數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的若干思考

1、<p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報(bào)</p><p>　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考</p><p><b>　　史寧中</b></p><p>　　(東北師范大學(xué)長(zhǎng)春130024)</p><p>　　編者按史寧中教授是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家．自1998年擔(dān)任東北師范大學(xué)校長(zhǎng)后，他對(duì)中小學(xué)教育做過(guò)深入</

2、p><p>　　的思考，并于2005年開始主持教育部《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂工作．史校長(zhǎng)將學(xué)校的主要培養(yǎng)</p><p>　　目標(biāo)定位于教師的職前教育，主張數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)要注重專業(yè)課的學(xué)習(xí)，將教育理念滲透到課程當(dāng)中．目前</p><p>　　東北師大數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生遍布于全國(guó)各地的中學(xué)，包括各大城市的許多重點(diǎn)中學(xué)，這件事情成為他的驕傲．</p>&

3、lt;p>　　本文根據(jù)史校長(zhǎng)4月14日在寧波數(shù)學(xué)教育高級(jí)研修班上的報(bào)告記錄和4月26日訪問北京師范大學(xué)的座談</p><p><b>　　記錄整理而成．</b></p><p>　　1 制定《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目的</p><p>　　為什么要制定課程標(biāo)準(zhǔn)呢?為什么要進(jìn)行如此</p><p>　　大規(guī)模的課程與教學(xué)改

4、革呢?有的人說(shuō)是要解決應(yīng)</p><p>　　試教育的問題，有人說(shuō)要減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，還有人</p><p>　　說(shuō)要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣等等，有各種各樣的理</p><p>　　由．但是我想這些都不是根本．教育的好壞取決于</p><p>　　兩條：第一，是不是有利予學(xué)生的發(fā)展；第二，是不</p><p>　　是有利于國(guó)

5、家的發(fā)展．如果教育既有利于學(xué)生的發(fā)</p><p>　　展又有利于國(guó)家的發(fā)展，即便辛苦一點(diǎn)也沒什么了</p><p><b>　　不起的．</b></p><p>　　我之所以說(shuō)這些，是因?yàn)樵谟懻搯栴}時(shí)應(yīng)當(dāng)遵</p><p>　　循一個(gè)原則，也就是在考慮任何問題時(shí)應(yīng)該有個(gè)很</p><p>　　好

6、的出發(fā)點(diǎn)，這個(gè)出發(fā)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是大家公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)．</p><p>　　關(guān)于學(xué)生發(fā)展的需要我不想談的更多，過(guò)去的</p><p>　　教育是一種專業(yè)人才的培養(yǎng)，專業(yè)人才的培養(yǎng)適應(yīng)</p><p>　　于計(jì)劃經(jīng)濟(jì)．但是對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來(lái)說(shuō)，學(xué)生畢業(yè)之后</p><p>　　的工作、求職往往是會(huì)變化的，而且要更多地尊重</p><p>

7、　　本人專業(yè)的志向，因此要采用自主發(fā)展的人才培養(yǎng)</p><p><b>　　模式．</b></p><p>　　第二就是國(guó)家發(fā)展的需要．現(xiàn)在國(guó)家最需要的</p><p>　　是創(chuàng)新人才，為什么呢?因?yàn)橹袊?guó)的經(jīng)濟(jì)已經(jīng)得到</p><p>　　了快速的發(fā)展，要保持這個(gè)速度發(fā)展，創(chuàng)新是很重</p><p&

8、gt;　　要的．新的思想、新的工藝、新的技術(shù)很重要，所以</p><p>　　創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是國(guó)家重要的發(fā)展戰(zhàn)略．</p><p>　　創(chuàng)新人才應(yīng)該在基礎(chǔ)教育階段開始培養(yǎng)，這個(gè)</p><p>　　想法已經(jīng)被國(guó)家采用了．過(guò)去大家誤認(rèn)為創(chuàng)新型人</p><p>　　才都是在大學(xué)或者是工作之后才培養(yǎng)的，其實(shí)不</p><p&g

9、t;　　然．為什么呢?創(chuàng)新最起碼依賴于三個(gè)條件，創(chuàng)新意</p><p>　　識(shí)、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新機(jī)遇．事實(shí)上創(chuàng)新意識(shí)、甚至創(chuàng)</p><p>　　新能力都是在基礎(chǔ)教育階段培養(yǎng)．一個(gè)在18歲之前</p><p>　　一個(gè)問題都沒有認(rèn)真思考過(guò)的孩子是不可能成為</p><p>　　創(chuàng)新型人才的．所以在基礎(chǔ)教育階段應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生</p>

