幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性[畢業(yè)論文+開題報告+文獻綜述]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數學與應用

2、數學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文主要研究幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性，研

3、究了一般Liénard系統(tǒng)解的有界性，獲得該系統(tǒng)存在最終正解和最終負解存在性的充分條件；研究了廣義Liénard系統(tǒng)解的有界性，獲得該系統(tǒng)存在最終正解和最終負解存在性的新充分條件；同時研究了一類二階非線性微分系統(tǒng)的解的漸近性態(tài)，證明了該系統(tǒng)每個解都收斂于奇點，并且改進和推廣了已有文獻中的相應結果．</p><p>　　關鍵詞：Liénard系統(tǒng)；有界性；最終正解；最終負解；漸近性態(tài)&

4、lt;/p><p>　　The boundedness and convergence of several classes of second order solutions of diffevential system </p><p>　　Abstract：In this paper, we mainly study the boundedness and convergence of

5、several kinds of second order differential systems. We first deal with the boundedness of solutions for a class of generalized Liénard system, and establish two sufficient conditions for the existence of eventually

6、positive solutions and eventually negative solutions of this system. Meanwhile, two new sufficient conditions for the existence of eventually positive solutions and eventually negative solutions are obtained fo</p>

7、<p>　　Key words：Liénard system;boundedness;eventually positive solution;eventually negative solution;asymptotic behavior.</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</

8、b></p><p>　　Abstract0</p><p><b>　　1 引言1</b></p><p><b>　　2 主要結果3</b></p><p>　　3 應用舉例14</p><p><b>　　4 總 結19</b&g

9、t;</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　眾所周知，微分方程有著廣泛的應用背景，因此微分方程的研究是應用數學領域的主要分支學科.歷史上人們研究微分方程的過程往往是研究

10、其初等解法開始，隨著研究的深入，由著名數學家劉維爾證明了常微分方程沒有一般的求解方法，人們轉而從方程本身開始研究微分方程解的性質（即對微分方程做定性研究）.由于很多工程技術的問題往往可以歸結為二階微分方程的模型，人們對二階微分方程的定性研究就做了較為深入的探討，并在其解的有界性方面獲得了大量的研究結果.</p><p>　　關于一般形式的Liénard 系統(tǒng)</p><p>　　

11、（1）解的有界性問題，已有許多文獻進行了廣泛研究，其中和是正奇整數之比，，函數是上的連續(xù)實函數，且對任意，有．需要特別指出的是文獻[1]不僅對系統(tǒng)（1）解的有界性進行了重點研究，還對解的無界性也進行了討論，并給出了若干個結論．然而，通過仔細檢查，我們發(fā)現文[1]在對解的無界性結論證明中存在錯誤．因此本文第一個研究內容就是重新給出系統(tǒng)（1）無界解存在性的證明．</p><p>　　由于很多關于Liénar

12、d 系統(tǒng)的定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，這就使得繼續(xù)研究Liénard 系統(tǒng)解的有界性仍然是重要而有意義的工作.為此，我們將考慮下列廣義Liénard 系統(tǒng)</p><p>　　(2)存在最終正解和最終負解的新充分條件，以期改進已有文獻的結論.</p><p>　　在研究微分系統(tǒng)解的有界性的同時，著名學者Hirsch 關于單調流及合作向量場的工作，使人

13、們認識到研究微分系統(tǒng)軌線收斂性的重要性.因此，最近關于微分系統(tǒng)軌線的收斂性問題的研究越來越多了,特別是文研究了微分系統(tǒng)</p><p>　　的軌線收斂性．為了進一步深化上述文獻的研究方法，我們將研究下列更廣泛的二階微分系統(tǒng)</p><p>　?。?）軌線的收斂性問題．</p><p>　　為了行文方便，我們總假設連續(xù)且滿足系統(tǒng)（1）-（3）關于初值問題解存在唯一性的

14、條件，并且任意初值問題的解都在上存在，記：</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2 主要結果</b></p><p><b>　　定理1 假設</b></p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p><

15、b>　??；</b></p><p><b>　　， ；</b></p><p>　　存在常數,使得當時有， ；</p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p>　　那么系統(tǒng)（1）存在無界解且其分量最終是正的．</p&

