關(guān)于函數(shù)與方程問題的研究【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)與方程問題的研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b></p>

3、<p>　　【摘要】關(guān)于函數(shù)與方程問題的研究主要是針對(duì)高中希望杯高一高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，通過收集整理，按其不同的題型進(jìn)行歸類，針對(duì)各類中的個(gè)案進(jìn)行深入研究和相應(yīng)的分析，并提煉出針對(duì)高中數(shù)學(xué)試題中關(guān)于函數(shù)與方程問題的基本解題發(fā)方法和數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的思維有序化，有條不紊。在解決相應(yīng)問題時(shí)能抓住問題的基本思想和解題關(guān)鍵，提高解題能力。從整體感知、把握競(jìng)賽中有關(guān)函數(shù)與方程的問題的題目，熟悉題目的特征及涉及涵蓋的知識(shí)鏈，針對(duì)自己的知識(shí)

4、點(diǎn)的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，從而提高自己對(duì)題目的靈敏度和應(yīng)用性。在研究中學(xué)習(xí)，于學(xué)習(xí)中探索，從探索中發(fā)現(xiàn)。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】函數(shù)與方程；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)方法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Function and equation problems research is

5、 main for a high school Hope Cup Mathematics Contest papers, through the collection, are classified according to their different kinds of questions, for all types of in-depth case studies and corresponding analysis, and

6、refining out of high school mathematics questions on the basic function and equation solving problems and mathematical ideas, so that students thinking orderly, methodical. The corresponding problem in solving the proble

7、m can gr</p><p>　　【KEYWORDS】function and equation ;mathematical thinking; mathematical method</p><p><b>　　目　錄</b></p><p>　　摘　要錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　Abstract錯(cuò)

8、誤!未定義書簽。</p><p><b>　　目　錄III</b></p><p>　　1引言錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.1問題的提出錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2研究的目的與內(nèi)容錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2.1研究的目的錯(cuò)誤!未

9、定義書簽。</p><p>　　1.2.2研究的內(nèi)容錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.3研究方法錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4課題研究的局限性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4.1研究范圍的局限性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.4.2研究的中試題選取和

10、分類的局限性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2函數(shù)與方程問題的基本題型錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1函數(shù)與方程根的問題錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1.1題型概述錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.1.2案例探究錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.

11、2抽象函數(shù)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.1題型概述錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.2案例探究錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3參數(shù)問題錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3.1題型概述錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.3.2案例探究

12、錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4最值問題錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4.1題型概述錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.4.2案例探究錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1數(shù)學(xué)基本思想錯(cuò)誤!未定義書簽

13、。</p><p>　　3.1.1函數(shù)與方程思想錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1.2數(shù)形結(jié)合思想錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.1.3分類討論思想錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2試題中數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2.1再現(xiàn)性題組錯(cuò)

14、誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2.2應(yīng)用題的轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4復(fù)習(xí)備考建議錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.1扎實(shí)基礎(chǔ)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2初高中知識(shí)與學(xué)法分析錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2.1初高中數(shù)學(xué)的差異

15、錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2.2高中數(shù)學(xué)學(xué)法的改進(jìn)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.3復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練題組錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　5小結(jié)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　5.1試題選取小結(jié)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　5.2函數(shù)與方程課題小結(jié)錯(cuò)

16、誤!未定義書簽。</p><p>　　參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p><b>　　問題的提出</b></p>&l

17、t;p>　　函數(shù)與方程貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，既屬于基礎(chǔ)又是重難點(diǎn)，不僅在歷年高考中備受矚目,其在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中更被視為考察的焦點(diǎn)，該課題主要針對(duì)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一高二試題中有關(guān)函數(shù)與方程問題展開研究。 “希望杯"全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽每年舉行一次，為一屆。 每次舉行兩試，三月中旬第1試，四月中旬第2試。其宗旨簡(jiǎn)潔明確,意在鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課程中最主要的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)赝貙拰W(xué)生的視野,提升擴(kuò)寬知識(shí)面; 啟發(fā)他們關(guān)注

18、數(shù)學(xué)與其它課程的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用；激勵(lì)他們?nèi)ャ@研和探究相關(guān)的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)模型；培養(yǎng)他們科學(xué)的思維能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。賽題中涉及函數(shù)與方程的問題比例高一略高于高二，但總體高于其他知識(shí)板塊，頻率之高更是顯而易見。但學(xué)生在此類問題上的失誤和困難是普遍存在的問題，因此對(duì)于該類試題的研究和探討就顯得必要而由意義。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。當(dāng)解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，往往想用熟悉的題型或者方法去“套”

19、用，這樣做僅僅只是滿足于把題目解答出來，給出正確答案。但是只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通，方能提出新看法、巧解法和相應(yīng)的擴(kuò)展延伸?！跋Ｍ?lt;/p><p><b>　　研究的目的與內(nèi)容</b></p><p><b>　　研究的目的</b></p><p>　　針對(duì)有關(guān)函數(shù)與方程的試題展開解答分析，對(duì)各類題型有一