10、<p>　　的創(chuàng)新意識(shí)和劊新能力，這是我們研制課程標(biāo)準(zhǔn)和</p><p>　　未來(lái)教學(xué)的最基本的出發(fā)點(diǎn)．</p><p><b>　　2 創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)</b></p><p>　　創(chuàng)新能力依賴于三方面：知識(shí)的掌握、思維的</p><p>　　訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)的積累，三方面同等重要．關(guān)于“知識(shí)的</p>

11、<p>　　掌握”，我國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是沒有問題的；關(guān)于</p><p>　　“經(jīng)驗(yàn)的積累”，大概還差得很多；關(guān)于“思維的訓(xùn)</p><p>　　練”，我們做得也不夠，只能打五十分．那么為了創(chuàng)</p><p>　　新型國(guó)家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工</p><p>　　作．我們沒有更多地在基礎(chǔ)教育階段教孩子如何去<

12、/p><p>　　創(chuàng)新，幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗(yàn)，</p><p><b>　　沒有這樣的意識(shí)．</b></p><p>　　我今天主要談一談思維訓(xùn)練．思維訓(xùn)練主要靠</p><p>　　兩個(gè)能力，一個(gè)是演繹能力，一個(gè)是歸納能力。愛因</p><p>　　斯坦說(shuō)過(guò)：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩

13、個(gè)偉大成就為</p><p>　　基礎(chǔ)，希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系(在歐幾里</p><p>　　德幾何中)，以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出</p><p>　　因果關(guān)系(在文藝復(fù)興時(shí)代，特別是工業(yè)革命以</p><p>　　后)．”前者指的是演繹能力，后者指的是歸納的能</p><p><b>　　力．

14、</b></p><p><b>　　萬(wàn)方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2 數(shù)學(xué)通報(bào)2007年第46卷第5期</p><p><b>　　3 我國(guó)教育的現(xiàn)狀</b></p><p>　　回憶我們的數(shù)學(xué)教育，特別是50年代的數(shù)學(xué)教</p><p>　　育，我們強(qiáng)

15、調(diào)數(shù)學(xué)的雙基．雙基主要是基礎(chǔ)知識(shí)和</p><p>　　基本技能．基礎(chǔ)知識(shí)本質(zhì)上是概念的記憶和命題的</p><p>　　理解，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)；還要求基本技能，主要是</p><p>　　證明的技能和運(yùn)算的技能；要求熟練．這是我們當(dāng)</p><p>　　時(shí)整個(gè)教育的狀況，也就是說(shuō)我國(guó)的數(shù)學(xué)教育主要</p><p>　

16、　關(guān)注的是演繹能力的培養(yǎng)．關(guān)于這一點(diǎn)，楊振寧先</p><p>　　生深有體會(huì)．他在《我的生平》中說(shuō)：“我很有幸能夠</p><p>　　在兩個(gè)具有不同文化背景的國(guó)度里學(xué)習(xí)和工作，我</p><p>　　在中國(guó)學(xué)到了演繹能力，在美國(guó)學(xué)到了歸納能力．”</p><p>　　不僅僅是楊振寧先生，許多留學(xué)生都有同感，不管</p>&l

17、t;p>　　他們是否作出了卓越的成績(jī)，他們的感受是一樣</p><p>　　的．事實(shí)上，我國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是歸納推理，</p><p>　　因?yàn)樵诠糯袊?guó)根本就沒有演繹推理，一直是歸</p><p>　　納、計(jì)算．但是現(xiàn)在歸納少了，演繹反而多了．演繹</p><p>　　從康熙時(shí)代翻譯《幾何原本》開始到現(xiàn)在也不過(guò)幾</p>

18、;<p>　　百年歷史，但是現(xiàn)在卻占了主導(dǎo)．為什么會(huì)出現(xiàn)這</p><p>　　種情況?我想大概演繹和中國(guó)上千年的科舉考試關(guān)</p><p>　　系密切．因?yàn)榭婆e要求的是基本功扎實(shí)，知識(shí)記憶</p><p>　　的牢靠和八股文的寫作．演繹方法與此有相似之</p><p><b>　　處．</b></p

19、><p>　　現(xiàn)在，很多中學(xué)提出來(lái)，數(shù)學(xué)問題應(yīng)該“一看就</p><p>　　會(huì)、一做就對(duì)”．怎么能這樣呢?不經(jīng)過(guò)思考的不是</p><p>　　數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是技能訓(xùn)練．一定程度的熟練是必要</p><p>　　的，但是過(guò)分強(qiáng)調(diào)就走向反面．所以我這次跟教育</p><p>　　部很認(rèn)真地提出來(lái)，要不然增加考試時(shí)間，要不然&

20、lt;/p><p>　　減少考試題目．只要學(xué)生經(jīng)過(guò)思考能夠答出就是好</p><p><b>　　樣的．</b></p><p>　　演繹能力是能夠熟練使用演繹推理的能力．演</p><p>　　繹推理來(lái)源于什么呢?來(lái)源于亞里士多德．當(dāng)時(shí)的</p><p>　　古希臘非常盛行辯論，在辯論過(guò)程中，亞里士