16、gt;<p>　　證明 由條件和，我們令</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　由條件可取常數和常數使得當時有</p><p><b>　　和 及</b></p><p>　　,

17、 （4）于是，當時由條件得</p><p><b>　?。?）,</b></p><p>　　設，那么由條件和知，存在使得</p><p><b>　　， </b></p><p>　　現在用表示系統(tǒng)（1）的正半軌線在時刻的坐標，并證明系統(tǒng)（1）在時刻經過點的正半軌線當時滿足．</p&

18、gt;<p>　　否則，存在使得， 且當時，．由和的確定知，當時 ，所以，當時．</p><p>　　另一方面，由（1）我們有</p><p>　　, （6）由條件，我們可以從點到點沿軌線</p><p><b>　　積分（6）得：</b></p><p><b>

19、　　.</b></p><p><b>　　再結合（5）得</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　但這與（4）矛盾．因此當時有．</p><p><b>　　因為當，時</b></p><p>　　所以系統(tǒng)（1）

20、在區(qū)域內沒有平衡點，故系統(tǒng)（1）在初始時刻經過點的正半軌線無界且其分量最終是正的．</p><p><b>　　定理2 假設</b></p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p><b>　?。?；；</b></p><p><b>　　， ；</b></p&

21、gt;<p>　　存在常數,使得當時有，</p><p><b>　??；</b></p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p>　　存在常數,使得當時有；</p><p>　　那么系統(tǒng)（1）存在無界解且其分量最終是負的．</p><p>　　定理3 設（2）滿足:<

22、;/p><p><b>　　()嚴格單調遞增;</b></p><p><b>　　()存在常數使，;</b></p><p><b>　　()存在使時，,;</b></p><p><b>　　();</b></p><p>　　則系

23、統(tǒng)（2）存在一個無界的最終正解.</p><p><b>　　證明 令</b></p><p><b>　　A= , </b></p><p><b>　　選取 使任意時</b></p><p>　　,,且>2K(A+), 　　　

24、 (7)于是,當時,由,有</p><p>　　(8)令其中,下證當t=時,系統(tǒng)(2)過點的軌線的正半軌：對,T),( 為的最大存在區(qū)間,),都有.否則,存在,使,且,有,有.</p><p>　　沿軌線,由系統(tǒng)(2)有</p><p>　　從而 </p><p>　　(9)注意到條件（）,于是沿軌線由到積分

25、(9)式,有</p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　從而,由(8)有 </b></p><p>　　與（7）矛盾，即都有，從而，因而 時，是趨向于無窮的，即且 . </p><p>　　定理4 若系統(tǒng)（2）滿足：</p><p>　　() p

26、(y)嚴格單調遞增且；</p><p>　　()存在常數,使，；</p><p><b>　　()存在使 時,；</b></p><p><b>　　()</b></p><p>　　則系統(tǒng)（2）存在一個無界的最終負解.</p><p><b>　　證明 令 &

27、lt;/b></p><p><b>　　選取，，使任意的時</b></p><p>　　，，且, 　　 (10)于是，當，時，由有 </p><p>　　(11)令其中，下證當 時，系統(tǒng)（2）過點的軌線正半軌：（（x(t),y(t)）對為的最大存在區(qū)間.都有否則存在，使，且 有，有.<

28、/p><p>　　沿軌線，由（2）有 </p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　于是沿軌線由到積分.有 </p><p><b>　　從而,由(11)得</b></p><p

29、><b>　　.</b></p><p>　　與(10)矛盾,即都有.從而.因而時，是趨向于無窮的.即，且定理4得證.</p><p>　　定理5 若系統(tǒng)（3）滿足下列條件</p><p>　　為連續(xù)可微函數.為連續(xù)函數；</p><p><b>　　，有界；</b></p>&

30、lt;p>　　存在連續(xù)函數使得對每個都成立； </p><p><b>　　；</b></p><p>　　存在常數，使時，，且 ；</p><p>　　則系統(tǒng)（3）的每個解具有性質：，. 進一步存</p><p><b>　　在連續(xù)函數使得</b></p><p>&

