基于保單進(jìn)入過程的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論及其應(yīng)用.pdf

1、風(fēng)險(xiǎn)理論是應(yīng)用概率論的重要分支之一，是保險(xiǎn)數(shù)學(xué)的主要研究方向.本文針對(duì)我們近年提出的基于進(jìn)入過程的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型(我們稱為L(zhǎng)IG模型)，在概率極限理論、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論、重尾分布理論以及可靠性理論的基礎(chǔ)上，從風(fēng)險(xiǎn)過程的極限性質(zhì)、凈支付過程的精細(xì)大偏差到破產(chǎn)概率的上界、破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)等方面對(duì)這一模型進(jìn)行了研究，得到了一系列有意義的結(jié)果。作為一個(gè)應(yīng)用，我們還將LIG模型與可靠性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，導(dǎo)出了一類推廣的累積沖擊模型，得到了沖擊過程的極限性

2、質(zhì)、系統(tǒng)壽命的分布等結(jié)果。本文的結(jié)論不僅豐富了保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論，而且對(duì)隨機(jī)和的理論及應(yīng)用研究進(jìn)行了有價(jià)值的探索。
　　 本文內(nèi)容分為七章。第一章首先綜述了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)理論研究的發(fā)展歷程，列出了一些重要的結(jié)論，并對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的各種推廣形式進(jìn)行了總結(jié)。在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)保險(xiǎn)公司運(yùn)營(yíng)過程的分析，我們認(rèn)識(shí)到保單進(jìn)入過程和賠付過程之間具有密切的關(guān)系，并據(jù)此建立LIG模型。與經(jīng)典模型不同，該模型從保單開始進(jìn)入起即進(jìn)行跟蹤記錄，直至保期結(jié)束。這樣的

3、記錄沒有任何信息損失，能夠忠實(shí)地反映保險(xiǎn)公司的運(yùn)營(yíng)過程.本文的結(jié)論表明，LIG模型是對(duì)經(jīng)典保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣和發(fā)展，具有更為現(xiàn)實(shí)的背景。
　　 第二章將盈余過程置于現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)環(huán)境中考慮，構(gòu)造了帶利息力的模型，研究風(fēng)險(xiǎn)過程的極限性質(zhì)。在進(jìn)入過程為非齊次Poisson過程的假設(shè)下，風(fēng)險(xiǎn)過程自然具有無(wú)窮可分性；利用無(wú)窮可分理論，我們可以得到關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)過程弱極限性質(zhì)的三個(gè)主要結(jié)果。首先，依據(jù)Feller的canonical測(cè)度理論，我們得

4、到了正則化風(fēng)險(xiǎn)過程依分布收斂到stable分布的條件：H(x；t，s)∈DA(Gα)，0＜α＜2.即當(dāng)每張保單的凈利潤(rùn)屬于某一stable分布的吸引域時(shí)，正則化風(fēng)險(xiǎn)過程弱收斂到指標(biāo)相同的stable分布。其次，為使這一結(jié)論更加具體，我們針對(duì)一個(gè)特殊的模型,進(jìn)一步討論當(dāng)索賠額Y是正則尾變化的隨機(jī)變量時(shí)風(fēng)險(xiǎn)過程的弱收斂性質(zhì)。最后，我們應(yīng)用這個(gè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)當(dāng)不同保期保單的賠付額Yj服從不同正則指數(shù)的重尾分布時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)過程的極限性質(zhì)將由諸正則指數(shù)中

