中學數學中的一些解題思想和方法的研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　中學數學中的一些解題思想和方法的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數學與應

2、用數學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數學思想方法對人們學習和應用數學知識解決問題的過

3、程中的思維活動，起著指導和調控的作用。數學思想是數學的靈魂，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學方法和數學思想的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”。</p><p>　　為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本文大致的介紹了中學數學基本解題方法：配方法、數形結合法、化歸法、構造法以及數學的基本思想。</p><p>　　精

4、通解題方法，可以夯實解題基本功，增強解題技巧，提高解題效率，促進對數學知識的熟練掌握。</p><p>　　關鍵詞：中學數學；解題；方法；思想；數學思維。</p><p>　　Some of the middle school mathematics problem-solving thoughts and methods of research</p><p>　

5、　Abstract:The method of mathematics plays the role of guidance and regulation for people to learn and applied mathematics knowledge to solve the problem in the process of thinking activity. The thought of mathematics is

6、the soul of mathematics. Knowledge is foundation, methods is means, thought is deepening. Enhance mathematics quality core is to improve students' mathematical method and mathematical thought understanding and using.

7、 Mathematics quality integrated embodiment is "ability". In order</p><p>　　Key words: middle school mathematics; Problem solving; method; thought; the thought of mathematics.</p><p>&l

8、t;b>　　目錄</b></p><p>　　1 中學數學的解題方法和思想1</p><p>　　1.1 中學數學常見的解題方法和思想1</p><p>　　1.2 數學解題方法和思想的培養(yǎng)2</p><p><b>　　2 化歸法3</b></p><p>　　

9、2.1 化歸法的概念3</p><p>　　2.2 數學中的化歸思想3</p><p>　　2.3 化歸法在中學數學教學解題中的應用5</p><p><b>　　3 數形結合6</b></p><p>　　3.1 數形結合的思想方法6</p><p>　　3.2 數形結合

10、法在解題中的應用7</p><p><b>　　4 構造法9</b></p><p>　　4.1 構造法的思想方法9</p><p>　　4.2 構造法證明不等式11</p><p><b>　　5 換元法12</b></p><p>　　5.1 換元法在

11、解方程中的巧用12</p><p>　　6 數學思維14</p><p>　　6.1 數學的直覺思維14</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數學直覺思維15</p><p><b>　　總 結17</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p>

12、<p><b>　　參考文獻18</b></p><p>　　1 中學數學的解題方法和思想</p><p>　　1.1 中學數學常見的解題方法和思想</p><p>　　在中學數學教學中，數學解題思想和方法有很多，最常見的有數形結合思想、構造思想、化歸思想、換元思想、集合映射思想、邏輯分類思想等等。又有人稱之為數形結合方法、構造

13、法、換元法、參數法等；也有人干脆合二為一，稱數形結合思想方法、構造思想與方法。時而思想變成了方法，時而方法又成了思想。其實，并非人們不知道思想和方法的區(qū)別，這正說明了數學思想與數學方法關系密切。但是，無論二者關系如何密切，仍為不同的體系。</p><p>　　方法屬于方法論的范疇，是在思想指導下，進行實踐操作的各種手段和經驗的總結，方法是指向實踐的，是理論用于實踐的中介，方法是實施有關思想的技術手段。</p

14、><p>　　思想屬于世界觀的范疇，是人們對自然界、人類社會和思維發(fā)展各領域認識的客觀反映。常常指導人們的實踐活動。思想是相應方法的精神實質與理論依據。</p><p>　　所以，數學解題思想就是從數學問題的解決過程中提煉出來，并能反應解題規(guī)律的文字性理論，是對加工處理問題信息時所運用的方法、所采取的手段以及思維活動的本質反映。它對問題解決有指導作用。數學解題方法對解題實踐也有一定的指導作用，