31、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　且是的零點.</b></p><p>　　附注１　顯然文[11-13]中的全部結論都可以歸結為本文定理 時的特殊情形.</p><p>　　對于定理5的證明，我們先敘述一個引理 </p><p>　　引理 若 可微，，且，則</p>

32、<p><b>　　.</b></p><p>　　定理的證明：我們分四個步驟來完成定理的證明.</p><p>　　(I) 證系統(tǒng)（3）的每個解，都有界. </p><p><b>　　做輔助函數</b></p><p><b>　　，</b></p>

33、<p>　　由系統(tǒng)（3）及條件（H2），（H3）可知，</p><p>　　, （12）所以當時，單調下降且有界.而由（H2），（H4）知，從而結合條件(H5)可知在有界.</p><p><b>　　(II) 證.</b></p><p><b>　　由條件（H3）有<

34、/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　在[，]上積分式有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由有界，所以存在正數使得</p><p><b>　　,</b>

35、;</p><p>　　又由有界，為正連續(xù)函數可知存在使</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即 </b><

36、/p><p><b>　　.</b></p><p>　　再由有界性，的連續(xù)性可知存在常數M使</p><p>　　. （13）所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，對函數，運用引理有</p><p&g

37、t;<b>　　，</b></p><p>　　由的連續(xù)性及條件（H2）知.</p><p>　　(III) 證存在.</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　只需證

38、 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　假設，對于任意，由定義知存在,且使,由步驟(II)知，從而有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于在上單調下降且有界，所以存在常數使</p><p><b>　　.<

39、;/b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由的任意性可得</b></p><p><b>　　兩邊求導可知</b></p><p>　?。?4）作

40、為（14）式的一個結果.</p><p><b>　　下證一個命題：</b></p><p>　　命題 對于任意使的，都有，否則，存在，使，且.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由假

41、設易知，且，取充分小，使，取定，使，時有，由的定義知，存在，使將方程</p><p><b>　　,</b></p><p>　　兩邊同時乘，再對其從到積分，由于在（或者）上，所以</p><p><b>　　與</b></p><p>　　矛盾.所以命題得證.</p><p&g

42、t;　　任取，由上，下極限定義可知必無限次經過.若，由命題得.</p><p>　　如果（時證明完全類似），則由（H2）及系統(tǒng)（8）有，當且充分接近時，.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是，不然的上極限不等于.從而易知，且由命題

43、有，從而由的定義可得 .故可選取，使，且.</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為，所以且，由命題知.由，嚴格增加，所以，因此.由函數的介質定理得，存在，使得.</p><p>　　當時，，于是.因此，當時有</p>&

44、lt;p>　　. （15）注意到時，，又由于存在常數使</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從而結合（3）式及條件（H2），當時有</p><p>　　. （16）將上式從到積分得</p><p><b>　　，</b>

45、;</p><p>　　令，則，所以，即，矛盾.因此，，即.</p><p>　　(IV) 若存在連續(xù)函數，使得，則是的零點.</p><p>　　事實上，若上述條件成立，則系統(tǒng)（3）的任一解，是有界函數，因此對方程</p><p>　　從到積分，再由積分中值定理有 </p><p><b>　　這里.

46、</b></p><p>　　由步驟(II)知 ，且</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以，而由，及的連續(xù)可知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜上所述，定理證畢.</p><p>

47、<b>　　3 應用舉例</b></p><p>　　例1 考慮下列Liénard方程系統(tǒng)</p><p>　　, (17) </p><p>　　證明方程（17）至少存在一個最終正解和一個最終負解.</p><p>　　

48、證明 令則（7）要轉化為下列等價的廣義Liénard系統(tǒng)</p><p>　　. (18)由（18）,得</p><p><b>　　顯然,時,有則</b></p><p>　　(19)現取,下證當時,系統(tǒng)過點的軌線的正半軌對(,的最大存在區(qū)間, 都有存在，使，且 有，有沿

49、軌線,由(19)式,有</p><p><b>　　從而</b></p><p>　　(20)于是沿軌線由到積分.有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再由(19)式,有</b></p><p>　　從而導出矛盾,都有從