5、的最小者決定.這是一個(gè)非常有意義的結(jié)果。
　　 在第三章，我們建立了重尾索賠條件下風(fēng)險(xiǎn)過程的精細(xì)大偏差結(jié)果.精細(xì)大偏差是保險(xiǎn)數(shù)學(xué)的理論主題之一，近年來(lái)許多學(xué)者把研究焦點(diǎn)集中于重尾賠付下總索賠額過程的大偏差性質(zhì)。對(duì)于經(jīng)典模型，其本質(zhì)是研究隨機(jī)變量的隨機(jī)和的精細(xì)大偏差.本章則針對(duì)LIG模型，首先在進(jìn)入過程為非齊次Poisson過程的假設(shè)下，當(dāng)索賠額的分布屬于C族時(shí)，得到了單一險(xiǎn)種保單條件下風(fēng)險(xiǎn)過程的精細(xì)大偏差結(jié)果.以此為基礎(chǔ)，當(dāng)保險(xiǎn)

6、公司提供k類不同險(xiǎn)種的保單時(shí)，同樣在C族中，我們可以得到風(fēng)險(xiǎn)過程的精細(xì)大偏差結(jié)果.值得注意的是，由于LIG模型的結(jié)構(gòu)，本章研究的問題是關(guān)于隨機(jī)過程的隨機(jī)和的精細(xì)大偏差。
　　 破產(chǎn)概率是保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論最為關(guān)注的內(nèi)容之一.第四章主要在輕尾索賠條件下，通過適當(dāng)定義安全負(fù)載，討論LIG模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率和最終破產(chǎn)概率?！?.1回顧了經(jīng)典的Lundberg-Cramér風(fēng)險(xiǎn)理論，使本章的討論具有適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)?！?.2針對(duì)一類特殊的風(fēng)險(xiǎn)模

7、型，通過鞅構(gòu)造方法得到了最終破產(chǎn)概率的指數(shù)上界。將這個(gè)模型推廣到更一般的情況，通過它與一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過程的關(guān)系，我們?cè)俅卫明狈椒ㄔ凇?.3、§4.4建立了LIG模型的最終破產(chǎn)概率的指數(shù)上界，并通過計(jì)算各階矩和數(shù)值模擬對(duì)該上界進(jìn)行了分析?！?.5討論了有限時(shí)間破產(chǎn)概率，分別得到兩類上界.本章關(guān)于破產(chǎn)概率的結(jié)果與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的相應(yīng)結(jié)果是類似的。
　　 第五章的研究對(duì)象是重尾索賠條件下的破產(chǎn)概率，這是經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)理論的重要研究?jī)?nèi)容，也

8、是近年來(lái)保險(xiǎn)數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)。首先，當(dāng)索賠額屬于次指數(shù)分布族時(shí)，針對(duì)一次和多次索賠模型，我們得到了當(dāng)進(jìn)入過程是非齊次Poisson過程下，LIG模型的有限時(shí)間破產(chǎn)概率的漸近表達(dá).其次，我們將進(jìn)入過程推廣到更新過程，并考慮帶有常數(shù)利息力的情形，在索賠額具有正則尾分布的條件下也得到了最終破產(chǎn)概率的漸近表達(dá)。作為推論，還得到了齊次Poisson進(jìn)入過程條件下最終破產(chǎn)概率的一個(gè)簡(jiǎn)潔表達(dá).本章結(jié)果表明，對(duì)于LIG模型，我們不僅可以得到與經(jīng)典模型類似

9、的破產(chǎn)概率漸近性質(zhì)，而且可以將進(jìn)入過程推廣到更新過程。
　　 第六章討論LIG模型的應(yīng)用。通過與沖擊模型的基本結(jié)構(gòu)的比較，我們發(fā)現(xiàn)LIG模型恰好對(duì)應(yīng)著一類具有發(fā)射噪聲結(jié)構(gòu)的累積沖擊模型，這是對(duì)經(jīng)典的累積沖擊模型的一個(gè)推廣.基于這一發(fā)現(xiàn)，我們的LIG模型以及前幾章的結(jié)論將不僅在理論上、而且在現(xiàn)實(shí)方面具有了更廣泛的背景。在本章，我們將依據(jù)前文有關(guān)方法和結(jié)果獲得推廣的累積沖擊過程的弱極限定理，并得到不同沖擊(輕尾及重尾分布)條件下系統(tǒng)