21、多德</p><p>　　發(fā)現(xiàn)兩個(gè)事情需要清楚，第一，大家討論問題得有</p><p>　　一個(gè)脫離邏輯背景的公認(rèn)前提；第二，在討論過(guò)程</p><p>　　中必須有一個(gè)大家都認(rèn)為可行的推理的辦法，然后</p><p>　　再來(lái)推理．亞里士多德對(duì)這個(gè)進(jìn)行了總結(jié)，并將其</p><p>　　寫入《工具論》這本書里．他提出

22、了著名的三段論，</p><p>　　即大前提、小前提和結(jié)論．這個(gè)方面他有一個(gè)非常</p><p>　　重要的推理的模式，這個(gè)模式之一就是：</p><p>　　凡人都會(huì)死，蘇格拉底是人，蘇格拉底會(huì)死．</p><p>　　凡人都會(huì)死是大前提，蘇格拉底是人是小前</p><p>　　提，蘇格拉底會(huì)死是結(jié)論．這是一種標(biāo)準(zhǔn)

23、的三段論</p><p>　　模式．這是一種前提和結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推</p><p>　　理，是基于概念、按照規(guī)則進(jìn)行的一種推理，是由一</p><p>　　般到特殊的推理．歐幾里德把這個(gè)思想成功地用到</p><p>　　了幾何學(xué)的研究上，創(chuàng)立了幾何公理化體系，即歐</p><p><b>　　氏幾何

24、．</b></p><p>　　歐幾里德幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理的典范，甚至是</p><p>　　開源．它的演繹推理是基于公理、定義和符號(hào)的，按</p><p>　　照規(guī)定的法則進(jìn)行命題的證明或者公式的推導(dǎo)．從</p><p>　　這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，計(jì)算也是一種演繹的推理，因?yàn)?lt;/p><p>　　計(jì)算也是對(duì)符號(hào)

25、在規(guī)定的法則下進(jìn)行的一種推理．</p><p>　　其基本推理模式是這樣的：已知A求證B，A和B都</p><p>　　是確定的命題，是由確定的命題到確定的命題的一</p><p>　　種推理．我們往往認(rèn)為幾何證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這</p><p>　　是不正確的．克萊因說(shuō)，推理本身是個(gè)工具．邏輯可</p><p>　　

26、以是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和約定，但不是它的本質(zhì)．演繹推</p><p>　　理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，由</p><p>　　一般到特殊的推理本質(zhì)上在于驗(yàn)證結(jié)論．</p><p>　　前些年我寫了篇文章，提出個(gè)問題：數(shù)學(xué)到底</p><p>　　是發(fā)明的還是發(fā)現(xiàn)的?事實(shí)上，在一個(gè)體系之下作</p><p>　　出

27、任何結(jié)果都是顯然的．為什么呢?因?yàn)檫@個(gè)結(jié)果</p><p>　　在體系中必然存在的，只是你發(fā)現(xiàn)它而已．所以體</p><p>　　系建立有好處也有壞處．它的好處在于講課可以很</p><p>　　規(guī)范，壞處在于任何東西都是顯然的．所以忙于建</p><p>　　立一個(gè)體系不是什么好的事情．</p><p><b&

28、gt;　　4還缺少什么</b></p><p>　　那么我們還缺少什么呢?缺少的是根據(jù)情況預(yù)</p><p>　　測(cè)結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的能力．這兩個(gè)</p><p>　　能力很重要，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)．前者有利于創(chuàng)造新產(chǎn)</p><p>　　品，形成新工藝；后者有利于發(fā)現(xiàn)新理論．</p><p>　　拉

29、普拉斯說(shuō)，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類</p><p>　　比．龐加萊說(shuō)，數(shù)學(xué)推理的性質(zhì)是什么?真是我們通</p><p>　　常所認(rèn)為的演繹嗎?歸納能力是能夠熟練使用歸納</p><p>　　推理的能力．現(xiàn)代歸納推理來(lái)源于培根，他在《新工</p><p>　　具論》中談到，就“幫助人們尋求真理”而言，三段論</p><p

30、>　　的“壞作用多于好作用”。黑格爾也有類似的說(shuō)法．</p><p>　　數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是關(guān)系(各種關(guān)系)，最難研究</p><p>　　的是因果關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)這些年來(lái)最核心的研究也是因</p><p>　　果關(guān)系，因果關(guān)系幾乎無(wú)法用式子表達(dá)，但可以研</p><p>　　究其內(nèi)涵．休謨利用歸納和類比思想研究了因果關(guān)</p>

