集中趨勢的統(tǒng)計描述

1、預(yù) 防 醫(yī) 學(xué),Preventive Medicine,預(yù)防醫(yī)學(xué)教研室,2004.06,第十四章 數(shù)值變量的統(tǒng)計描述蔡泳,頻數(shù)表的編制方法,1．找全距：Range = Max － Min2. 劃分組段（1）確定組數(shù)：8—15組，一般取10組（2）確定組距：組距（i）= 全距 / 組段數(shù)（3）確定各組段的上下限：各組的起點為下限， 終點為上限。 要求：（1）第一組含最小值 （2）最后組含

2、最大值3．歸納計數(shù)：劃計法4. 計算頻率與累計頻率,集中趨勢,集中趨勢： 表示數(shù)據(jù)的中心位置 。集中趨勢的指標(biāo) ： 平均數(shù)是一組統(tǒng)計指標(biāo)，常用的有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)及中位數(shù)等。,平均數(shù),平均數(shù) 是表示一組同質(zhì)計量資料的集中趨勢或平均水平的統(tǒng)計指標(biāo)，是計量資料中非常重要的一個指標(biāo)體系。醫(yī)學(xué)研究中常用的平均數(shù)有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)及中位數(shù)三種。這個平均數(shù)是廣義的，而日常人們所說的平均數(shù)是

3、狹義的算術(shù)均數(shù)。,（一）算術(shù)均數(shù) （ mean）,算術(shù)均數(shù) 簡稱均數(shù)。用于說明一組觀測值的趨中位置或平均水平。 均數(shù)用于對稱分布、正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。x表示變量X的樣本均數(shù)，?(希臘字母)表示總體均數(shù)。 常用的計算方法是直接法和加權(quán)法。,,直接法,當(dāng)樣本含量較小時，可選用此法。有n個觀察值，分別為X1，X2，……Xn，均數(shù)的計算公式為： 式中，Σ是求和的符號

4、 。,例題,例 14-1 10名12歲男孩身高(cm)分別為125.5，126.0，127.0，128.5，147.0，131.0，132.0，141.5.0，122.5，140.0。求平均數(shù)。,,加權(quán)法,1.列出頻數(shù)表 2.計算組中值 組中值X，計算方法是將本組下限和下組下限相加除以2。3.用加權(quán)法計算均數(shù)： 式中f為各組的頻數(shù)，x為各組的組中值。,,(二)幾何均數(shù)(geometric mean

5、),幾何均數(shù) 適用于對數(shù)正態(tài)分布的資料，例如抗體的平均滴度和平均效價。幾何均數(shù)用G表示。 例：5人的抗體滴度為：1：10，1：100，1：1000，1：10000，1：100000,直接法,直接法： 樣本含量較小時，選用此法。有n個觀察值X1，X2，…Xn，幾何均數(shù)的計算公式為：一般采用對數(shù)形式計算:式中l(wèi)g為取常用對數(shù)的符號，lg-1為反對數(shù)。,,,例題,6份血清抗體滴度為：1:

6、2，1:4，1:8，1:8，1:16，1:32，求平均數(shù)。 幾何平均滴度為1:8,,加權(quán)法,加權(quán)法： 當(dāng)樣本含量較大時，可將資料整理成頻數(shù)表，用下式計算：,,例題,[例1-4]某地102名健康人的鉤端螺旋體血清抗體滴度如表1-2，計算平均滴度。 102名健康人的鉤端螺旋體血清滴度的幾何平均滴度為1:464,,表14-1 102名健康人的鉤端螺旋體 血清抗體平均滴度的計算,(三)中位數(shù)(m

7、edian),將一組觀察值從小到大按順序排列，位次居中的觀察值就稱中位數(shù)。 中位數(shù)適用于任何一種分布的計量數(shù)據(jù)，一般多用于描述偏態(tài)分布或數(shù)據(jù)一端無界資料的集中趨勢。中位數(shù)用M表示。,直接法,樣本含量較小時，可根據(jù)下式計算： n為奇數(shù)時n為偶數(shù)時 上式中n為一組觀察值的總個數(shù)， 、 及 均為下標(biāo)，表示有序數(shù)列中觀察值的位次。,,,,,,頻數(shù)表法,樣本含量較大時用此法