15、但它不及數學解題思想抽象、概括、深刻，指導我們解題實踐活動的范圍也不及解題思想廣泛。數形結合、構造、邏輯分類等等都是解題方法，不能作為解題思想。</p><p>　　每道數學題不是只局限于一種解題方法，有時候我們會遇到一題多解，在這種情況下，利用簡單的解題方法可以讓我們在解題過程中節(jié)約很多時間，靈活運用這些解題方法可以把問題變得簡單化。如下面這個例子，可以想到用均值換元法來解題，但我們也可以將它看成是一個幾何問題

16、。</p><p>　　例1.1：實數:、、滿足 ，求的最小值。</p><p>　　方法1：由想到“均值換元法”，于是引入了新的參數，即設，，，代入可求。</p><p>　　解：由，設，，，其中，</p><p><b>　　∴ ＝＝</b></p><p><b>　　=<

17、/b></p><p><b>　　所以的最小值是。</b></p><p>　　方法2：利用數形結合法，將方程看作空間內的一個平面方程，則就是原點到這個平面距離的平方。若把這部分圖形拿出來分析，也就是在一個四棱錐中，求頂點到地面的距離，最后求得最小值是。</p><p>　　數學問題的解決就是人們感知問題情景呈現的各種信息后，把問題信息

18、與認知結構相互作用，尋找問題信息與大腦中認知結構之間的聯系，從而改變大腦認知結構的過程。所以問題解決的過程中包含著兩種活動。第一種活動，就是加工信息所采取的實踐操作活動，即采取哪些方法和手段進行信息加工。第二種活動，是信息加工的思維活動。即支配我們尋找加工信息的方法、策略的內在思維活動。所以，數學解題思想就是對這兩種活動客觀的、內在的、本質的反映。我們認為第一種活動的規(guī)律是化歸思想，第二種活動的規(guī)律是尋舊思想。所以，數學解題思想就是化歸

19、尋舊思想。</p><p>　　1.2 數學解題方法和思想的培養(yǎng)</p><p>　　中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。數學實體內部各單元之間相互滲透和維系的關系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對的數學思想方法，即對數學知識整體性的理解。數學思想方法確立后，便超越了具體的數學概念和內容，只以抽象的形式

20、而存在，控制及調整具體結論的建立、聯系和組織，并以其為指引將數學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數學思想方法不僅會對數學思維活動、數學審美活動起著指導作角，而且會對個體的世界觀、方法論產生深刻影響，形成數學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數學領域向非數學領域的遷移，實現思維能力和思想素質的飛躍。</p><p>　　1、結合初中數學大綱，就初中數學教材進行數學思想方法的教學研究。首先，要通過對教材完整的

21、分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規(guī)律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。</p><p&g

22、t;　　2、以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中。教學計劃的制訂應體現數學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數學教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創(chuàng)設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環(huán)節(jié)，在知識的發(fā)生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。</p&g

23、t;<p>　　3、重視課堂教學實踐，在知識的引進、消化和應用過程中促使學生領悟和提煉數學思想方法。數學知識發(fā)生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設使認知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對知識發(fā)生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動構建科學的認知結構，將數學思想方法與數學知識融匯成一體，最終形成獨立

24、探索分析、解決問題的能力。</p><p><b>　　2 化歸法</b></p><p>　　2.1 化歸法的概念</p><p>　　數學是探求、認識和刻劃自然規(guī)律的重要工具。在學習數學的各個環(huán)節(jié)中，解題的訓練占有十分重要的地位。它既是掌握所學數學知識的必要手段，也是培養(yǎng)和提高數學能力的重要途徑。解題的實質就是把數學的一般原理運用于習題

25、的條件或條件的推論而進行的一系列推理，直到求出習題解答為止的過程。這一過程是一種復雜的思維活動的過程。解決問題的過程，實際是轉化的過程，即對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個（些）已經解決的問題，或容易解決的問題。如抽象轉化為具體，未知轉化為已知，立體轉化為平面，高次轉化為低次，多元轉化為一元，超越運算轉化為代數運算等等。這就是在數學方法論中我們學習到的一種新的思維方法--化歸，這種方法與我們常見的分析和綜合、抽象和概括、歸納和演繹