31、<p>　　系，雖沒完全搞清楚因果關(guān)系，但是對(duì)因果關(guān)系研</p><p>　　究做出了很大的貢獻(xiàn)，而這已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的動(dòng)</p><p>　　力．穆爾在他的著作《論自由》中認(rèn)真地總結(jié)了歸納</p><p><b>　　萬(wàn)方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報(bào)3</p&g

32、t;<p>　　推理．歸納推理十分龐雜，就方法而言，包括枚舉</p><p>　　法、歸納法、類比法、統(tǒng)計(jì)推斷、因果分析，以及觀察</p><p>　　實(shí)驗(yàn)、比較分類、綜合分析．與演繹推理相反，歸納</p><p>　　推理是一種從特殊到一般的推理．穆爾說(shuō)過(guò)，“這句</p><p>　　話不是很確實(shí)的，歸納推理是一種從特殊到范圍

33、更</p><p>　　廣的推理．”歸納推理主要包括兩種方法，歸納法和</p><p>　　類比法．借助歸納推理可以幫助學(xué)生培養(yǎng)預(yù)測(cè)結(jié)果</p><p>　　和探究的能力，這是演繹推理不可比擬的，因此從</p><p>　　方法、思維角度來(lái)說(shuō)，過(guò)去雙基教育缺少了對(duì)歸納</p><p>　　能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生未來(lái)走向社會(huì)

34、不利，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)</p><p><b>　　新人才不利．</b></p><p>　　5 如何培養(yǎng)歸納能力</p><p>　　現(xiàn)在的教育本質(zhì)上是知識(shí)的教育，考察的是該</p><p>　　教的內(nèi)容是否教了，教了的知識(shí)學(xué)生是否掌握了．</p><p>　　這樣的教育是不夠的．我們必須知道教育應(yīng)該是

35、以</p><p>　　人為本的教育，要考慮學(xué)生的全面發(fā)展．不僅考慮</p><p>　　學(xué)生知識(shí)的掌握，還要考慮身心的發(fā)展，要考慮能</p><p>　　力、思維的教育．所以新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)很重</p><p>　　要，除了知識(shí)能力的考察外，還要考察過(guò)程的目標(biāo)、</p><p><b>　　情感態(tài)度的目

36、標(biāo)．</b></p><p>　　演繹推理表現(xiàn)為一種知識(shí)，歸納推理則表現(xiàn)為</p><p>　　一種智慧．知識(shí)和智慧有什么不同呢?我在一篇文</p><p>　　章①中談到，“知識(shí)在本質(zhì)上是一種結(jié)果，可能是經(jīng)</p><p>　　驗(yàn)的結(jié)果，也可能是思考的結(jié)果．”單純追求知識(shí)的</p><p>　　教育是一種

37、結(jié)果的教育，這種教育要走在時(shí)代的前</p><p>　　面是不可能的．“智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果上，也</p><p>　　不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，表</p><p>　　現(xiàn)在思考的過(guò)程中．?‘智慧表現(xiàn)于對(duì)問題的處理，</p><p>　　對(duì)危難的應(yīng)付，對(duì)實(shí)質(zhì)的思考以及實(shí)驗(yàn)的技巧等</p><p>　

38、　等．”歸納能力是建立在實(shí)踐的基礎(chǔ)上的，更多地依</p><p>　　賴于過(guò)程，依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累．</p><p>　　要培養(yǎng)一個(gè)人的創(chuàng)新能力，必須注重過(guò)程，啟</p><p>　　發(fā)思考，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，教會(huì)反思．“過(guò)程的教育”不是指</p><p>　　在授課時(shí)要講解、或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)</p><p>　　程，

39、甚至不是指知識(shí)的呈現(xiàn)方式．而是學(xué)生探究的</p><p>　　過(guò)程、思考的過(guò)程、抽象的過(guò)程、預(yù)測(cè)的過(guò)程、推理</p><p>　　的過(guò)程、反思的過(guò)程等等．討論知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程是</p><p>　　必要的，但是不可能把知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程都重復(fù)一遍，</p><p>　　因此，重要的是加深對(duì)問題本身的理解，并且能夠</p><p&g

40、t;　　抓住問題的本質(zhì)，啟發(fā)新的思考．比如函數(shù)，現(xiàn)在函</p><p>　　數(shù)的定義非常好，但是當(dāng)初并不是這樣定義的．當(dāng)</p><p>　　初“function”是萊布尼茲給出的，他當(dāng)時(shí)定義的只</p><p>　　是圖形與數(shù)量的對(duì)應(yīng)．雖然他的定義是有問題的，</p><p>　　但是他抓住了函數(shù)最本質(zhì)的東西．雖然以后定義改</p&g