20、定的認(rèn)識(shí)了解，熟悉題目的特點(diǎn)和變化風(fēng)格，通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的探究加強(qiáng)對(duì)于題目的理解和應(yīng)變能力。話說“萬變不離其宗”，能在解題中達(dá)到以不變應(yīng)萬變，融會(huì)貫通從而達(dá)到提高我們分析解決問題的能力，能讓自己站在更高的位置看待數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)大氣廣闊的數(shù)學(xué)視角。有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)思維和眼光。</p><p><b>　　研究的內(nèi)容</b>&l

21、t;/p><p>　　研究?jī)?nèi)容主要是關(guān)于函數(shù)與方程試題的解答分析以及所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想和方法，針對(duì)此類問題給出一定的學(xué)習(xí)建議和意見。</p><p><b>　　研究方法</b></p><p>　　個(gè)案研究法就是以某一對(duì)象進(jìn)行深入研究的方法。個(gè)案研究的對(duì)象可以是某個(gè)題目，也可以是一類題目或組織機(jī)構(gòu)。本文主要應(yīng)用該方法，對(duì)某個(gè)試題進(jìn)行分析解答，包括

22、它的特點(diǎn)、重難點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等</p><p><b>　　課題研究的局限性</b></p><p><b>　　研究范圍的局限性</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)與方程問題的研究是想當(dāng)具有挑戰(zhàn)性的一個(gè)課題，也是高中數(shù)學(xué)問題中的焦點(diǎn)問題之一。該課題研究只限于“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一高二試題的研究，在研究的范圍

23、和廣度上尚存在不足，對(duì)于其深層的研究和探索具有一定的局限性。</p><p>　　研究的中試題選取和分類的局限性</p><p>　　試題在選取的過程中，主要篩選與函數(shù)與方程問題直接相關(guān)的試題展開解答和分析，但是對(duì)于其再其他類型問題中的應(yīng)用涉及的較少，譬如：函數(shù)與方程在立體幾何中體現(xiàn)，函數(shù)與方程在數(shù)列中的體現(xiàn)等。因此課題在試題的選取上具有較大的擴(kuò)展空間，其全面性和后續(xù)延展性尚存在一定的局限

24、性。</p><p>　　在函數(shù)與方程問題的基本題型的劃分方面，鑒于個(gè)人對(duì)于此類問題掌握和研究的有限性，在分類上面，主要是參考其他一些相關(guān)研究展開，且盡量保持其簡(jiǎn)潔和直觀。但是這就在全面性和專業(yè)性上具有一些不足。</p><p>　　函數(shù)與方程問題的基本題型</p><p><b>　　函數(shù)與方程根的問題</b></p><

25、p><b>　　題型概述</b></p><p>　　高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)中，解決方程的根的問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題通常有兩個(gè)途徑：一是用化歸轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化為一元一次方程（組）、一元二次方程（組）來解決；二是運(yùn)用二分法的思想判斷零點(diǎn)的存在性，進(jìn)行近似計(jì)算。而在解決這些問題的過程中，聯(lián)系函數(shù)的圖象，往往能夠?qū)⒁恍┏橄蟮臄?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形問題，即通過數(shù)形結(jié)合為解題找到突破口，起到事半功倍的效

26、果。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的原因之一就在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，其滲透和延伸的空間相當(dāng)大，也是解決數(shù)學(xué)問題最有效的工具之一，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)和方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，具備初步的數(shù)形結(jié)合的能力基礎(chǔ)之上，得用函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，提高函數(shù)和方程結(jié)合思想的能力。</p&

27、gt;<p>　　函數(shù)零點(diǎn)的定義：我們把函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（the zero of the function）。</p><p>　　零點(diǎn)存在定理：若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)不同，即f(a)·f(b)≤0，則在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解。&l

28、t;/p><p>　　3．方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系</p><p>　　方程有實(shí)數(shù)根　　函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)</p><p><b>　　函數(shù)有零點(diǎn)</b></p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　十屆 1試 (1999 高一)</p>

29、<p>　　24 [t]表示：不大于t的最大整數(shù)，則方程[2x+2]=4x的根是___________</p><p>　　解: 由題意知,令的正地小數(shù)部分為,則有</p><p>　　同理: </p><p><b>　　綜上可得 x=1</b></p><p>　　解析:該題的意圖是考察學(xué)

30、生對(duì)于[t]的認(rèn)知和靈活轉(zhuǎn)換,其中這一關(guān)系是突破該題的關(guān)鍵,這一知識(shí)點(diǎn)通常與求解方程的根相結(jié)合,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化進(jìn)而找出問題的答案。該類問題是競(jìng)賽題中考察的重點(diǎn)之一，其出現(xiàn)頻率也相對(duì)較高,因此應(yīng)引起足夠的關(guān)注和重視， 洞察問題的本源，靈活應(yīng)對(duì)舉一反三。</p><p><b>　　同類型題目如: </b></p><p>　　三屆2試（1992 高二）19、[ x ]表示

31、不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程[ 3 x – 4] – 2 x – 1 = 0的解是 。</p><p>　　十一屆1試 （2000 高一）</p><p>　　8 The root of equation is in the interval of ( A )</p><p>　　A (3,4) B(4,5)