26、、比較和類比等思想方法不同，“化歸”方法在中學數學教材中是普遍存在，到處可見，與中學數學教學密切相關。如在引入“三角形內角和定理”時，可把三角形的三個角剪下來，可以拼成一個平角，這就是轉化。</p><p>　　所謂“化歸”從字面上可以理解為轉化和歸結。在數學方法中所論及的“化歸”方法是指數學家在解決問題的過程中，不是對問題進行直接攻擊，而是把待解決的問題進行變形，轉化，直到歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的

27、問題中去，最終求獲原問題解答的一種手段和方法。張奠宙、過伯祥著的《數學方法論稿》中指出：“所謂化歸方法，是將一個問題A進行變形，使其歸結為另一個已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就能解決了”。</p><p>　　化歸思想方法被古住今來許多科學家、實際工作者所重視，十七世紀法國數學家笛卡爾經過長期思考，創(chuàng)造了解析幾何理論，他的理論基礎就是利用坐標系把帶有兩個未知數的代數方程看成平面上的一條曲線，從而利用代

28、數方法研究幾何問題。實際上，笛卡爾正是運用化歸的思想方法才創(chuàng)立了解析幾何學。</p><p>　　2.2 數學中的化歸思想</p><p>　　“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經解決或是較為容易解決的問題。因此“化歸”的方向應是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由一般到特殊。而“化歸”的思想實

29、質就在于不應以靜止的眼光，而應以運動、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯系和制約的觀點去看待問題。即應當善于對所要解決的問題進行變形和轉化，這實際上也是在數學教學中辨證唯物主義觀點的生動體現。</p><p><b>　　1、.映射法</b></p><p>　　映射法是用以實現化歸的一種重要方法，所謂映射，是指在兩類數學對象或兩個數學集合的元素之間建立某種“對應關系”。利

30、用映射法解決問題的過程為：首先通過映射將原來的問題轉化為問題A，然后，在求得問題A的解答以后，再通過逆映射求得原問題的解。映射法是實現化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標系，使平面上的點與有序實數對，曲線與方程建立了對應關系，使幾何問題轉化為代數問題。此外復數與復平面上的點、向量也建立起一一對應關系，把向量引進了代數，使復數的代表運算可用向量的幾何運算來進行。</p><p><b>　　恒等變形法

31、</b></p><p>　　在數學解題中，恒等變形占有十分重要的位置，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時，利用恒等變形以實現由未知向已知的化歸，使我們比較容易地求得問題的解。</p><p>　　例2.1：解下列方程</p><p>　　分析：解上面兩個方程，先利用恒等變形把它化為容易求解的方程。</p><p><b

32、>　　可變?yōu)椤?lt;/b></p><p>　　例2.2：求證（）能被6整除。</p><p>　　分析：把原式進行恒等變形，得到=從而，只需證明三個連續(xù)自然數之積能被6整除即可，而這個問題是大家熟知的。</p><p>　　轉化與化歸思想方法是數學中最基本的思想方法。數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，數形結合思想方法體現了數與形的相互轉化；函數

33、與方程思想體現了函數方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化等等。轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。目標簡單化、和諧統(tǒng)一性、目標具體化、標準形式化和低層次化都是化歸的原則；各映射法、分割法和變形法都是轉化的策略；一般化與特殊化的轉化、正與反的轉化、實際問題數學化、常量與變量的轉化等都是化歸的基本策略。正如前面所給出的，實現化歸的方法是多種多樣的。</p><p>　　2.3 化歸法在中學數

34、學教學解題中的應用</p><p>　　一、將未知的問題轉化歸結為已知的知識</p><p>　　將未知的問題向已知的知識轉化，并使未知和已知的知識發(fā)生聯系，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉化經常可達到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數的最值問題有時也可以通過換元轉化為熟悉的二次函數最值問題

35、，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等。</p><p>　　例2.3：求函數的最值</p><p><b>　　分析：引入代換，則</b></p><p>　　將問題轉化為熟悉的二次函數最值問題，極易求解。</p><p><b>　　解：設,則</b></p><p&g