41、t;<p>　　的非常好了，本質(zhì)卻看不見了．一個(gè)學(xué)者或發(fā)明家</p><p>　　得到的最后結(jié)論可能是非常完美，但頭腦中思考的</p><p>　　是非常簡(jiǎn)潔的東西．我在教研究生時(shí)，總是讓學(xué)生</p><p>　　先讀懂華麗文章的背后思考的東西是什么、思考的</p><p>　　主線是什么、思考的核心是什么，這個(gè)讀出來(lái)才能<

42、;/p><p>　　發(fā)明創(chuàng)造，把根本的東西吃透了才能得到新的東</p><p>　　西．現(xiàn)在，數(shù)學(xué)課堂上討論的很熱鬧，討論時(shí)是一鍋</p><p>　　粥，討論完了還是一鍋粥．為什么呢?老師必須幫學(xué)</p><p>　　生總結(jié)，不是總結(jié)結(jié)論對(duì)還是錯(cuò)，而是討論過(guò)程中</p><p>　　孩子的思考對(duì)還是不對(duì)，思考的是符合常理

43、還是不</p><p>　　符合常理．老師幫助孩子反思總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，這是</p><p>　　我們的目的．我們必須清楚，世界有很多東西是不</p><p>　　可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷，比如智慧．智慧并不完</p><p>　　全依賴知識(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，</p><p>　　你只能讓學(xué)生在實(shí)際操作

44、中磨練，自己去感悟，去</p><p><b>　　積累去反思．</b></p><p><b>　　下面我舉例說(shuō)明．</b></p><p>　　先講分類．分類是很重要的．可以給小學(xué)三年</p><p>　　級(jí)以下的學(xué)生出這樣的題目：自己選擇某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　

45、將全班同學(xué)分成兩類，并與同學(xué)交流分類的標(biāo)準(zhǔn)和</p><p>　　分類的結(jié)果．分類有個(gè)基本的原則，能把類分出來(lái)，</p><p>　　分類之后得到的結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)符合就行，無(wú)所謂對(duì)</p><p>　　錯(cuò)．分類在數(shù)學(xué)中是很重要的，一個(gè)好的分類必須</p><p>　　抓住事物的本質(zhì)特征．對(duì)于這樣的問題，答案是無(wú)</p><p&

46、gt;　　所謂對(duì)錯(cuò)的，只要分類的結(jié)果與分類的標(biāo)準(zhǔn)一致就</p><p>　　可以．這種問題可以讓學(xué)生體會(huì)到，標(biāo)準(zhǔn)是可以自</p><p>　　己定的，這種思維是創(chuàng)新的根本．如果所有的發(fā)明</p><p>　　創(chuàng)造都是在別人的標(biāo)準(zhǔn)下的發(fā)明創(chuàng)造，這是要吃虧</p><p>　　的，我們要突破這些．所以從小要教給孩子們：數(shù)據(jù)</p>

47、<p>　　可以自己獲取，標(biāo)準(zhǔn)可以自己定，結(jié)論也可以自己</p><p><b>　　給．</b></p><p>　　下面是北大附中張思明老師給出的例子：</p><p>　　如圖所示，桌子上散落著各式各樣的扣子，請(qǐng)</p><p>　　同學(xué)們想一想能把這些扣子分成幾類?分類的標(biāo)準(zhǔn)</p>&l

48、t;p><b>　　是什么?</b></p><p>　?、堋蛾P(guān)于教育的哲學(xué)》，發(fā)表于1998年的《教育研究》第10期</p><p><b>　　萬(wàn)方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　4 數(shù)學(xué)通報(bào)2007年第46卷第5期</p><p>　　這個(gè)問題難一些，可以按照扣子的顏色分類，</

49、p><p>　　也可以按照扣子的眼數(shù)或形狀分類，讓孩子們來(lái)</p><p>　　分．不管開始是怎么分的，這樣分下去，分到一定程</p><p>　　度后，結(jié)果是一樣的．讓學(xué)生知道，可以從不同角度</p><p>　　思考問題，這都是歸納．分類基本思想：從一個(gè)大前</p><p>　　提出發(fā)分出兩類，再細(xì)分，標(biāo)準(zhǔn)逐漸加細(xì)，但

50、最后結(jié)</p><p><b>　　果一樣．</b></p><p>　　到了初中階段，問題就可以更復(fù)雜了：</p><p>　　某電視臺(tái)希望了解本地區(qū)居民喜歡的電視節(jié)</p><p>　　目的類型，請(qǐng)同學(xué)幫助設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案．</p><p>　　這個(gè)問題就十分復(fù)雜了，不同年齡段的人喜歡<

51、/p><p>　　的節(jié)目不同，光知道這個(gè)還不行，還得知道不同年</p><p>　　齡段的人數(shù)占總?cè)丝诘谋壤?；涉及到不同文化背?lt;/p><p>　　及其所占比例；涉及到不同類型的人看電視的時(shí)</p><p>　　問；涉及到需要調(diào)查的人數(shù)等等．在做這個(gè)調(diào)查之</p><p>　　前要把方案設(shè)計(jì)得很周密，分類分得很仔細(xì)，把這

