線性系統(tǒng)理論大作業(yè)

1、,汽車(chē)機(jī)器人建模,組員：魯沖 劉芷倩 賈末 劉曉東指導(dǎo)老師：蔡林沁,線控,目 錄CONTENTS,數(shù)學(xué)建模(魯沖),能控性能觀性(劉芷倩),穩(wěn)定性(劉芷倩),極點(diǎn)配置(賈末),狀態(tài)觀測(cè)器(劉曉東),,數(shù)學(xué)建模(魯沖),運(yùn)動(dòng)學(xué)模型自然坐標(biāo)系下模型具體數(shù)學(xué)模型,運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,L --前后輪間距離;,為車(chē)體航向角;,--后輪中心點(diǎn)M 距X 軸距離;,--后輪中心點(diǎn)M 距Y軸距離;,--兩前輪中心點(diǎn)的速度;,--兩后輪中心M點(diǎn)的速度;,-

2、-前輪轉(zhuǎn)向角;,運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,基本方程：,增補(bǔ)方程：,自然坐標(biāo)系下模型,原點(diǎn): 在被跟蹤軌線上的某一被測(cè)到的點(diǎn)X 軸: 按右手定則垂直X 軸Y 軸: 與過(guò)該被測(cè)點(diǎn)的切線重合,正方向與車(chē)體正方向相同,基本方程：,將上頁(yè)(1)式子代入(3)(4)式,并去掉y(t),得到：,具體狀態(tài)空間模型,取狀態(tài)變量：,輸入為：前輪加速度 前輪轉(zhuǎn)角角速度,輸出為：后輪中心點(diǎn)M 距X 軸距離 前輪速度 方向盤(pán)

3、角度,狀態(tài)空間表達(dá):,具體狀態(tài)空間模型,在工作點(diǎn)：,具體狀態(tài)空間表達(dá):,代入?yún)?shù)：,線性化,,能控性能觀性(劉芷倩),秩判據(jù)PHB 判據(jù)約當(dāng)規(guī)范形判據(jù),2.1 能控性判別方法,秩判據(jù),對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能控性判別矩陣：,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：,Q 𝑐 =[𝐵?𝐴𝐵??? 𝐴 𝑛?1 𝐵,w

4、903;𝑎𝑛𝑘 Q 𝑐 =𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐵?𝐴𝐵??? 𝐴 𝑛?1 𝐵]=𝑛,PHB判據(jù),對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，完全能控的充分必要條件為：,𝑟𝑎𝑛&

5、#119896;[𝑠𝐼?𝐴,𝐵]=𝑛,?𝑠∈?,或,𝑟𝑎𝑛𝑘[ 𝜆 𝑖 𝐼?𝐴,𝐵]=𝑛,𝑖=1,2,?,𝑛,其中， 為復(fù)頻域，

6、 為系統(tǒng)特征值。,?,𝜆 𝑖 (𝑖=1,2,?,𝑛,2.1 能控性判別方法,約當(dāng)規(guī)范形判據(jù),對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)n個(gè)特征值為 為兩兩相異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為，對(duì)狀態(tài)方程,𝜆 1 , 𝜆 2 ,?, 𝜆 ⻕

7、9;,𝑥 =𝐴𝑥+𝑏𝑢,𝑥(0)= 𝑥 0 ,𝑡≥0,通過(guò)線性非奇異變換導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范形：,𝑥 = 𝜆 1 0 0 0 0 𝜆 2 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 𝜆 𝑛 𝑥 + ⻒

8、1; 𝑢,矩陣 不包含零行向量，即 的各個(gè)行向量滿足：,𝐵,𝐵,𝑏 𝑖 ≠0,𝑖=1,2,?,𝑛,2.2 能控性,MATLAB源代碼：,2.2 能控性,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,該系統(tǒng)是可控的。,2.2 能控性（極點(diǎn)配置后）,MATLAB源代碼：,2.2 能控性（極點(diǎn)配置后）,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,該系

9、統(tǒng)是可控的。,2.4 能觀性,MATLAB源代碼：,2.4 能觀性,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,該系統(tǒng)是可觀的。,2.4 能觀性（極點(diǎn)配置后）,MATLAB源代碼：,2.4 能觀性（極點(diǎn)配置后）,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,該系統(tǒng)是可觀的。,,穩(wěn)定性(劉芷倩),特征值判據(jù)李雅普羅夫判據(jù),3.1 穩(wěn)定性判據(jù),特征值判據(jù),,對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)即 是李雅普羅夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的

10、特征值均為具有非正實(shí)部即實(shí)部為零或負(fù)，且零實(shí)部特征值只能為A的最小多相式的單根。,𝑥=0,李雅普羅夫判據(jù),對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)即 是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為，對(duì)任給一個(gè) 正定矩陣Q，李雅普羅夫方程：,𝑥=0,𝑛×𝑛,𝐴 𝑇 𝑃+𝑃

11、9860;=?𝑄,有唯一 正定對(duì)稱(chēng)解陣P。,𝑛×𝑛,3.2 穩(wěn)定性,MATLAB源代碼：,3.3 穩(wěn)定性,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,可得該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,,極點(diǎn)配置(賈末),極點(diǎn)配置概念MATLAB源代碼,極點(diǎn)配置概念,通過(guò)比例環(huán)節(jié)的反饋把定常線性系統(tǒng)的極點(diǎn)移置到預(yù)定位置的一種綜合原理。極點(diǎn)配置的實(shí)質(zhì)是用比例反饋去改變?cè)到y(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)模式，以滿足設(shè)計(jì)規(guī)

12、定的性能要求。傳統(tǒng)的輸出反饋方法雖然也能改變系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，但有很大的局限性。對(duì)于單輸入單輸出情況，輸出反饋只能使極點(diǎn)在根軌跡曲線上變動(dòng)，而不能把它們移到其他位置上去（見(jiàn)根軌跡法）。采用狀態(tài)反饋方法可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點(diǎn)配置,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點(diǎn)配置,𝑥 =𝐴𝑥+𝐵𝑢 𝑦=𝐶𝑥+

13、19863;𝑢,狀態(tài)空間描述為：,假定進(jìn)入受控系統(tǒng)的信號(hào)為：,𝑢=𝑟?𝐾𝑥,則可將系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫(xiě)成：,𝑥=(𝐴?𝐵𝐾)𝑥+𝐵𝑟 𝑦=(𝐶?𝐷𝐾)𝑥+

14、9863;𝑟,（K為狀態(tài)反饋矩陣）,極點(diǎn)配置算法：,Ackermann算法計(jì)算狀態(tài)反饋K矩陣：,𝐾=?[0,0,?,0,1] 𝑇 𝑐 ?1 𝛼(𝐴,其中， 為講A帶入到下式中得到的：,𝛼(𝐴,𝛼(𝑠)= 𝑖=1 𝑛 𝑠

15、? 𝜇 𝑖 )= 𝑠 𝑛 + 𝛼 1 𝑠 𝑛?1 + 𝛼 2 𝑠 𝑛?2 +?+ 𝛼 𝑛?1 𝑠+ 𝛼 𝑛,MATLAB中可以通過(guò)調(diào)用acker()函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)Ackermann配置算法其基本調(diào)

16、用格式為：K=acker(A,B,P)。,其中A，B就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參考矩陣，P是希望的極點(diǎn)向量。,極點(diǎn)配置,MATLAB源代碼,。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點(diǎn)配置,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,極點(diǎn)配置階躍響應(yīng),MATLAB源代碼,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點(diǎn)配置階躍響應(yīng),MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：(輸入1),。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點(diǎn)配置階躍響應(yīng),MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：（輸入2）,,狀態(tài)觀測(cè)器(劉曉東),狀態(tài)觀測(cè)器 帶狀態(tài)觀測(cè)器的

17、狀態(tài)反饋MATLAB源代碼,5.1 狀態(tài)觀測(cè)器,--觀測(cè)狀態(tài)變量,狀態(tài)觀測(cè)器：是基于輸出的測(cè)量和控制變量來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量,誤差向量：,其中：,--權(quán)矩陣,用來(lái)修正觀測(cè)狀態(tài)變量,狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)空間表達(dá)：,狀態(tài)觀測(cè)器的典型結(jié)構(gòu),5.2 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋,化簡(jiǎn)：將狀態(tài)反饋,寫(xiě)成兩個(gè)子系統(tǒng)，分別由u和y驅(qū)動(dòng),帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu),帶有觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制：,5.2 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋,G2(s)可寫(xiě)成：,G1(s)可寫(xiě)成：,

18、化簡(jiǎn)過(guò)程1,化簡(jiǎn)過(guò)程1：,5.2 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋,,從而,式中：L為觀測(cè)器向量； K為狀態(tài)反饋矩陣,化簡(jiǎn)過(guò)程2,的狀態(tài)空間可寫(xiě)為：,稱(chēng)為基于觀測(cè)器的控制器,從而,圖中：,化簡(jiǎn)過(guò)程2：,5.3 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋,Matlab代碼：,。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.3 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,帶狀態(tài)觀測(cè)器的階躍響應(yīng),Matlab代碼：,。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,帶狀態(tài)觀測(cè)器的階躍響應(yīng),MA

19、TLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：（輸入1）,。,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,帶狀態(tài)觀測(cè)器的階躍響應(yīng),MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：（輸入2）,5.4 兩者比較（階躍響應(yīng)）,Matlab代碼：,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（階躍響應(yīng)）,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,,5.4 兩者比較（最小實(shí)現(xiàn)）,Matlab代碼：,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（最小實(shí)現(xiàn)）,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,請(qǐng)?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（最小實(shí)現(xiàn)）,MATLAB代碼運(yùn)行結(jié)果：,

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