36、t;<b>　　∴</b></p><p><b>　　∵ </b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　且當t=即x=2kπ+時，ymax=+(k為整數)</p><p>　　當t=?1即x=或kπ時，ymin=?1(k為奇數)</p>

37、<p>　　二、將復雜問題轉化歸結為簡單問題。</p><p>　　復雜問題簡單化是數學解題中很常規(guī)的思考方法。若能恰當轉化，可使問題迅速獲解。如果我們引導學生注意分析問題，對問題進行逆向思考，不僅可以加深學生對可逆知識的理解，而且可以提高他們思維的靈活性。</p><p>　　例2.4：求的最大值</p><p>　　分析：該題若運用公式展開相當繁鎖，難

38、以得出結果，若做以下轉化，則非常巧妙。</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　這樣的最大值即可得到。</p><p><b>　　三、數形之間的轉化</b></p><p>　　注意數形的相互

39、轉化，使數形達到和諧的統(tǒng)一，以增強直觀性和形象性及深刻了解數學的內涵，便于發(fā)現和解決實質問題。某些代數問題、三角問題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質，可使那些抽象的概念，復雜的數量關系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結論。</p><p>　　例2.5：求函數f(x)=的最大值。</p><p>　　分析：將函數式變形，得：</p><p>　　

40、上式可看作“在拋物線y=x2上的點P(x,x2)到點A(3,2)，B(0,1)的距離之差”</p><p>　　如圖：由知，當P在AB的延長線上的P0處時，f(x)取到最大值|AB|</p><p>　　所以fmax(x)=。 圖（1）</p><p><b>　　3 數形結合</b></p&

41、gt;<p>　　3.1 數形結合的思想方法</p><p>　　數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。</p><p>　　所謂數形結合，就是根據數與形 之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的

42、思想，實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖像的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。</p><p>　　數形結合的思想是學習和研究數學重要的基本思想之一。它不僅是一種好的解題方法，能使學生在運用它解題時，獲得意想不到的效果，而且可以培養(yǎng)學生思維能力，可以幫助提高學生發(fā)現

43、問題，分析問題，解決問題的能力。形與數的結合是一種重要的解題策略，它能使學生對問題易于理解，易于聯想，易于推測，對解決問題，會起到啟發(fā)、簡化或驗證的作用。</p><p><b>　　例3.1：設</b></p><p><b>　　求</b></p><p>　　分析：分別先確定集合A，B的元素，</p>

44、<p>　　， 圖（2）</p><p>　　然后把它們分別在數軸上表示出來，從數軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：</p><p><b>　　，（公共部分）</b></p><p>　　， （整個數軸都被覆蓋）</p><p>　　

45、，(除去重合部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　， (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　上面的例子，我們若直觀地去求，很難得出正確答案，但是一旦和數軸結合起來，這些幾何問題就可以迎刃而解。</p><p>　　3.2 數形結合法在解題中的應用</p><p>　　一、利用數形結合思想解決

46、集合的問題。</p><p>　　利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題。一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。若利用韋恩圖法則能直觀地解答有關集合之間的關系的問題。例如：</p><p>　　例3.2：有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數、理、化小組的人數分別為28，25，15，同時參加數、理 小組的8人，同時參加數、化小組的6人，

47、同時參加理、化小組的7人，問：同時參加數、理、化小組的有多少人？</p><p>　　分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數理化小組的人數（如圖1），則三圓</p><p>　　的公共部分正好表示同時參加數理化小組的人數。用n表示集合的元素，則有：</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　∴，即同

48、時參加數理化小組的有1人。</p><p><b>　?。▓D3）</b></p><p>　　二、利用數形結合思想解決方程和不等式問題。</p><p>　　利用二次函數的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題。利用二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標是方程f(x)=0的實根，根據二次函數與x軸的交點情況就可以確定方程f(x)=0的實根的情況，于是我