52、</p><p>　　個(gè)特性抓?。?，這個(gè)問題的核心還是在于標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　和結(jié)果的關(guān)系．學(xué)生通過(guò)類似這樣的貫穿始終的訓(xùn)</p><p>　　練，是能夠逐漸領(lǐng)悟歸納的思想的．</p><p>　　下面說(shuō)歸納．歸納這種思想方法與分類有關(guān)，</p><p>　　歸納的基本思路是：在一類事物中，如果我們考察<

53、;/p><p>　　的所有事物都有性質(zhì)A，則認(rèn)為這類事物都具有性</p><p><b>　　質(zhì)A</b></p><p>　　歸納思想在代數(shù)的研究中體現(xiàn)得非常多．比如</p><p>　　高斯曾說(shuō)，在數(shù)論中由于意外的幸運(yùn)頗為經(jīng)常，所</p><p>　　以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理．歐拉則認(rèn)&

54、lt;/p><p>　　為，今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察</p><p>　　所發(fā)現(xiàn)的??這類知識(shí)是通常所說(shuō)的用歸納所獲</p><p>　　得的．包括哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理．下面舉一</p><p><b>　　個(gè)代數(shù)的例子：</b></p><p>　　在一個(gè)房間里有四條腿的椅子和

55、三條腿的凳</p><p>　　子共16個(gè)，如果椅子腿與凳子腿加起來(lái)共有60個(gè)，</p><p>　　有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子?</p><p>　　這是“雞兔同籠”的問題的變形，但是椅子和</p><p>　　凳子相差一條腿，問題相對(duì)簡(jiǎn)單了一些．老師在教</p><p>　　的時(shí)候要靈活一些，不要顯得太聰明，要讓學(xué)生思&

56、lt;/p><p>　　考．對(duì)于低年級(jí)學(xué)生，可以讓學(xué)生列表嘗試：</p><p>　　椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)</p><p>　　16 O 4×16=64</p><p>　　15 1 4×15+3×1—63</p><p>　　14 2 4×14+3×2—62</p&

57、gt;<p>　　這個(gè)方法看起來(lái)很笨拙，實(shí)際上很好，因?yàn)檫@</p><p>　　是歸納．只要掌握了這種方法，孩子們碰到新問題</p><p>　　就會(huì)這樣來(lái)思考了．不要一開始就講道理，孩子就</p><p><b>　　沒有時(shí)間思考了．</b></p><p>　　到了高年級(jí)，可以仍然用嘗試的方法列出方程&

58、lt;/p><p>　　椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)</p><p>　　a=16 16一a=0 4×a+3×(16一口)一64</p><p>　　n一15 16一a=1 4×a+3×(16一口)=63</p><p>　　a一14 16一a=2 4×a+3×(16一口)一62</p&g

59、t;<p>　　再比如，級(jí)數(shù)求和(數(shù)學(xué)歸納法)</p><p>　　A(咒)：1+2+?+咒=n(n+1)／2</p><p>　　B(咒)：12+22+?+艫一n(n+1)(2n+1)／6</p><p>　　C(咒)：13+23+?+礦一?</p><p>　　雖然可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但得事先知道結(jié)</p>

60、<p>　　論，必須先拿數(shù)試一試，然后再用數(shù)學(xué)歸納法．</p><p>　　挖1 2 3 4 5</p><p>　　A(靠) 1 3 6 10 15</p><p>　　B(，1) 1 5 14 30 35</p><p>　　B(，2)／A(挖) 3／3 5／3 7／3 9／3 11／3</p><p>

61、　　B(咒)／A(咒)一(2n+1)／3</p><p>　　B(咒)=A(以)(2n+1)／3一n(n+1)(2n+1)／6</p><p>　　對(duì)于平方和的情況，我們用B(竹)除以A(n)試</p><p>　　一試，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一組比較有規(guī)律的數(shù)，我們可以猜</p><p>　　測(cè)一般的結(jié)果，然后用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證．</p>&

62、lt;p>　　竹1 2 3 4 5</p><p>　　A(砣) 1 3 6 10 15</p><p>　　C(，1) 1 9 36 100 225</p><p>　　C(竹)／A(，1) 1 3 6 10 15</p><p>　　C(咒)一A(，1)·A(他)=矛(，z+1)2／4</p><p&g

63、t;<b>　　萬(wàn)方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　2007年第46卷第5期數(shù)學(xué)通報(bào)5</p><p>　　對(duì)于立方和的情況，試一下，發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)單．事實(shí)</p><p>　　上通過(guò)這種方法可以得到更一般的結(jié)果．</p><p>　　1‘+2‘+3‘+?∥=O(礦H)</p><p>　　對(duì)于k次方