50、而.因而時，是趨向于無窮的.即，且從而方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終正解.</p><p>　　下證方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終負解</p><p><b>　　顯然,時,有于是</b></p><p>　　(21)現取,下證當時,系統(tǒng)過點的軌線的正半軌對(的最大存在區(qū)間, 都有存在，使且 有，有.</p><p>

51、;　　沿軌線,由(18)式,有</p><p>　　. (22)于是沿軌線由到積分,有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由(21)式,有</b></p><p>　　從而導出矛盾,都有從而

52、.因而時，是趨向于無窮的.即，且，從而方程系統(tǒng)(17)至少存在一個最終負解.</p><p>　　例2 考慮下列Liénard方程系統(tǒng)</p><p>　　(23)證明（23）至少存在一個最終正解和一個最終負解.</p><p>　　證明 令，則（23）式可轉化為下列等價的廣義Liénard系統(tǒng)</p><p>　　(2

53、4)由(24)得</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　容易驗證此方程滿足定理2和定理3中所有的條件，從而由定理2與定理3可得Liénard型方程（23），至少存在一個最終正解和一個最終負解．</p><p>　　附注2　方程(23)是一個簡單的Liénard型方程，容易驗證，文獻的結論不再適合方程(

54、24)，從而文獻中的相應結論也不能直接判定方程(23)是否存在最終正解或負解，因此本文的結論改進推廣了文獻中的相應結論．</p><p>　　例3 討論非線性振動系統(tǒng)</p><p><b>　　的解的漸近性態(tài). </b></p><p><b>　　解　 令</b></p><p><b

55、>　　,</b></p><p>　　① 驗證系統(tǒng)的每個解都有界,代入公式（12）,顯然有 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以滿足定理證明中的步驟①,即系統(tǒng)的每個解都有界.</p><p><b>　?、?由條件有</b></p>

56、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　對</b></p><p><b>　　在上積分有</b></p>&

57、lt;p>　　. （25）令在上積分有.</p><p>　　由條件知存在常數,將（25）代入（16）顯然有 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　因此,對函數,由條件及的連續(xù)性運用引理有</p><p><b>　　.</b>&l

58、t;/p><p>　?、?當時，，又由于存在常數使得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　再由（15），（16）有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　將上式從到積分有</b></p>

59、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　當時，所以有 .</b></p><p>　?、?由定理證明中的步驟以及上述證明的結果有而由,以及的連續(xù)可知</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜上所述例題證畢

60、.</b></p><p>　　附注3　在系統(tǒng)具有適當保證所有解有界的條件成立時，證明了其每個解收斂于奇點，顯然本文放棄了文對有界的限制，因此本文所得到的結論推廣和改進了文相應的結果.</p><p><b>　　4 總 結</b></p><p>　　本文主要在二階微分方程的定性分析上展開了下面三方面的工作：　研究了一類非線性二

61、維系統(tǒng)解的無界性；研究了一類廣義Liénard方程系統(tǒng)解的有界性；同時研究了一類二階微分系統(tǒng)解的漸近性態(tài)．我們的結論完善了幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性的定理．</p><p>　　通過這些研究工作，我理解了二階微分方程的廣泛的應用背景，領會到二階微分方程的有界性和收斂性是微分方程定性分析的很重要的研究內容．在今后的學習和工作中，我將繼續(xù)深入研究有關二階微分方程的定性行為研究，借以培養(yǎng)自己學習和研究

62、數學的能力．</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Lihong Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.<

63、/p><p>　　[2] 劉炳文，彭樂群，鐘益林.一類廣義Liénard系統(tǒng)解的有界性，工科數學.2002，18（5）：25-28.</p><p>　　[3] 劉炳文，黃立宏.對有界性的注解，數學學報. 2004，47（5）：833-836.</p><p>　　[4] Sugie J. On the boundedness of solutions of

64、the generalized Lienard equation without the signum condition[J].Nonlinear Analysis. 1987,11(12)，139-1307. </p><p>　　[5] Huang L H. Boundedness of solution for some nonlinear differential systems[J]. N

65、onlinear Analysis. 1997,29(7):839-848.</p><p>　　[6] Huang L.H.On the boundedness of solution and the existence of limit cycles for a class of nonlinear differential systems[J]. Chinese J.Math (TAIPEI). 1994,

66、20(2):265-260.</p><p>　　[7] Huang L.H.Existence of limit cycles surrounding multiple singular points for a class of nonlinear differential systems [J],Socchow J.of Mathematies (TAIPEI). 1994,20(2):265-276.&l

67、t;/p><p>　　[8] 時寶.微分方程理論及其應用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p>　　[9] 張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學出版社,1985.</p><p>　　[10] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations

68、 [J].Bull Amber Math Soc. 1984.</p><p>　　[11] 鄭觀寶,蔣繼發(fā).一類二階方程解的收斂性[J].高校應用數學學報.1995，10(A)：81-86.</p><p>　　[12] 楊啟貴，歐伯群.一類二階微分系統(tǒng)解的收斂性[J].廣西師范大學學報(自然科學版).2000，18(2)：41-45.</p><p>　　[13

69、] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學學報(自然科學版).2002.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性</p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　微分方程差不多是和微積分同時

70、先后產生的，蘇格蘭數學家耐普爾創(chuàng)立對數的時候，就討論過微分方程的近似解．牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解．后來瑞士數學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論．</p><p>　　常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發(fā)展密切相關的．數學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微

71、分方程的發(fā)展產生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具．</p><p>　　牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律．后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現的海王星的位置．這些都使數學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量．</p><p>　　微

72、分方程有著廣泛的應用背景，因此微分方程的研究是應用數學領域的主要分支學科.歷史上人們研究微分方程的過程往往是研究其初等解法開始，隨著研究的深入，由著名數學家劉維爾證明常微分方程沒有一般的求解方法，人們轉而從方程本身開始研究微分方程解的性質. 隨著數學與其他科學的日益發(fā)展，人們在研究微分方程解的定性與穩(wěn)定性上所使用的理論方法也越來越豐富.在這些定性與穩(wěn)定性的具體研究中， 很多具體微分方程的定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，這

73、就使得研究微分方程解的有界性是重要而有意義的工作.</p><p>　　從世紀末開始到現在，學者們對常微分方程定性理論仍在不斷的研究，對其解的收斂性也作了較為全面的研究，這一點只要查看各種學術期刊就不難發(fā)現有許多是關于微分方程的解的研究．近來，涌現出一大批文獻研究微分方程的軌線的收斂性，這方面的研究主要是由著名學者Hirsch關于單調流及合作向量場的工作引起的．Hirsch關于單調流及合作向量場的工作，使人們認識

74、到研究微分系統(tǒng)軌線收斂性的重要性．因此，最近關于二階微分方程的解的收斂性問題的研究越來越多了．</p><p>　　又由于二階微分方程的解的收斂性的許多研究成果往往可以應用到日常實際生活當中去，如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等．隨著科學技術的日益發(fā)展，有關二階微分方程的模型也越來越多．因此， 繼續(xù)研究二階微分方程的解的收斂性始終是一項

75、有實際意義的工作．</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　關于二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性的研究，許多學者進行了較為深入的研究，并已經獲得了大量的結果，現將已有文獻的結果綜述如下：</p><p>　　文獻主要研究了1926年，Van der Vol在無線電技術耗散結構理論及其它技術理論中提出了二階微分方程<

76、/p><p>　　. (1)</p><p>　　隨著科學技術的日益發(fā)展,人們必須考慮比方程(1)更為廣泛的二階微分方程．比如，多項式微分系統(tǒng)中很多實際問題可以歸結為更一般的形式．其中，由著名的數學物理學家Liénard在考慮更廣的物理學意義背景下,將方程(1)改進推廣為</p><p><b&g

77、t;　　(2)</b></p><p>　　稱為Liénard方程． </p><p>　　在具體的研究工作中，Liénard引入了如下著名的Liénard變換</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　得到</b><

78、/p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　稱之為Liénard系統(tǒng)． Liénard系統(tǒng)分為一般Liénard系統(tǒng)和廣義Liénard系統(tǒng)兩個部分．</p><p>　　文獻[7-12]研究了Liénard系統(tǒng)(4)及廣泛的非線性二維微分系統(tǒng)</p><p&g

79、t;<b>　?。?）</b></p><p>　　解的有界性問題，其中和是正奇整數之比，，函數是上的連續(xù)實函數，且對任意，有并獲得了有界解的充分條件，改進了已有的文獻．</p><p>　　由于我們研究的問題越來越具體，隨著實際問題的深入，歸結的Liénard方程具有更一般的形式．而這類方程具有更大的廣泛性，因而所刻畫的結果也更具有其理論意義和實際意義．文

80、獻[13]研究了一類廣義Liénard 系統(tǒng)</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　獲得有界解，無界解的一系列充分條件或充要條件，并且改進和推廣了已有文獻．</p><p>　　有關二階微分系統(tǒng)解的收斂性也取得了較為豐富的結果，其主要文獻有[14,15]，這些文獻研究了如下的二階微分系統(tǒng)</p>

81、<p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　（8）</b></p><p><b>　　獲得主要結果為</b></p><p>　　定理 若系統(tǒng)(8)滿足下列條件</p>

82、;<p>　　為連續(xù)可微函數.為連續(xù)函數；</p><p><b>　　且 ，有界；</b></p><p>　　存在連續(xù)函數使得對每個 都成立； </p><p><b>　　；</b></p><p>　　存在常數，使時，，且 ；則系統(tǒng)（8）的每個解具有性質：，. 進一步存在連續(xù)函

83、數使得，則是的零點.</p><p>　　從已有文獻中可以知道，二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性仍然是當今微分方程研究的一個熱點．</p><p><b>　　總結部分</b></p><p>　　以上有關二階微分方程解的有界性和收斂性的文獻總結，說明了二階微分方程在數學研究中有著廣泛的應用模型，這些研究成果已滲透到了社會的方方面面，如自動控制、

84、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等, 這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質的問題．應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，它的解的有界性和收斂性還尚存在很多不明確的問題，還有待于進一步的發(fā)展，以后必將產生中更多的二階微分方程的模型，這就需要我們進一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，使這門學科的理論更加完善．&l

85、t;/p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學學報(自然科學版).2002,25(1):7～10.</p><p>　

86、　[3] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations [J].Bull Amber Math Soc. 1984,11:1～64.</p><p>　　[4] Zhou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-order no linear

87、differential system [J].J Math AnalAppl. 2001, 256(2):360～374.</p><p>　　[5] 時寶.微分方程理論及其應用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p>　　[6]張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學出版社,1985.</p><p>　　[7] Lihon

88、g Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.</p><p>　　[8] Jtsuro Sugie.On the Boundedness of Solutions of the Generaliz

89、ed Liénard Equation without the Signum Condition.[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applictions.1987,11(2):1391-1397 .</p><p>　　[9] HARA T,YONEYAMA,T On the golbal center of genealizcd Liéna

90、rd equ ation and its application to stability problems[J]．Funkcial Ekvac,1985.28:171—192.</p><p>　　[10] VILLARI,Gab,ZANOLIN F.On a dynamical system in the Liénard plane.Necessary and sufficient conditio

91、ns for the intersection with the vertical isocline and applications[J].Funkcialaj Ekvacioj,1990,33;19-38.</p><p>　　[11] HUANG L H.Boundedness of mlutions for some nonlinear differential systems[J] Nonlinear

92、Analysis,1997,29:839—848.</p><p>　　[12] 劉炳文,黃立宏.對有界性的注解[J],數學學報.2004,47(5):833-836.</p><p>　　[13] 劉炳文,彭樂群,鐘益林.一類廣義Li6nard系統(tǒng)的有界性[J]T科數學,2002,18(5):23—28.</p><p>　　[14] 鄭觀寶,蔣繼發(fā).一類二階方程

93、解的收斂性[J].高校應用數學學報.1995，10(A)：81～86.</p><p>　　[15] 楊啟貴，歐伯群.一類二階微分系統(tǒng)解的收斂性[J].廣西師范大學學報(自然科學版).2000，18(2)：41～45.</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　幾類二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性 </p>

94、<p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內外研究現狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　常微分方程有界性的研究是常微分方程定性理論中的一個十分重要的研究內容,它具有深刻的物理背景和數學模型．近年來,這一研究主題在應用數學領域中已取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視. 一方面,它有著廣泛的實際背景,另一方面,有著重要的理論價值.在研究微分方程定性理論中，二階微分方程解的有界性是一個重要話題.在具體

95、的生產實踐的過程中，有許多具體的工程技術的問題都可以歸結為二階微分方程.因此,有關二階微分方程的定性與穩(wěn)定性研究在最近幾十年里已經引起了人們的廣泛興趣.其中許多具體二階微分方程定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開始的，因此二階微分方程解的有界性研究就是一個引起眾多數學家和其他科學家研究的廣泛課題. 近年來,國內外已有大批學者從事這方面的理論研究,取得了一系列較好的結果.對生產生活和科學技術的發(fā)展起到了直接或間接的推動作用，因此，對

96、二階微分方程解的有界性的研究意義重大.</p><p>　　常微分方程在19世紀發(fā)展迅速，并誕生了一系列具有重大意義的研究理論．19世紀末，由龐加萊創(chuàng)立的常微分方程實域定性瀆論便是其中最重要的理論成果之一．從常微分方程產生到1820年，常微分方程理論的唯一問題是：找到給定微分方程的解析解．然而隨著研究的擴展和深入，人們遺憾地發(fā)現可以解析求解的常微分方程類型甚少．1836年，施圖姆的論文從新的定性角度研究二階線性微

97、分方程．隨后，他與劉維爾合作開創(chuàng)了分析中一個新的分支施圖姆-劉維爾理論，其特征是：當找不到解的任何可行表達時，直接從方程本身尋找答案，這時，由方程決定的性質必然是定性的．這種思想與代數方程領域中阿貝爾、伽羅瓦由尋求根式解轉到研究解的存在和性質的思想是平行發(fā)展的．施圖姆-劉維爾理論可看作常微分方程定性理論的早期萌芽．</p><p>　　近年來，由于二階微分方程具有廣泛的應用背景，同時隨著科學技術的日益發(fā)展，二階微

98、分方程的模型也越來越豐富，國內外各個大學和科學研究所的學者專家對二階微分方程解的研究都取得了喜人的成果，并且總結出了一套相對完整的理論，主要成果包括二階微分方程解的性質（見文獻1-6），二階微分方程的幾種解法（見文獻7-10），二階微分方程解的有界性的判定定理及其條件（見文獻11-15）. </p><p>　　本學位論文希望利用大學本科所學常微分方程知識來對上述問題做一些簡單的總結和探討，希望尋求出有關二階微分

99、方程解的有界性和收斂性的新結果，希望將所獲得的理論結果結合具體的二階微分方程的模型進行應用，并希望改進推廣已有文獻的一些結果. </p><p>　　二、研究的基本內容與擬解決的主要問題</p><p>　　我們希望進一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并將理論模型結合實際模型，總結一些二階微分方程解的有界性地判定方法和二階微分系統(tǒng)軌線收斂性問題，分析二階微分方程解的有界性和收斂性的

100、條件，并領會二階微分方程解的有界性和收斂性在數學中的地位以及具體生產實踐中的應用和學會證明二階微分方程解的有界性和收斂性的數學分析方法，總結并證明一些在研究中常常碰到的問題，主要包括對如下一些重要問題的研究．</p><p>　　問題1．研究一般Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　解的

101、有界性,并能獲得系統(tǒng)(１)存在無界解的充分條件,并可以結合具體的實例對所獲結果進行應用，希望所取得的結果改進和擴展已有文獻中的相應結果。</p><p>　　問題２．研究廣義Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　存在最終正解和最終負解的新充分條件，希望所獲結果改進和擴展已有文獻的相應結果

102、．</p><p>　　問題3．研究一類二階非線性微分系統(tǒng)</p><p>　?。?）的解的漸近性態(tài).在系統(tǒng)具有適當保證所有解有界的條件成立時，能夠證明其每個解收斂于奇點.希望所獲結果改進和推廣文獻中的相應結論．</p><p>　　三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標</p><p>　　本人在閱讀了大量中文文獻的基礎上，培養(yǎng)

103、了自己綜合分析的能力，并查閱了多本關于此課題的著作和相關期刊，特別是由許多學者們對二階微分方程解的有界性和收斂性的研究所得的理論對我的研究提供了很大的幫助，在此基礎上我深入理解二階微分方程解的有界性和收斂性的定理，研究這個課題的重要性以及實用性，并且運用所學知識有效地對此進行總結研究，再通過對比、分析、歸納已有的結論，并在此基礎上經過進一步思考，提出了自己的一些結論，并對此進行證明，課題的主要內容是研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并

104、得出系統(tǒng)（1）存在無界解的充分條件以及系統(tǒng)（2）存在無界解的兩個充分條件和所有解正向有界的充分條件和充要條件，還有二階微分系統(tǒng)（3）的軌線收斂性，并希望得到一些新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則．</p><p>　　研究方法和技術路線主要是通過在收集整理已有文獻的結論的基礎上，充分運用大學本科階段所學的《常微分方程》及其相關課程的理論知識，總結其結論的發(fā)展過程，通過研究兩類具體的二階非線性泛函微分方程

105、解的有界性，推廣并改進已有文獻中的相應結果．最后預期達到的目標是通過假設推得方程解的有界性，得到一些新的判別這類二階微分系統(tǒng)軌線收斂性的判別法則.</p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　?。ㄒ唬?第七學期第9-10周：確定論文題目；開始查閱文獻資料，收集各種紙質、電子文件信息、材料并對其進行加工整理，形成系統(tǒng)材料；確定外文翻譯資料； （二） 第七學期第11-1

106、2周：仔細研讀，分析資料，完成外文翻譯； （三） 第七學期第13-17周：認真閱讀文獻資料，加以歸納總結，完成文獻綜述及開題報告；  （四） 第七學期第18周：并完成網上確認；  （五） 寒假期間：完成論文初稿； （六） 第八學期第1-3周：修改論文初稿，并確定進入實習階段； （七） 第八學期第4-10周：進入實習單位進行畢業(yè)實習，對論文進行修改。 （八） 第八學期第11周：完成畢業(yè)實習返校，并

107、遞交畢業(yè)實習報告； （九） 第八學期第12-14周：對論文進一步修改，并定稿； （十） 第八學期第15-16周：準備并完成畢業(yè)答辯． </p><p><b>　　五、主要參考文獻</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,

108、楊偉,馬軍.一類二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學學報(自然科學版).2002,25(1):7～10.</p><p>　　[3] Hirsch M W. The dynamical systems approach to differential equations [J].Bull Amber Math Soc. 1984,11:1～64.</p><p>　　[4] Zh

109、ou Jin. Bounded ness and convergence of solutions of a second-order no linear differential system [J].J Math AnalAppl. 2001, 256(2):360～374.</p><p>　　[5] 時寶.微分方程理論及其應用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2005.</p><p&g

110、t;　　[6]張芷芬,丁同仁,黃文灶等.微分方程定性理論[M].北京:科學出版社,1985.</p><p>　　[7] Lihong Huang,Ynming Chen and Jianhong Wu .Boundedness of Solutions for a class of Nonlinear Planar System[J].Tohoku Math.2002，54：393-417.</p>

111、<p>　　[8] Jtsuro Sugie.On the Boundedness of Solutions of the Generalized Liénard Equation without the Signum Condition.[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applictions.1987,11(2):1391-1397 .</p>

112、<p>　　[9] HARA T,YONEYAMA,T On the golbal center of genealizcd Liénard equ ation and its application to stability problems[J]．Funkcial Ekvac,1985.28:171—192.</p><p>　　[10] VILLARI,Gab,ZANOLIN F.On

113、a dynamical system in the Liénard plane.Necessary and sufficient conditions for the intersection with the vertical isocline and applications[J].Funkcialaj Ekvacioj,1990,33;19-38.</p><p>　　[11] HUANG L H

114、.Boundedness of mlutions for some nonlinear differential systems[J] Nonlinear Analysis,1997,29:839—848.</p><p>　　[12] 劉炳文,黃立宏.對有界性的注解[J],數學學報.2004,47(5):833-836.</p><p>　　[13] 劉炳文,彭樂群,鐘益林.一類廣義Li