32、C(5,6) D(6,7)</p><p>　　命題意圖：本題的重點(diǎn)是應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理解決方程根的問題，考察轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：零點(diǎn)存在區(qū)間的確定</p><p>　　解： 由題意知：令f（x）=</p><p>　　要求方程的根的問題相當(dāng)于求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，則有</p><p>　　f（3）== = 錯(cuò)誤!未找到引用源。

33、0</p><p><b>　　f（4）= = </b></p><p>　　f（3）．f（3） 錯(cuò)誤!未找到引用源。 由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在區(qū)間（3，4）即方程的根的區(qū)間為（3，4）。</p><p><b>　　答案: A</b></p><p>　　十四屆2試 （200

34、3 高二）</p><p>　　23、設(shè)函數(shù)，其中λ > 0。</p><p>　　（1）求λ的取值范圍，使函數(shù)f ( x )在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；</p><p>　　（2）此種單調(diào)性能否擴(kuò)展到整個(gè)定義域上？</p><p>　?。?）求解不等式2 x –< 12。</p><p>　　解：（1），由，得或

35、，由，得λ ≥，即當(dāng)λ ≥時(shí)，f ( x )在區(qū)間 [ 0，+ ∞ ])上是單調(diào)遞減函數(shù)；</p><p>　　（2）因?yàn)闊o論λ取何值， ，所以此種單調(diào)性不能擴(kuò)展到整個(gè)定義域上；</p><p>　?。?）令t =，則x = t 3 – 1，不等式可化為2 t 3 – t – 14 < 0，即 ( t – 2 ) ( 2 t 2 + 4 t +2 7 ) < 0，而2 t 2

36、+ 4 t + 7 > 0，∴ t – 2 < 0，即t < 2，∴ < 2，x < 7。</p><p>　　解析:該題是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合考察,應(yīng)用到函數(shù)點(diǎn)單調(diào)性的判定,換元法等.求導(dǎo)是判定函數(shù)單調(diào)性的重要方法之一,也兼具方便簡(jiǎn)潔的特點(diǎn),在對(duì)題意深入觀察分析的基礎(chǔ)上判定那種方法更為適用.針對(duì)這種情形的,采用求導(dǎo)簡(jiǎn)化計(jì)算過程.對(duì)其應(yīng)用換元法也具有同等效果.</p>&l

37、t;p>　　十七屆2試 （2006 高一）</p><p>　　9 方程的整數(shù)解地個(gè)數(shù)……………………………………（ ）</p><p>　　A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 </p><p>　　解:分析: 等同于 分以下三種情況:</p><p>　　1) 時(shí)

38、,b可取任意實(shí)數(shù)</p><p>　　2) 時(shí),b只能取0</p><p>　　3)時(shí),b 只能取偶數(shù)</p><p>　　同理: 1) 時(shí)有或, 帶入 =20或-4 符合題意</p><p>　　2) 時(shí), 則有有或(舍去)</p><p>　　3) 時(shí)有或,帶入 = -2或6符合題意</p><

39、;p>　　綜上可知共有5個(gè)整數(shù)解</p><p>　　解析:該題考查深入的觀察思考能力, 該類型求根問題宜采用特殊值法,一般的解題思路易陷入誤區(qū),,求而不得.特殊值法在選擇題中應(yīng)用十分廣泛,其直觀快捷,但要求考生具備深入地觀察能力,靈活的思考應(yīng)變能力,略偏重于解題技巧.</p><p>　　十七屆2試 (2006 高二) </p><p>　　23、已

40、知函數(shù)y = f ( x ) =–。</p><p>　?。?）求的定義域和值域，并證明是單調(diào)遞減函數(shù)； </p><p>　?。?）解不等式–>；</p><p>　?。?）求y的反函數(shù)f – 1 ( x )。</p><p>　　解：（1）由1 – x 2 ≥ 0，得– 1 ≤ x ≤ 1，即定義域?yàn)閇 – 1，1 ]，令（0 ≤

41、θ ≤ π），則y =–</p><p><b>　　=sin+ –</b></p><p>　　= sin– (– 1 ) </p><p>　　=sin (–)，（–≤–≤），</p><p>　　顯然y =sin (–)在[ 0，π ]上是增函數(shù)，所以當(dāng)θ = 0時(shí)，y min = 1 –， 當(dāng)θ = π時(shí)，y

42、max = 1，即值域?yàn)閇 1 –，1 ]，又x = θ在[ 0，π ]上是減函數(shù)，所以y = f ( x ) 在[ – 1，1 ]上也是減函數(shù)；</p><p>　?。?）由sin (–) >，得sin 2 (–) >， ( θ –) < ，+ arc< θ ≤ π，– 1 ≤ θ < (+ arc) =，所以不等式的解集為[ – 1，])；</p><p>

43、;　?。?）由y =sin (–)，可得θ =+ 2 arc，所以x =θ = (+ 2 arc)，所以y的反函數(shù)f – 1 ( x ) = (+ 2 arc)，x∈[ – 1，])。</p><p>　　解析:根號(hào)套根號(hào)的情形是相對(duì)繁瑣,通常應(yīng)對(duì)這類題目都會(huì)采取換元法,通過換元能將根號(hào)去掉,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過程,便于解答.在采用換元法的同時(shí)應(yīng)注意,如何選取替換元時(shí)解題的突破點(diǎn),只有選取正確的的替換元才能順利完成