64、和的情形，我們猜測(cè)是一個(gè)∥+1的</p><p>　　式子，再通過(guò)代入咒個(gè)數(shù)求出系數(shù)，從而確定這個(gè)方</p><p><b>　　程．</b></p><p>　　看看幾何中的例子，觀察三棱錐、四棱錐、三棱</p><p>　　柱、五棱錐，我們發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　回念<

65、;/b></p><p><b>　　多面體的歐拉公式：</b></p><p>　　F(面)+V(頂)一E(棱)+2．</p><p>　　再談?lì)惐龋惐仁侵?，一個(gè)事物具有性質(zhì)A、B、</p><p>　　C，就有結(jié)論D；還有一個(gè)事物也具有性質(zhì)A、B、C，</p><p>　　也有結(jié)論D．

66、又有一個(gè)事物也具有性質(zhì)A、_：B、C，它</p><p>　　是否也有結(jié)論D呢?這與歸納有所不同．類比主要</p><p>　　用在幾何里．開普勒說(shuō)過(guò)：“我珍視類比勝于任何別</p><p>　　的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界</p><p>　　的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的．”</p><p>

67、　　比如，平面上三條直線可以形成一個(gè)封閉圖</p><p>　　形；空間上四個(gè)面可以形成一個(gè)封閉圖形．還有龐</p><p><b>　　加萊猜想．</b></p><p>　　這些也許就是“過(guò)程的教育”，讓學(xué)生自己探索</p><p>　　答案，而不一定是通過(guò)講道理分析出答案．通過(guò)“道</p><p

68、>　　理”直接給出公式固然是好的，但是通過(guò)有規(guī)律的</p><p>　　計(jì)算尋求這個(gè)規(guī)律是得到一般結(jié)果的有效手段，特</p><p>　　別是能夠幫助學(xué)生更直觀地理解“道理”．教師在講</p><p>　　課的時(shí)候不能太聰明，教師可以與學(xué)生一起探索嘗</p><p>　　試，這是歸納推理的手法，也是我們過(guò)去的數(shù)學(xué)教</p>

69、<p><b>　　育忽視的地方．</b></p><p><b>　　6如何改變標(biāo)準(zhǔn)</b></p><p>　　我想基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能還是必要的，在此前</p><p>　　提下還要加上基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．希望能夠</p><p>　　繼續(xù)保持促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生

70、</p><p>　　掌握數(shù)學(xué)的基本技能之外，要啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的</p><p>　　基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)．教學(xué)時(shí)間是</p><p>　　有限的，如果加上新的東西就必須對(duì)老的東西進(jìn)行</p><p>　　改造，要節(jié)省出時(shí)間和空間．首先，我們要去掉一些</p><p>　　形式化的東西，應(yīng)當(dāng)清楚：形式不等

71、于邏輯．過(guò)分強(qiáng)</p><p>　　調(diào)形式化不利于學(xué)生思考，這種方法會(huì)把數(shù)學(xué)搞歪</p><p>　　了，就會(huì)走向八股．形式化適用于判卷，對(duì)判斷學(xué)生</p><p>　　是不是清楚地理解了知識(shí)是有利的，但不適于學(xué)生</p><p>　　思考．過(guò)分地強(qiáng)調(diào)形式就把邏輯的本身掩蓋了．其</p><p>　　次，我們還應(yīng)當(dāng)清楚

72、技巧不等于技能，現(xiàn)在反復(fù)訓(xùn)</p><p>　　練的是技巧而不是技能．技巧是對(duì)一個(gè)具體例子或</p><p>　　很窄的范圍才適用的方法．技能是能舉一反三的，</p><p>　　而技巧是個(gè)案的．我們現(xiàn)在訓(xùn)練過(guò)多的是技巧，學(xué)</p><p>　　生因此很累．比如絕對(duì)值中出現(xiàn)字母的情況，我們</p><p>　　的老師往

73、往會(huì)把問題出的很難，最后不知道是在考</p><p>　　察絕對(duì)值還是考察方程的解．還有韋達(dá)定理．我們</p><p>　　需要考的是技能而不是技巧．</p><p><b>　　7關(guān)于基本思想</b></p><p>　　“基本思想”主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當(dāng)是整</p><p>　　個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)

74、的主線，是最上位的思想．演繹和歸納</p><p>　　不是矛盾的，其教學(xué)也不是矛盾的，通過(guò)歸納來(lái)預(yù)</p><p>　　測(cè)結(jié)果，然后通過(guò)演繹來(lái)驗(yàn)證結(jié)果．在具體的問題</p><p>　　中，會(huì)涉及到數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、等量替換、數(shù)形</p><p>　　結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，但最上位的思想還是演繹和歸</p><p>　　