8、L為本組(中位數(shù)所在組)下限，i為本組組距，f為本組頻數(shù)，ΣfL為上一組的累計頻數(shù)。本組位置可根據(jù)累計頻數(shù)的數(shù)值來判斷。當(dāng)某一組的累計頻數(shù)首先超過n/2時或累計頻率首先超過50%時，即定為本組。,,例題,[例1-6]調(diào)查某地107名正常人尿鉛含量(mg/L)結(jié)果列于下表，計算中位數(shù)： 本例，第3組的累計頻數(shù)為65，超過n/2＝53.5，即第3組為本組。,,（四）百分位數(shù)(percentile),百分位數(shù)是一種位置指標(biāo)，用P

9、X表示。 百分位數(shù)是一個有序數(shù)列百等分的分割值。第50百分位數(shù)(P50)也就是中位數(shù)，中位數(shù)是一個特定的百分位數(shù)。 計算百分位數(shù)的計算公式為： 計算百分位數(shù)一般需計算累計頻率(%)，為各組段累計頻數(shù)除以總例數(shù)n。,,離散趨勢的統(tǒng)計描述,計量數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布有兩個重要特征：集中趨勢和離散趨勢。必須指出，要把兩者結(jié)合起來才能全面地反映數(shù)據(jù)頻數(shù)分布的基本特征。 [例1-8]兩組計量數(shù)據(jù)如下，

10、分析其分布特征。 甲組 98，99，100，101，102 乙組 80，90，100，110，120 描述離散趨勢的常用指標(biāo)有全距、四分位間距、方差和標(biāo)準(zhǔn)差等。,,,一、全距(range),亦稱極差，用R表示，是一組觀察值中最大值與最小值之差，反映個體差異的范圍。全距大，說明變異度大；反之，說明變異度小。 如例1-8中甲組全距為4，乙組全距為40，表明乙組變異度大。

11、 但全距易受個別數(shù)據(jù)的影響，穩(wěn)定性較差，抽樣誤差較大，而且還受n大小的影響，一般n越大，全距越大。,二、四分位間距(inter-quartile range),四分位間距是兩個特定的百分位數(shù)之差，即第75百分數(shù)P75(上四分位數(shù)QU)和第25百分位數(shù)P25(下四分位數(shù)QL)之差，用Q表示，適用于任何分布的計量資料，尤其適用于偏態(tài)分布的資料. 四分位間距比全距穩(wěn)定，但仍然未考慮到每個觀察值的變異。

12、,Q＝QU－QL,三、平均偏差與離均差平方和,平均偏差（mean difference) ：每個觀測值與均數(shù)之差的絕對值相加，然后取平均。離均差平方和：為了避免使用絕對值，采用取平方的方法。 離均差平方和=,,四、方差(variance),為了消除觀察值的總個數(shù)N的影響，將 除以N，這就是總體方差，用σ2表示。 對于樣本資料，在對離均差平方和取平均時分母用n-1代替n。,,,五、

13、標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation),方差的單位是原度量單位(如kg)的平方，把總體方差開平方，這就是總體標(biāo)準(zhǔn)差，度量單位與原始觀察值一致，即 對于樣本資料，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式為： 可改寫為： 上式n-1稱為自由度。,,,,,,例題,[例1-9]對例1-8的數(shù)據(jù)計算標(biāo)準(zhǔn)差 甲組：n=5，ΣX＝98+99+10

14、0+101+102=500ΣX2＝982+992+1002+1012+1022＝50010,,,標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用,表示觀察值的變異程度 在兩組(或幾組)均數(shù)相近、單位相同的條件下，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示變量值的變異度大，均數(shù)的代表性較差；反之，標(biāo)準(zhǔn)差小，表示變量組變異度小，數(shù)據(jù)多集中在均數(shù)周圍，則均數(shù)的代表性較好。計算變異系數(shù) 結(jié)合均數(shù)描述頻數(shù)分布的特征和制定醫(yī)學(xué)參考值范圍。 計算標(biāo)準(zhǔn)誤,六、變異系數(shù)（coefficien