49、們利用函數y=f(x)的圖像可以直觀解決問題。例如：</p><p>　　例3.3：、求不等式的解集</p><p>　　分析：我們先聯想對應的二次函數</p><p>　　的圖像草圖，拋物線開口向下，</p><p>　　與軸沒有交點，很明顯，無論取任何值時</p><p><b>　　都有。即,∴<

50、/b></p><p>　　的解集為空集。而的解集為全體實數。 圖（4）</p><p>　　因此，我們要求一元二次不等式的解集時，只要聯想對應的二次函數的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點情況，便可直觀地看出所求不等式地解集。</p><p>　　利用數形結合思想比較函數值的大小。</p><p>　　一些數值大小的比較

51、，我們可轉化為對應函數的函數值，利用它們圖像的直觀性進行比較．例如：</p><p>　　例3.4：試判斷三個數間的大小順序。</p><p>　　分析：這三個數我們可以看成三個函數： 在時，</p><p>　　所對應的函數值．在同一坐標系內做出這三個函數的圖像(圖3，從圖像可以直觀地看出當時，所對應的三個點的位置， 從而可得出結論：。</p>&l

52、t;p><b>　?。▓D5）</b></p><p><b>　　4 構造法</b></p><p>　　4.1 構造法的思想方法</p><p>　　數學的學習過程，離不開解題。美國數學家哈爾莫斯也曾說過“數學真正的組成部分應該是問題和解，問題才是數學的心臟”。在數學教育中，解題活動可以說是最基本的活動形式。一

53、個好的問題的解決方式往往有多種。用構造法解題是一種即古老又年輕的科學方法，如歐拉“七橋問題”的解決，歷史上許多數學家都曾用構造法解決過數學中的難題。</p><p>　　“構造法”即構造性解題方法，是根據數學問題的條件或結論的特征，以問題中的數學元素為“元件”，數學關系為“框架”，構造出新的數學對象或數學模型，從而使問題轉化并得到簡便解決的方法。這里所說的“元件”可以是函數、數列、向量、曲線定義、幾何圖形、向量、

54、復數與命題等，甚至于構造類比問題使問題轉化，并得到明確解決，構造“元件”是手段，轉化問題是策略，解出數學問題是目的。在中學數學課的教學中，引導學生運用構造法解題不僅能提高學生的解題 能力，更重要的是通過這種解題方法的運用可豐富學生的想像力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力。應用構造法解題的關鍵有二：一是要有明確的方向，即要明確為了解決什么問題而建立一個相應的構造；二是要弄清條件 的本質特點，以便重新進行邏輯整合。</p><

55、p>　　用構造法解題時，被構造的對象是多種多樣的，按它的內容可分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、幾何變換、對應、數學模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結規(guī)律：在運用構造法時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造。</p><p><b>　　一、構造

56、輔助數與式</b></p><p>　　在求解某些數學問題時，利用矛盾的對立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結論的內在聯系，探索構造適宜的數或式，來架設解題的通道。</p><p>　　例4.1：當時，求的值.</p><p>　　解：由條件得 所以</p><p><b>　　構造的因式</b></p>

57、;<p><b>　　y===</b></p><p><b>　　==1</b></p><p><b>　　二、構造函數</b></p><p>　　在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解

58、題手段。構造函數證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。</p><p>　　例4.2：證明：如果，那么</p><p><b>　　證明：構造函數</b></p><p>　　易證在R上是奇函數且單調遞增</p><p><

59、;b>　　∴+</b></p><p>　　==lg1 = 0，</p><p><b>　　∴ 即：，</b></p><p>　　又是增函數，∴ 即。</p><p><b>　　三、構造方程</b></p><p>　　方程，作為中學數學的重要內容之一

60、，與數、式、函數等諸多知識密切相關。根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解。構造方程是初等代數的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法。構造方程解題體現了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為3個步驟：</p><p>　　A . 將所面臨的問題轉化為方程問題；</p><p>　　B. 解這個方