75、納．之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就</p><p>　　是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學(xué)方法</p><p>　　區(qū)別．每一個(gè)具體的方法可能是重要的，但它們是</p><p>　　個(gè)案，不具有一般性．作為一種思想來(lái)掌握是不必</p><p>　　要的，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，學(xué)生很可能就忘卻了．這里所</p><

76、p>　　說(shuō)的思想，是大的思想，是希望學(xué)生領(lǐng)會(huì)之后能夠</p><p>　　終生受益的那種思想方法．</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　如果在我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，一方面保持</p><p>　　“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”這個(gè)合理的內(nèi)核，一方面添加“基</p><p>　　

77、本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，出現(xiàn)既有“演繹能力”</p><p>　　又有“歸納能力”的培養(yǎng)模式，就必將會(huì)出現(xiàn)“外國(guó)</p><p>　　沒有的我們有、外國(guó)有的我們也有”的局面，到了那</p><p>　　一天，我們就能自豪地說(shuō)，我國(guó)的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于</p><p>　　世界．(根據(jù)錄音整理，已經(jīng)本人核對(duì))</p><p&

78、gt;<b>　　萬(wàn)方數(shù)據(jù)</b></p><p>　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考</p><p><b>　　作者： 史寧中</b></p><p>　　作者單位： 東北師范大學(xué),長(zhǎng)春,130024</p><p><b>　　刊名：</b></p><p

79、><b>　　數(shù)學(xué)通報(bào)</b></p><p>　　英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS</p><p>　　年，卷(期)： 2007，46(5)</p><p>　　被引用次數(shù)： 17次</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)(1條)</b></

80、p><p>　　1.關(guān)于教育的哲學(xué) 1998(10)</p><p><b>　　引證文獻(xiàn)(16條)</b></p><p>　　1.周新蓮淺談數(shù)學(xué)題解法的"趣味"[期刊論文]-新課程學(xué)習(xí)（社會(huì)綜合） 2010(2)</p><p>　　2.黃加衛(wèi)芻議"拓展型知識(shí)"欄目中的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)

81、經(jīng)驗(yàn)——以"魔術(shù)師的地毯"為例[期刊論文]-中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高</p><p>　　中版） 2010(1)</p><p>　　3.黃加衛(wèi).姚云翔"數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)"研究綜述[期刊論文]-中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2010(3)</p><p>　　4.王新民.王富英學(xué)案的特點(diǎn)及其教學(xué)價(jià)值[期刊論文]-內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2009(12)&l

82、t;/p><p>　　5.李正銀數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的切入點(diǎn)[期刊論文]-教育實(shí)踐與研究 2009(24)</p><p>　　6.李東民淺談中學(xué)數(shù)學(xué)探究式教學(xué)[期刊論文]-中國(guó)市場(chǎng) 2009(27)</p><p>　　7.鄒施凱走進(jìn)數(shù)學(xué)教育觀的"中間地帶"[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2009(4)</p><p>　　

83、8.沈文選.吳仁芳走進(jìn)教育數(shù)學(xué)——四議數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué)[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2009(4)</p><p>　　9.謝全苗"由惑到悟"的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的構(gòu)建與應(yīng)用[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2009(3)</p><p>　　10.張奠宙中國(guó)數(shù)學(xué)教育在改革與反思中前進(jìn)[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報(bào) 2008(12)</p><p>　　11.張

84、奠宙中國(guó)數(shù)學(xué)教育在改革與反思中前進(jìn)[期刊論文]-人民教育 2008(22)</p><p>　　12.郭玉峰由一本20世紀(jì)20年代的中國(guó)初中平面幾何教材引發(fā)的思考[期刊論文]-課程·教材·教法 2008(11)</p><p>　　13.平方.方程嫦娥告訴您:數(shù)學(xué)就在我們身邊——賞析2008年高考數(shù)學(xué)湖北卷應(yīng)用題有感[期刊論文]-中學(xué)數(shù)學(xué)</p><

85、p><b>　　2008(11)</b></p><p>　　14.陳傳義高中新課程教材的編寫特色及教學(xué)體會(huì)[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報(bào) 2008(8)</p><p>　　15.王新民.王富英.王亞雄數(shù)學(xué)"四基"中"基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)"的認(rèn)識(shí)與思考[期刊論文]-數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2008(3)</p><p>　

86、　16.張奠宙.竺仕芬.林永偉"基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)"的界定與分類[期刊論文]-數(shù)學(xué)通報(bào) 2008(5)</p><p>　　本文鏈接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxtb200705001.aspx</p><p>　　授權(quán)使用：qkxtg4(qkxtg4)，授權(quán)號(hào)：88a58804-6167-4c5e-9ae1-9e1a01