44、解答過程.因?yàn)槿呛瘮?shù)的有界性和,通常我們會(huì)選取三角函數(shù).</p><p>　　綜上所述，該類問題的類型為：解方程，解不等式，證明（a為參數(shù)）。這些都是考察函數(shù)性質(zhì)和作出函數(shù)圖像的一個(gè)更為一般問題的一部分。這些問題充分利用了我們所知道的函數(shù)的性質(zhì)，所以把方程和函數(shù)問題結(jié)合起來研究是適宜的?？疾旌瘮?shù)性質(zhì)的一般步驟是：（1）研究函數(shù)的周期性和奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)問題。處理這類題目，

45、在掌握其基基本概念，基本性質(zhì)的同時(shí)，要提高自己對(duì)于有題目的分析能力，即針對(duì)不同的題目采取不同的方法解決。運(yùn)用所學(xué)有關(guān)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，圖像和特殊性進(jìn)行解答。然而競(jìng)賽題中的題型具有更大的靈活性和延展性，因此要求我們多加探索思考總結(jié)。</p><p><b>　　抽象函數(shù)</b></p><p><b>　　題型概述</b></p>&l

46、t;p>　　抽象函數(shù)是相對(duì)于具體的函數(shù)而言，是指沒有給出函數(shù)解析式或?qū)?yīng)法則，只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)，抽象函數(shù)一般是指滿足這些性質(zhì)的一類函數(shù)．抽象函數(shù)問題一般是由所給的性質(zhì)，討論函數(shù)的其它性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性及函數(shù)變換與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系，或是求函數(shù)值、解析式等．競(jìng)賽試題對(duì)于抽象函數(shù)的要求主要是考察函數(shù)的概念及知識(shí)的內(nèi)涵和外延的掌握情況,邏輯推理能力,抽象思維能力和數(shù)學(xué)的后繼學(xué)習(xí)潛力.</p>&

47、lt;p>　　抽象函數(shù)問題的解法，主要是:1、賦值法 2、變換法 3、特例法 </p><p>　　1．抽象函數(shù)的形式：</p><p><b>　　冪函數(shù)： </b></p><p><b>　　正比例函數(shù)： </b></p><p><b>　　對(duì)數(shù)函數(shù)：

48、 </b></p><p><b>　　三角函數(shù)： </b></p><p><b>　　指數(shù)函數(shù)： </b></p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　十一屆2試（2000 高一）</p><p>　　2

49、3 函數(shù)中的x與f（x）均N+，并且對(duì)于任意自然數(shù)x，都有，。 求證：存在自然數(shù)m，使得當(dāng)時(shí)，f（x）是常數(shù)。</p><p>　　解：要證明的結(jié)論為只要x充分大，f（x）是常數(shù)，它的反面為無論x有多大，f（x）都不是常數(shù)。</p><p>　　假設(shè)無論x多么大，f（x）都不是常數(shù)，不妨任取且，若，則</p><p><b>　　，即</b>&

50、lt;/p><p>　　，因此與都取正整數(shù)相矛盾。</p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　同樣有都取正整數(shù)相矛盾。所以存在自然數(shù)m，使得當(dāng)時(shí)，f（x）是

51、常數(shù)。</p><p>　　十一屆2試（2000 高二）</p><p>　　5、若，且，則+++ … +=（ ）</p><p>　?。ˋ）1999 （B）2000 （C）2001 （D）2002</p><p>　　解: 由題意可知: 為指數(shù)函數(shù)的形式,故可令,</p>

52、;<p><b>　　則有</b></p><p>　　，則+++ … += </p><p><b>　　答案：（B）</b></p><p>　　十二屆1試 （2001 高一） </p><p>　　15 Let f be a function such that f( x+y

53、2)= f(x)+ 2(f(y))2 for any real numbers x and y ,and f(1)0,then f(2001) is equal to ____</p><p><b>　　解：令 得 </b></p><p><b>　　令 得</b></p><p>　　令, 得 &

54、lt;/p><p>　　解析: 在處理該類題目,王往往要求對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值,這是由一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要處理手段,通過適當(dāng)?shù)馁x值找到函數(shù)間的變量關(guān)系是解決問題的重要策略.</p><p><b>　　同類題目 ：</b></p><p>　　九屆2試（1998 高一） </p><p>　　17 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)

55、x, y 都滿足,且,則=___________</p><p>　　十七屆2試（2006 高一） </p><p>　　16 函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, y 都滿足,且,則=___________</p><p>　　十八屆1試（2007 高一）</p><p>　　8 Let f be a function such that f(

56、x+y2)= f(x)+ 2(f(y))2 and f(1)0,the value of f(2007) is （ ）</p><p>　　A 2007 B C D None of the above </p><p>　　十二屆2試 （2001 高一）</p><p>　　17 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f