61、程或討論這個方程的有關性質（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；</p><p>　　C. 將方程的相應結論再返回為原問題的結論。</p><p>　　例4.3：已知，求證：</p><p>　　分析：設法構造一個一元二次方程，使以其系數或常數項的面目出現，再由得到不等式。</p><p>　　設， 易證，再求得，就是方程的兩個實根,由&l

62、t;/p><p>　　四、構造幾何圖形（體）</p><p>　　例4.4：求函數的值域</p><p><b>　　解析：</b></p><p>　　其幾何意義是平面內動點P（，0）到兩定點</p><p>　　M（2，3）和 N（5，-1）的距離之和（如圖6）為求其值域只要求其最值即可，<

63、/p><p>　　知當M，N，P三點共線（即P在線段MN上）時， 圖（6）</p><p>　　取得最小值，，無最大值，</p><p>　　故得函數的值域為 。</p><p>　　4.2 構造法證明不等式 </p><p>　　在我們的學習過程中，常遇到一些不

64、等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發(fā)，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯想，構造一個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。</p><p><b>　　構造向量證明不等式</b></p><p><b>　　例4.5：求證：<

65、/b></p><p>　　簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，</p><p>　　將左邊看成模的平方，又,為使為常數，</p><p>　　根據待定系數法又可構造</p><p><b>　　于是=</b></p><p><b>　　因為<

66、;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　構造數列證明不等式</b></p><p>　　例4.6：若，求證：。</p><p>　　證明：構造數列，使其通項為</

67、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　∵=，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　即是遞增數列，所以當時，恒有</p><p><b>　　于是。</b></p>

68、<p>　　三、構造函數證明不等式</p><p>　　例4.7：已知|，，，求證：</p><p>　　簡析與證明：原不等式即為：……①</p><p>　　將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當，，時，恒為正數。因而可構造函數，(－1＜a＜1)</p><p>　　若原不等式顯然成立。</p><p>

69、;　　若，則是a的一次函數，在上為單調函數</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　∴，即。</b></p><p>　　此題還可由題設構造不等式</p><p><b>　　兩式相加得：即。</b></p><p><

70、b>　　5 換元法</b></p><p>　　5.1 換元法在解方程中的巧用</p><p>　　在解題過程中，根據已知條件，引入一個或幾個新變量來替代原來的某些量，對新變量求出結果后，返回去再求原變量的結果，這種方法叫做換元法。恰當地換元會使問題向著更熟悉、簡單或容易的方向轉化。</p><p><b>　　整體換元</b&

71、gt;</p><p>　　例5.1：已知：，求的值。</p><p>　　解：設，則與已知聯立解得，。</p><p>　　由，解得或，∴原式的值為0或2。</p><p><b>　　三角換元</b></p><p>　　例5.2：解不等式。</p><p>　　解：設

72、，則原不等式可化為，即，解得，</p><p><b>　　∴，∴，</b></p><p>　　∴原不等式的解集為。</p><p><b>　　和差換元</b></p><p>　　例5.3：求函數的最大值。</p><p><b>　　解：設則由∴</b

73、></p><p><b>　　由得，</b></p><p><b>　　∴=，</b></p><p><b>　　故當時，最大值為。</b></p><p><b>　　增量換元</b></p><p><b>

74、;　　例5.4：,,</b></p><p><b>　　求證：。</b></p><p><b>　　證明 令，又設，</b></p><p><b>　　，其中，</b></p><p><b>　　∴，</b></p>&

75、lt;p><b>　　又，由上式得。</b></p><p><b>　　∴，原不等式得證。</b></p><p>　　五、換元法在初中解方程中運用也很廣泛，其中在整式方程中：</p><p>　　例5.5：解方程 。</p><p>　　分析：這個方程的系數較大，如果利用公式法來解，運算量

76、太大，利用換元法來解，可以將題目系數轉化得比較簡單。</p><p>　　解：設，則原方程變形為：，</p><p><b>　　解得 。</b></p><p><b>　　則有 或 。</b></p><p>　　∴原方程的解為 。</p><p>　　在分式方程中

