅱ) 、為正定矩陣；</p><p>　　(ⅲ) 的特征根為非負實數；</p><p>　　(ⅳ) ,且、的特征根為非負實數</p><p>　?。病∫砼c定理的證明</p>

17、<p>　　為證明主要結果及討論正定矩陣集上的凹（凸）函數，下面，我們給出一些引論.</p><p>　　引理1　設、是實對稱陣，是正定陣，則存在實可逆陣，使</p><p><b>　　為對角陣.</b></p><p>　　證明　由于是正定陣，從而合同于，即存在實可逆陣，使,而仍為實對稱陣，從而存在正交陣，使</p>

18、;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中是的特征值，令，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是，有</b></p><p><b>　　（9）</b></p><

19、p>　　注:　利用本證明方法，可以得出正定矩陣的一個重要結果：</p><p>　　引理2　設、都是正定矩陣，則存在實可逆陣，使</p><p><b>　　，，這里，.</b></p><p>　　證明　仿照引理1的證明，只需注意到為正定矩陣，引理得證.</p><p>　　引理3[7]　對任意正定矩陣、，都有&

20、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理4[5] (赫爾特不等式)　設，，，則</p><p>　　證明　當時，不等式顯然成立，當或時等式成立；</p><p><b>　　當時，記，則有</b></p><p><b>　　所以，即得<

21、;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令則有</b></p><p><b>　　引理2成立.</b></p><p>　　結合引理[1]、引理[2]、引理[3]，我們給出著名的Minkovski不等式的一個簡單證法，即下面的命題：

22、</p><p>　　命題（Minkovski不等式）設、是正定矩陣，則</p><p>　　證明　由引理2，存在實可逆陣，使</p><p>　　，　　　 　?。?0）</p><p><b>　　因此，有</b></p><p><b>　　（11）</b></

23、p><p><b>　　這里，.</b></p><p>　　對（10）、（11）取行列式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到，則</b></p&

24、gt;<p><b>　　得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　再由引理3的結論：</b></p><p><b>　　，</b>&l

25、t;/p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　命題得證．</b></p><p>　　最后，我們來證明本文的主要結果</p><p><b>　　定理的證明　</b>&l

26、t;/p><p><b>　　要證　，即證</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p>　　由引理1，可逆矩陣，使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　同理，有　　</b>&l

27、t;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　化簡為</b></p><p><b>　　即證</b></p><p>　　由引理4中赫爾特不等式的特例(的情形)：<

28、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　從而，證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論1 若、可同時非負上三角化，即存在可逆實矩

29、陣，使得</p><p><b>　　與</b></p><p>　　成立，這里都是非負實數，.則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明　類似于定理1的方法可證，這里從略.</p><p>　　推論2 對，若、滿足下列條件之一：</p>

30、;<p><b>　　(ⅰ) 或；</b></p><p>　　(ⅱ) 、為正定矩陣；</p><p>　　(ⅲ) 的特征根為非負實數；</p><p>　　(ⅳ) ,且、的特征根為非負實數</p><p><b>　　則</b></p><p><b&g

31、t;　　.</b></p><p>　　證明　根據文獻[5]及[6]中的結果，當、滿足上述條件之一時，、可同時非負上三角化，由推論1即得本推論結論成立.</p><p>　　致謝：感謝數學系胡付高副教授的悉心指導.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Bellman R.

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