57、（x）滿足，則的值為___________</p><p>　　解：由題意知： 則有 </p><p><b>　　函數(shù)周期為8</b></p><p><b>　　在一個(gè)周期內(nèi)有：</b></p><p><b>　　即 </b></p><p

58、>　　解析：一般而言，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作為給定的運(yùn)算法則，而本題給出的關(guān)系式顯而易見是一種遞推關(guān)系，這就需要我們尋找函數(shù)本身具有的性質(zhì)，為問題打開突破口。該題結(jié)合遞推關(guān)系和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，難度系數(shù)不大，但卻靈活多變。</p><p>　　十四屆1試 （2003 高一） </p><p>　　25 函數(shù)的定義域是，值域是（-1，4），對(duì)于定義域內(nèi)不等正實(shí)數(shù)都有，請(qǐng)寫出

59、兩個(gè)滿足條件的（不同類型的）函數(shù)解析式: （1）  （2） </p><p><b>　　參數(shù)問題</b></p><p><b>　　題型概述</b></p><p>　　參數(shù)是數(shù)學(xué)中的活潑“元素”，特別是一個(gè)數(shù)學(xué)問題中條件與結(jié)論涉及的因素較多，轉(zhuǎn)換過程較長(zhǎng)時(shí)，參數(shù)的設(shè)定和處理的作用尤為突出，

60、合理選用參數(shù)，并處理好參數(shù)與常數(shù)及變數(shù)的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換，在某些問題的求解過程中起到了十分關(guān)鍵的作用．?dāng)?shù)學(xué)中的常量和變量相互依存，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化．而參數(shù)是介于常量和變量之間的具有中間性質(zhì)的量，它的本質(zhì)是變量，但又可視為常數(shù)，正是由于參數(shù)的這種兩重性和靈活性，在分析和解決問題的過程中，引進(jìn)參數(shù)就能表現(xiàn)出較大的能動(dòng)作用和活力，“引參求變”是一種重要的思維策略，是解決函數(shù)和方程問題中的有力武器。</p><p>&l

61、t;b>　　案例探究</b></p><p>　　四屆 1試 （ 1993 高二 ）</p><p>　　21、設(shè)f ( x ) = a sin x + b x + c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A ( 0，5 )，B (，5 )，當(dāng)0 ≤ x ≤時(shí)，| f ( x ) | ≤ 10，求c的取值范圍。</p><p>　　解： 由f ( 0 ) = f ()

62、= 5，得a = b = 5 – c，</p><p>　　則有 f ( x ) = a ( sin x + x ) + c，又0 ≤ x ≤，∴ 1 ≤ sin x + x ≤，</p><p>　　當(dāng)a > 0時(shí)，5 ≤ f ( x ) ≤a + c；</p><p>　　當(dāng)a = 0時(shí)，f ( x ) = c = 5；</p><

63、p>　　當(dāng)a < 0時(shí)，a + c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10，</p><p>　　∴ |a + c | ≤ 10 可得 – 10 ≤ 5– (– 1 ) c ≤ 10，</p><p>　　∴ – 5≤ c ≤ 15+ 20。</p><p>　　五屆 1試（1994 高二）</p>&l

64、t;p>　　21、已知函數(shù)y =的值域是( – ∞，– 1 )]∪[，+ ∞ ])，試求實(shí)數(shù)a的值。</p><p><b>　　解：y ==</b></p><p><b>　　==，</b></p><p>　　令t = cot，則y =，整理得( 3 y – a – 1 ) t 2 + 2 ( y – 3 )

65、t – ( y + a – 1 ) = 0，從而，△= 4 ( y – 3 ) 2 + 4 ( 3 y – a – 1 ) ( y + a – 1 ) ≥ 0，即4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) ≥ 0，</p><p>　　由題設(shè)可知– 1和是方程4 y 2 + ( 2 a – 10 ) y – ( a 2 – 10 ) = 0的兩根，所以– 1 += –，所以a =

66、4。</p><p>　　解析:該題是求參數(shù)問題的一般題型,既由給定的值域來確定參數(shù)a的值,最終反向轉(zhuǎn)化為一元二次方程求值域的問題,通過判別式法來確定a的值,這是參數(shù)求值應(yīng)用相對(duì)普遍的題型,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)變能力的一種考查,能做到靈活變通,舉一反三.</p><p>　　五屆 1試 （1994 高一） （同類試題： 十一屆1試 16題；十一屆2試 9題 ）</p>&l

67、t;p>　　3 函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是………………（ D ）</p><p>　　A. R B. R+ C. D .（-4，0）</p><p>　　解: 由題意可知:要使函數(shù)有意義,則必須有,</p><p>　　的定義域?yàn)镽,等價(jià)于恒成立,</p><p>

68、;<b>　　等價(jià)于</b></p><p>　　擴(kuò)展: 函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______ </p><p>　　解: 由題意可知:要使函數(shù)有意義,則必須有.</p><p>　　函數(shù)值域?yàn)镽,則有必能取道大于零的一切實(shí)數(shù),等價(jià)于或</p><p>　　解析: 對(duì)比這兩個(gè)題目,對(duì)于題目意圖的理解和分析