77、的巧用：</p><p>　　例5.6：解方程 </p><p>　　分析：通過換元法，把看做一個整體，將分式方程轉化為整式方程。</p><p>　　解：設，則原方程變形為 。</p><p><b>　　解得。</b></p><p><b>　　當，解得 ；</b>

78、;</p><p><b>　　當，解得 。</b></p><p>　　經檢驗：原方程的解為，。</p><p><b>　　6 數學思維</b></p><p>　　6.1 數學的直覺思維</p><p>　　所謂數學直覺思維，就是大腦基于有限的數據資料和知識經驗，

79、充分調動一切與問題有關的顯意識和潛意識，在敏銳想象和迅速判斷有機結合下，從整體上單刀直入地領悟數學對象的本質，洞察數學結構和關系的一種思維方式。其實數學直覺思維也是一種很重要的思維形式。直覺思維是人類思維的重要形式，是創(chuàng)造性思維的基礎；直覺思維是未來的高科技信息社會中，能適應世界新技術革命需要，具有開拓、創(chuàng)新意識的開創(chuàng)性人才所必有的思維品質。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。這種思維的實質是對數學對象及其結

80、構、關系的想象和判斷。直覺是人們自覺或不自覺思考時突然產生的創(chuàng)造性設想,縱觀人類科技進步發(fā)展史，許多重大的發(fā)現都是基于直覺：歐幾里得幾何學的五個公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現苯分子環(huán)狀結構更是一個直覺思維的成功典范。因此直覺思維是學生學習素養(yǎng)的一個重要的組成部分。 在目前和今后的數學教學中，如何培養(yǎng)學生的直覺思維能力，發(fā)展學生創(chuàng)新精神，是學科教學的

81、重要任務之一。</p><p>　　在傳統(tǒng)的數學教學中，教師往往過于強調學生要“言之有理，言之有據”，從而忽略了對學生數學直覺思維能力的培養(yǎng)，很少讓學生去感覺、去猜測，由于數學知識的嚴謹性、抽象性和系統(tǒng)性的特點，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，同時，數學教師由于長期受演繹論證的訓練，過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展，也容易忽視直覺思維的存在和作用。在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化

82、、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。</p><p>　　直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點,從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看,有以下三個主要特點：</p><p><b>　　簡約性</b>

83、</p><p>　　直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質”。</p><p><b>　　創(chuàng)造性</b><

84、/p><p>　　現代社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發(fā)散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。</p><p><b>　　自信力

85、</b></p><p>　　學生對數學產生興趣的原因有兩種：一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力

86、，從而更加相信自己的能力。</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數學直覺思維</p><p>　　一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的?！睌祵W直覺是可以通過訓練提高的。</p><p>　?。?)扎實的基礎是產生直覺的源泉</p><p&g

87、t;　　直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出思維的火花的。</p><p>　　(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念</p><p>　　直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉化、對稱性等。美感和美的意

88、識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養(yǎng)數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。</p><p><b>　　(3)重視解題教學</b></p><p>　　教學中選擇適當的題目類型，有利于培養(yǎng)，考察學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性

89、問題教學，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。</p><p>　　(4)設置直覺思維的意境和動機誘導</p><p>　　這就要求教師轉變教學觀念,把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定,對其合理成分及時給予鼓勵,愛護、扶植學生的自發(fā)性直覺思維,以免挫傷學生直覺思維的

90、積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導,解除學生心中的疑惑,使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感?！案杏X走”是教師經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征，重視數學思維方法的教學。</p><p><b>　　總 結</b></p>

91、;<p>　　數學解題思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁。中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。對于同一道數學題，根據個人知識水平不同他們所采取的解題思想與方法也會不同。這就要求教師在教授學生知識的同時培養(yǎng)他們發(fā)散性思維。</p><p>　　數學解題思想方法與數學基礎知識相比較

92、，它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數學解題思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學解題思想方法也還是對你起作用。</p><p>　　本文大致介紹了常用的幾種解題思想與方法，并且在一些例題中體現了各種解