15、t of variation),當(dāng)單位不同時，均數(shù)相差較大時，用標(biāo)準(zhǔn)差就不適宜了，此時用變異系數(shù)更好。 變異系數(shù)是一種相對的離散程度指標(biāo)，它無單位，用CV表示，其計算公式為：,,例題,[例1-11 ]某地20歲男子100人，其身高均數(shù)為166.06cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.95cm，其體重均數(shù)為53.72kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4.96kg。請比較何者變異度較大。 由于兩者度量單位不同，不能直接比較標(biāo)準(zhǔn)差，而應(yīng)比較變異系數(shù)。

16、 身高 體重 結(jié)果表明該地20歲男子體重的變異大于身高的變異。,,,正態(tài)分布,正態(tài)分布的圖形 圖頻數(shù)分布逐漸接近正態(tài)分布狀態(tài),,正態(tài)分布的特點,正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型分布。正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右兩側(cè)對稱，靠近均數(shù)兩側(cè)的頻數(shù)較多，而距均數(shù)兩側(cè)較遠處，頻數(shù)逐漸減少，形成鐘形分布。正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。,正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律,曲線下橫軸上的總面積為100%或

17、1。 下面是應(yīng)用較多的三個區(qū)間的面積分布規(guī)律。（1）正態(tài)分布區(qū)間(?-?，?+?)下的面積，即???范圍的面積占總面積為68.27%；（2）正態(tài)分布區(qū)間(?-1.96?，?+1.96?)，即??1.96?范圍的面積占總面積為95.00%；（3）正態(tài)分布區(qū)間(?-2.58?，?+2.58?)，即??2.58?范圍的面積為99.00%。(如圖1-2),正態(tài)分布曲線下的面積,圖1-2 正態(tài)分布曲線及其面積分布,,正

18、態(tài)分布的主要特征,1. 以均值μ為中心，左右對稱。2. X取值范圍理論上沒有邊界。X離μ越遠，函數(shù)f(x)值越接近0，但不會等于0。3. 正態(tài)分布曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。4. 正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和?決定。 μ是位置參數(shù)（即平均水平），決定分布曲線在橫軸的偏移位置。當(dāng) ?一定后， μ 增大，曲線右移； 反之μ減小，曲線左移。?是變異參數(shù)，決定分布曲線的形態(tài)。 ?越大，曲線的形態(tài)越“矮胖”，表示數(shù)據(jù)分布越分散； ?越小，曲線的

19、形態(tài)越“瘦高”，表示數(shù)據(jù)分布越集中。,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standard normal distribution),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：是均數(shù)為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，即?=0、?=1 亦稱u分布。u變換 ：將均數(shù)為μ ，標(biāo)準(zhǔn)差?為的正態(tài)分布變換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 u=(X-?)/?,正態(tài)分布的應(yīng)用 醫(yī)學(xué)參考值范圍的估計,1．正態(tài)分布法估計參考值范圍公式為： 如制定95％參考值范圍，雙側(cè)界值

20、u=1.96，單側(cè)界值u=1.645。 雙側(cè)界值：x?1.96s 單側(cè)上界：x+1.645s 單側(cè)下界：x-1.645s,,,,,例題,[例1-12]某地調(diào)查正常成年男子144人的紅細胞數(shù)近似正態(tài)分布，得均數(shù)＝5.38（1012/L）,標(biāo)準(zhǔn)差s=0.44（1012/L），試估計該地成年男子紅細胞數(shù)的95%參考值范圍。 因紅細胞數(shù)過多或過少均為異常，故按雙側(cè)估計95%界值。 下限為：x -

21、1.96s=5.38-1.96 ×0.44 =4.52 (1012/L)上限為：x + 1.96s=5.38+1.96×0.44 =6.24(1012/L) 故該地成年男子紅細胞數(shù)的95%參考值范圍（4.52—6.24）1012/L,,,2、百分位數(shù)法,用于描述偏態(tài)分布資料 。1）白細胞數(shù)的95