69、會(huì)給很多學(xué)生造成困擾,因理解的偏差導(dǎo)致無法正確解答,該題實(shí)質(zhì)是考察一元二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的理解和運(yùn)用,但其靈活度較大,所以應(yīng)引起足夠的關(guān)注.</p><p>　　八屆2試（1997 高一）</p><p>　　22 已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c是非零實(shí)數(shù)，甲，乙兩人做一游戲：他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲在令c=3）后，如果對(duì)

70、于任意實(shí)數(shù)x，f（x）0，那么甲得勝；如果存在實(shí)數(shù)x，使f（x）=0，那么乙得勝。甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？如果a，b，c是任意實(shí)數(shù)，結(jié)論如何？為什么？</p><p>　　解: (1) 甲有必勝的方法：因?yàn)榧祝喝我膺xa（非零），不妨設(shè)a=1乙：不管選b(非零）為何值,只有兩種情況, 1）,此時(shí)總存在x，使得 ， 所以只要選擇適當(dāng)?shù)腸，使得> 0即可。

71、 2）>1,則選擇適當(dāng)?shù)腸，使得=0即可。 (2) a ,b ,c為任意實(shí)數(shù)時(shí)，甲有必勝的方法：</p><p>　　因?yàn)?甲首先令a=0, 無論乙令b為何數(shù)，只需令c=b+1即可</p><p>　　解析:本題通過實(shí)際問題的應(yīng)用考察對(duì)于一元二次函數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用.最終將問題轉(zhuǎn)化為一元二次求值問題,對(duì)問題的分析和轉(zhuǎn)化是本題的突破口,因此要求在平時(shí)應(yīng)注重對(duì)問題的剖析

72、和轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練.</p><p>　　九屆1試（1998 高二）</p><p>　　24、當(dāng)m ∈N，若方程m x 2 + 2 ( 2 m – 1 ) x + 4 m – 7 = 0至少有一個(gè)整數(shù)根，則m = 。</p><p><b>　　解：由題意知</b></p><p>　　x = – 2 +

73、，設(shè)p =∈Z，</p><p>　　則m ( p 2 m – 2 p – 3 ) = 0，m = 0（舍）或m =，</p><p>　　當(dāng)| p | > 3時(shí)，p 2 > | 2 p + 3 |，只有p = 3或p = ± 1,即m=1或m=5</p><p>　　十一屆1試（2000 高一）</p><p>　　2

74、2 函數(shù)有最大值2，最小值-1，則實(shí)數(shù)a=_____，b=_____。</p><p><b>　　解： 由題意可知：</b></p><p>　　解析：考查三角函數(shù)公式簡(jiǎn)稱為合二為一,再應(yīng)用三角函數(shù)的有界性解答,屬于三角函數(shù)問題的基本題型,其特點(diǎn)是靈活多變,主要體現(xiàn)在三角函數(shù)公式的轉(zhuǎn)換和變化上.</p><p>　　十一屆2試（2000 高

75、一）</p><p>　　13 關(guān)于x的方程的三個(gè)實(shí)根恰好是一個(gè)直角三角形三邊的平方，則自然數(shù)d的值是_________</p><p>　　解：設(shè)方程的根為，則有</p><p>　　由題知條件不妨設(shè) ，則有 d</p><p><b>　　最值問題</b></p><p><b>

76、;　　題型概述</b></p><p>　　函數(shù)最值問題時(shí)其它求值問題的基礎(chǔ)之一，許多求值問題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)（特別是二次函數(shù)）的最值問題。求函數(shù)最值得一般方法有：配方法，均值不等式法，單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法，判別式法，有界性，圖像法等。</p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　一屆1試(1900高二) 均

77、值不等式法</p><p>　　20、若x，y > 0，且x + 2 y = 1，則( x +) ( y +)的最小值是 。</p><p>　　解: 由題意可知: 2 x y ≤ () 2 =，x y ≤，</p><p>　　( x +) ( y +) ==</p><p><b>　　=≥=。<

78、/b></p><p>　　解析：該題由題知條件x，y > 0，且x + 2 y = 1，利用均值不等式（a > 0，b > 0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）求最值，必須有和為定值或者積為定值。該題為兩個(gè)式子的乘積，但是其和不是定值，但只需將( x +) ( y +)展開便可運(yùn)用均值不等式加以求解。因此該類型題目很多時(shí)候需要深入觀察，找出解題的突破點(diǎn)。</p><p>

79、;　　三屆1 試 ( 1992 高二 ) </p><p>　　20、定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)f ( x ) =+的最小值是 </p><p><b>　　解:由題意可知:</b></p><p>　　f ( x ) =+，</p><p>　　即可以看作是x軸上的點(diǎn)( x，0 )到兩點(diǎn)A (，–)，B

80、 ( –，)的距離和。</p><p>　　因?yàn)閮牲c(diǎn)之間直線最短，則有</p><p>　　解析：該題利用數(shù)形結(jié)合求最值，將函數(shù)問題與轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)間的距離問題，進(jìn)而直觀得出要求的最值。該類問題無論在競(jìng)賽題還是在高考題中都屬于考查的重要內(nèi)容之一，而且其靈活多變，要求學(xué)生具有良好的應(yīng)變能力和轉(zhuǎn)化思維。</p><p>　　九屆2試（1998 高二） </p>

