兩點邊值問題的有限元解法【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)設計文獻綜述</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　兩點邊值問題的有限元解法</p><p>　　有限元方法已成為當前求解偏微分方程數(shù)值解的一個重要方法, 從數(shù)學上看, 這種方法起源于變分法, 是古典的變分法與分片多項式插值相結(jié)合的產(chǎn)物, 20世紀

2、50年代初, 從事航空工程、土木結(jié)構(gòu)、水利建設的工程師們開始應用和發(fā)展一種用離散模型代替連續(xù)模型的方法求解各種結(jié)構(gòu)力學問題, 并且逐漸波及各個連續(xù)場領(lǐng)域, 1960年美國人Ray Clough教授首先給出了“有限元方法”這一名稱. Clough教授形象地將其描繪為: “有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況.不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)

3、的Rayleigh Ritz法, 有限元方法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)）, 且不考慮整個定義域的復雜邊界條件, 這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一.對于不同物理性質(zhì)和數(shù)學模型的問題, 有限元求解法的基本步驟是相同的, 只是具體公式推導和運算求解不同.有限元求解問題的基本步驟通常為:</p><p>　　首先討論問題的求解域, 根據(jù)實際問題近似確定求解域的物

4、理性質(zhì)和幾何區(qū)域.并求解域離散化, 將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域, 習慣上稱為有限元網(wǎng)絡劃分; 然后確定狀態(tài)變量及控制方法：一個具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示, 為適合有限元求解, 通常將微分方程化為等價的泛函形式;接下來進行單元推導:對單元構(gòu)造一個適合的近似解, 即推導有限單元的列式, 其中包括選擇合理的單元坐標系, 建立單元試函數(shù), 以某種方法給出單元各

5、狀態(tài)變量的離散關(guān)系, 從而形成單元矩陣.最后將單元總裝形成離散域的總矩陣方程, 反映對近似求解域的離散域的要求, 即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件.并聯(lián)立方程組求解, 有限元法最終導致聯(lián)立方程常用的求解方法如直接法、選代法和隨機法.求解結(jié)果是單元結(jié)點處狀態(tài)變量的近似值.</p><p>　　我國著名數(shù)學家馮康先生說過, 同一物理問題可以有許多不同的數(shù)學形式, 它們在數(shù)學上是等價的, 但在實踐中并不等效, 從

6、不同的數(shù)學形式可能導致不同的數(shù)值計算方法, 原問題的基本特征在離散后應盡可能得到保持. 而基于變分方法的有限元方法正是利用這種思想, 把數(shù)學物理方程中存在大量存在的問題轉(zhuǎn)化為與原問題等價的變分問題, 最后采用數(shù)值方法求解, 這是近現(xiàn)代求解微分方程的一種非常重要的方法, 有著重要的理論和實際意義.因此越來越多的數(shù)學家加入了發(fā)展有限元方法的行列, 使這種方法逐漸擺脫了工程問題的局限性, 成為一種具有嚴密數(shù)學基礎的求解微分方程定解問題的有效方

7、法.</p><p>　　本文就是對兩點邊值問題的有限元解法進行了討論研究, 其中運用了11篇文獻. 文獻[3]介紹了一些泛函分析的有關(guān)知識; 文獻[4]和[5]是對有限元方法的一些基本理論作了一定的介紹,文獻[6]講解了一種解邊值問題比較常用的方法--Galerkin法; 文獻[7,8,9]都介紹了偏微分方程數(shù)值解的兩類主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文獻[9]還介紹了偏微分方程數(shù)值處理中的基

8、本思想、有關(guān)理論、有效算法和數(shù)值例子等內(nèi)容.</p><p>　　在這些文獻中, 文獻[6,7,8,9]對本文的研究起到至關(guān)重要的作用,本文首先引入兩點邊值問題</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　然后參考文獻[6][9], 利用變分原理以及泛函分析基本知識, 可將上述問題轉(zhuǎn)化為等價的變分問題</p>&

9、lt;p><b>　　求, 使, 其中 </b></p><p>　　參考文獻[9], 將的試探函數(shù)和檢驗函數(shù)子空間均取為, 可得近似變分問題</p><p><b>　　求, 使</b></p><p>　　再將上述問題等價的寫成有限元方程的形式</p><p><b>　　求,

10、使 </b></p><p>　　其中為線性元空間的Lagrange節(jié)點基函數(shù). </p><p>　　于是,參考文獻[7] 得到相應的矩陣表達形式</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　這樣, 我

11、們就得到了兩點邊值問題的有限元求解方法, </p><p>　　最后, 我們可以試著討論具體的模型問題</p><p><b>　　, </b></p><p>　　我們可以利用中矩形近似計算積分, 代入上述問題的有限元方程, 可以較為精確求出上述問題的數(shù)值解.</p><p>　　結(jié)合文獻[10]、[11]提供的豐富的

12、理論知識, 我們可以試著探討更廣泛的一些問題的有限元方法求解. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.</p><p>　　[2] 馮康. 基于變分原理的差分格式. 應用數(shù)學與計算數(shù)學, 1965, 2(4

13、):237-261.</p><p>　　[3] 王聲望, 鄭維行等編著. 實變函數(shù)與泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大學出版社, 1987.</p><p>　　[4] 王烈衡, 許學軍編著. 有限元方法的數(shù)學基礎 [M]. 北京: 科學出版社, 2004.</p><p>　　[5] 李開泰, 黃慶懷編著. 有限元方法及其應用 [M]. 北京: 科學出版社,

14、 2006</p><p>　　[6] 李榮華. 偏微分方程數(shù)值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005</p><p>　　[7] 舒適. 偏微分方程典型離散化方法的基本理論與算法分析. 內(nèi)部講義, 2007, 5-68</p><p>　　[8] 李榮華. 邊值問題的Galerkin法[M] . 北京: 科學出版社, 2005</p>&

15、lt;p>　　[9] 陳傳淼, 黃云清. 有限元高精度理論. 湖南科技出版社, 1995</p><p>　　[10]A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166</p><p>　　[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis