復(fù)變函數(shù)的積分-山東大學(xué)

1、第3章 復(fù)變函數(shù)的積分,§3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì)§3.2 柯西積分定理及其應(yīng)用§3.3 柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) §3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,復(fù)習(xí)、引入,,,3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì),一、 定義------化整為零,取零為整,,設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接 及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上連續(xù)的函數(shù)。其中

2、u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。,把曲線C用分點(diǎn) 分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn) 在曲線C上,按從 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一點(diǎn)，那么下列和式的極限(對(duì)任意分法和 的取法都存在且相同),記,與實(shí)函數(shù)中第二型線積分類比,C的參數(shù)方程,線積分,復(fù)積分,一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分,二、積分存在的條件及其計(jì)算方法,1) C

3、為連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。,,3)化為參變量的定積分來(lái)計(jì)算。,2)可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算。,,,,,,,,,,,,,,,,例1 計(jì)算 其中 為以 為圓心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).,三、積分的性質(zhì),,,,例2 計(jì)算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，0）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。,,解 :,例3 計(jì)算

4、 的值，其中 為沿 從（0，0）到（1，1）的線段：,,解 :,,,,,,例4 計(jì)算 其中 為從原點(diǎn)到點(diǎn) 的直線段。,解 直線的方程可寫成,練習(xí):對(duì)例4中的積分沿下列路徑計(jì)算 (1) 當(dāng)C為從原點(diǎn)到(3,0),再?gòu)?3,0)到點(diǎn)(3,4)的折線; (2) 當(dāng)C為從原點(diǎn)到(0,3