81、<p>　　21、若f ( x ) = a x 2 + b x + c，( a，b，c∈R )在區(qū)間[ 0，1 ]上恒有| f ( x ) | ≤ 1。</p><p>　?。?）對(duì)所有這樣的f ( x )，求 | a | + | b | + | c | 的最大值；</p><p>　　（2）試給出一個(gè)這樣的f ( x )，使 | a | + | b | + | c | 確實(shí)

82、取到上述最大值。</p><p>　　解：（1）依題設(shè)有| f ( 0 ) | = | c | ≤ 1，| f ( 1 ) | = | a + b + c | ≤ 1，</p><p>　　| f () | = |++ c | ≤ 1，于是</p><p>　　| a + b | = | a + b + c – c | ≤ | a + b + c | + | c |

83、 ≤ 2，</p><p>　　| a – b | = | 3 ( a + b + c ) + 5 c – 8 (++ c ) | ≤ 3 | a + b + c | + 5 | c | + 8 |++ c | ≤ 3+5+8 = 16，</p><p>　　從而，當(dāng)a b ≥ 0時(shí)，| a | + | b | = | a + b |，</p><p>　　∴ |

84、a | + | b | + | c | = | a + b | + | c | ≤ 2 + 1 = 3；</p><p>　　當(dāng)a b < 0時(shí)，| a | + | b | = | a – b |，</p><p>　　∴ | a | + | b | + | c | = | a – b | + | c | ≤ 16 + 1 = 17。</p><p>　　∴

85、max { | a | + | b | + | c | } = 17。</p><p>　?。?）當(dāng)a = 8，b = – 8，c = 1時(shí)，f ( x ) = 8 x 2 – 8 x + 1 = 8 ( x –) 2 – 1，</p><p>　　∴ 當(dāng)x∈[ 0，1 ]時(shí)，有| 8 x 2 – 8 x + 1 | ≤ 1，此時(shí)| a | + | b | + | c | = 8 + 8

86、+ 1 = 17。</p><p>　　十六屆2試 (2005 高二)</p><p>　　8、已知x，y滿足條件，則2 x + 3 y的最小值是（ ）</p><p>　?。ˋ）18 （B）24 （C） （D）</p><p>　　解: 不等式組表示的可行域是由直線x + 2

87、y = 10、2 x + y = 12、x = 3、y = 2圍成的不封閉區(qū)域（包括邊界線）如圖所示，令b = 2 x + 3 y，該方程表示斜率為–， </p><p>　　縱截距為的平行直線系，顯然當(dāng)達(dá)最小值時(shí)，有b達(dá)最小值，易知，該平行直線系中經(jīng)過可行域的所有直線里，縱截距最小的是經(jīng)過可行域的邊界點(diǎn) (，)（邊界線x + 2 y = 10與2 x + y = 12的交點(diǎn)）的那條直線，故b=

88、2 ×+ 3 ×=，即2 x + 3 y 的最小值是；</p><p>　　十七屆1試 （2006 高一）</p><p>　　7 若實(shí)數(shù)滿足，則= （ B ）</p><p>　　A. B. 31 C. D. 或</p><p>　　解：由題意意可知：，這又&

89、lt;/p><p><b>　　=31</b></p><p>　　解析：該題利用三角函數(shù)的有界性，即，從而突破解題的關(guān)鍵點(diǎn)?？此坪?jiǎn)潔，但易出現(xiàn)解題誤區(qū)，應(yīng)該隱去足夠的重視。</p><p>　　十八屆1試 （2007 高一）</p><p>　　20 函數(shù)的最大值為________，最小值為________。</p

90、><p>　　解：由題意可知：令，代入可得：</p><p>　　解析: 由題知可知,該題求最值應(yīng)用換元法,又應(yīng)用到三角函數(shù)的有界性,進(jìn)而求得函數(shù)的最大最小值,是求最值的常用方法之一</p><p>　　十八屆2試 （2007 高一）</p><p>　　17 函數(shù)的最小值為________，此時(shí)x為________</p>&l

91、t;p>　　解:由題意知：令（），則原始式可化為：</p><p>　　由此可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，即x=10的時(shí)候，y有最小值2</p><p>　　十八屆2試 （2007 高二）</p><p>　　23、已知a ∈N*使函數(shù)y = 3 x +的最大值M∈N*，求M的最大值及對(duì)應(yīng)的a值和x值。</p><p>　　解：令t =，

92、則x =( 15 – t 2 )，</p><p>　　y =( 15 – t 2 ) + t = –( t 2 –t +) ++= –( t –) 2 ++</p><p>　　∴ M =+，又a ∈N*，M∈N*，而M ( 3 ) = M ( 45 ) = 8，M ( 9 ) = M ( 15 ) = 4，</p><p>　　M的最大值為8，當(dāng)a = 3時(shí)，t

93、 = 1，x =，當(dāng)a = 45時(shí)，t = 15，x = –。</p><p><b>　　數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)基本思想</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它占居較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是在數(shù)學(xué)中所包含的比較基本內(nèi)容，可以用相應(yīng)的文字和數(shù)學(xué)符號(hào)來記錄，敘述，

94、刻畫。但是隨著時(shí)間的不斷推移，記憶力的削弱，相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)很有可能忘記。而數(shù)學(xué)思想則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，一種思維方式，要靠個(gè)人去感悟，思索和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解、處理和解決，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子。數(shù)學(xué)思想的傳授集中體現(xiàn)了“授人以漁”這種高瞻遠(yuǎn)矚的教育理念。即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法卻還是起到深遠(yuǎn)而不可小覷的作用。</p><p><b>　　函數(shù)

95、與方程思想</b></p><p>　　數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的集中體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為方式，具有模式化、具體化和可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法往往在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得?？梢孕蜗蟮乇硎鰹?，“知識(shí)”是基石，“方法”是工具，“思想”是靈魂，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。&

96、lt;/p><p>　　函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還涉及到函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。</p><p>　　笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。

97、宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。</p><p>　　函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函

98、數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的

99、問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。</p><p>　　函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)

100、觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。</p><p><b>　　數(shù)形結(jié)合思想</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“

101、以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。</p><p>　　恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條

102、件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。</p><p>　　數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖

103、像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　分類討論思想</b

104、></p><p>　　在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。</p><

105、;p>　　引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：</p><p>　?、?問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。</p><p>　?、?問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可

106、以稱為性質(zhì)型。</p><p>　?、?解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。</p><p>　　另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的

107、，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。</p><p>　　試題中數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)</p><p&g

108、t;<b>　　再現(xiàn)性題組</b></p><p>　　十六屆1試 （2005 高二）</p><p>　　17、實(shí)系數(shù)一元二次方程x 2 + a x + 2 b = 0的一根在區(qū)間( 0，1 )內(nèi)，另一根在區(qū)間( 1，2 )內(nèi)，則的取值范圍是 。</p><p>　　解：設(shè)f ( x ) = x 2 + a x + 2 b，則f

109、 ( 0 ) > 0，</p><p>　　f ( 1 ) < 0，f ( 2 ) > 0，可得，</p><p>　　故表示區(qū)域P內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)( a，b )與</p><p>　　定點(diǎn)A ( 1，2 )的連線的斜率，</p><p>　　如圖，M ( – 3，1 )，N ( – 1，0 )，</p><p&

110、gt;　　k AM =，k AN = 1，故< k < 1</p><p>　　二屆2試（1991高二）</p><p>　　14、以實(shí)數(shù)x，y為自變量的函數(shù)u ( x，y ) = x 2 +– 2 x y +的最小值是 。</p><p>　　解：u ( x，y ) + 2 = ( x – y ) 2 + (+) 2，可以</p&g

111、t;<p>　　看作是平面上點(diǎn)A( x，)、B( y，)間距離</p><p>　　的平方，即如圖兩曲線y =、x 2 + y 2 = 2間的最短</p><p>　　距離，易知當(dāng)x = 3，y = 1時(shí)，AB最短，</p><p>　　故u ( x，y ) ≥ 8 – 2 = 6；</p><p>　　七屆2試 （1996 高

112、二）</p><p>　　20、非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足x + 2 y ≤ 6，x 2 – 6 x + 5 ≤ y，則f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x – 8 y的最大值是 ，最小值是 。</p><p>　　解：( x，y ) 滿足條件在直角坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形是圖1中的陰影部分，又設(shè)f ( x，y ) = x 2 + y 2 – 6 x

113、– 8 y = m，即( x – 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = m + 25此方程表示以點(diǎn)M( 3，4 )為圓心，以為半徑的圓M，所以當(dāng)m + 25最大（或最?。r(shí)，f ( x，y )也同時(shí)達(dá)到最大（或最?。蓤D2可以看出，當(dāng)圓M與直線x + 2 y = 6相切時(shí)，m + 25最小為() 2 = 5，m最小為– 20；當(dāng)圓M過點(diǎn)( 1，0 )， ( 5，0 )時(shí)，m + 25最大為= 20，m最大為– 5。</p&

114、gt;<p>　　18、x，y ∈R時(shí)，函數(shù)f ( x，y ) = ( x + y ) 2 + (– y ) 2的最小值是__________。</p><p>　　解： 由題意知, 上式可以看成平面上兩點(diǎn)A ( x，)，B ( y，– y )間的最小距離d的平方，如右圖：</p><p><b>　　則有 d=1</b></p><

115、p>　　三屆2試（1992 高二）</p><p>　　21、已知k∈ R，關(guān)于x，y的方程y 4 + 4 y 3 + ( 2 x + 2 k x – k x 2 ) y 2 + 8 x y + ( 4 k x 2 – 2 k x 3 ) = 0表示一組曲線，其中有一條是固定的拋物線，試討論k值與曲線形狀的關(guān)系。</p><p>　　解：原方程可化為( y 2 + 2 x) ( –

116、 k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y ) = 0，</p><p>　　則固定拋物線為y 2 = – 2 x，</p><p>　　由 – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y = 0，得 – k ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 – k，</p><p>　　當(dāng)k > 4時(shí)，方程可化為，為焦點(diǎn)在x軸上的